Мы переходим теперь к новому приндипу, который уже не дает, подобно грежним, интеграла. Это есть \”principe de la moindre action\”, неправильно называемый принцииом наименышего действия. Значение его заключается, во-первых, в той форме, которую он придает дифференциальным уравнениям движения, во-вторых, в тож, что он дает функцию, которая обращается в минимум, когда удовлетворяются эти дифференциальные уравнения. Хотя такой минимум существует во всех задачах, но, как правнло, неизвестно, где его искать. Шоэтому, в то время как самое интересное в этом принцице то, что вообще можно получить минимум, раньше придавали преувеличенное значение тому, что такой минимум существует. Пример принципа, о котором идет речь, встречается в уже ранее цитированной статье Эйлера nd motu projectorum\”.

После того как он доказал этот принциц для случая цритяжения к неподвижшым цептрам, сму пе удалось допавать его для взаимшых притлљений, тля которых ему было неизвестно значение принципа живой силы; поэтому он повольствуется тем, что говорит, что для случая взаимных притяжений выкладки были бы слипком длинны, но принцип наименьшего действия должен и здесь иметь место, так как основные положения здоровой метафизики показали, что снлы природы всегда обязательно должны производить наименьпее действие (благодаря, кақ оп думал, присупей телам инертности). Но эюог не погазывает ни здоровая и никакая вообще метафизика и на самом деле Эйлера побудило к такой фразе только неправильне понимание \”названия „наименше действие\”. Мопертюи хотел этим названием выразить, что природа свои действия производит с наименьшей ватратой сил и в этом заключается истинное значение названия \”principe da la moindre action\”.

Почти во всех учебниках, даже и в лучиих, как Пуассона, Јагранжа н Лапласа, этот принцип представлен так, что по моему мнению его нельзя лонять. Именно, говорится, что интеграл
\[
\int \sum m_{i} v_{i} d s_{i}
\]
(где $v_{i}=\frac{d s_{i}}{d t}$ обозпачает скорость точки $m_{i}$ ) должен быть минимумом, если интегрирование производится от одного положения системы до другого. Іри этом, правда, говорится, что теорема применима только в том случае, если имеет место теорема живых сил, но при этом забывают сказать, что при помощи теоремы живых сил необхфдимо исключить из предыдущего интеграла время и все свести к пространственным элементам. Минимум предыдущего интеграла надо понимать так, что, когда даны начальное и конечное положения системы, из всех возможных ігутей, ведүщих из одного положения в друэое, для действительно пробегаемого пути интеграл будет минимумом.

Исключим время из предыдущего интеграла. Так кая $v_{1}=\frac{d s_{5}}{d t}$.
To
\[
\int \sum m_{i} v_{i} d s_{i}=\int \frac{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}{d t} .
\]

Но по теореме живых снґ
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}=U+h
\]

आภ二
\[
\begin{array}{l}
\frac{\sum m_{i} d s_{3}^{2}}{d t^{2}}=2(U+h) \\
\frac{1}{d t}=\sqrt{\frac{2(U+h)}{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}} .
\end{array}
\]

Если внести это значение $\frac{1}{d t}$, то получится:
\[
\int \sum m_{i} v_{i} d s_{i}=\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}} .
\]

Дифференциальне уравнения движения дают после интегрирования $3 и$ коор динат задачи, выраженных через время; но из двух тагих выражений дия координат можно исключить время и нолучить при желании $3 n-1$ коорди. нат, выраженных черев одну из иих, например через $x_{1}$. Uрп таком предположении можно вместо $\sum m_{i} d s_{i}^{2}$ подетавить $\sum m_{i}\left(\frac{d s_{i}}{d x_{1}}\right)^{2} d c_{1}^{2}$, п торда нохучится пнтеграл в форме
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left(\frac{d s_{i}}{d x_{1}}\right)^{2} d x_{1}}
\]

е которой связано теперь вполне определеное понятие.
Напишем теперь, чтобы не давать ни одной из цоординап предиочтения. интеграл в прежней форме
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}
\]

тогда мы можем прицци наименшего деӥетия рыразны жи: которые принияанот для $x_{1}=a$ и $x_{1}=\dot{b}$ оспальне 3 п- 1 кооринат น. интеграл
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}
\]

распространен на весь путь систель от первого ее положения до вморого. то его значение будет для истинного пути минимумол по еравнению со всеми остальными возмоюными пупями, т. е. с такими, готорне совмеетнь с условияи системы (если таковые существуют). Тани обравом
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}
\]

будет минимумом или
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}=0 \text {. }
\]

Теперь уже трудно вайти жетафизическую причину да принциа наимень него действия, когда он, қак ото необходиио, рырален в әтой нетпнной форме. Существуют minima совсем другого рода, из которых тожө кожно. получить дифференциальные уравнения движения и которые в этом отношении обещают много больше.

Принципу наименьшего действия должно быть поставлено еще одно ограничение. Именно, минимум интеграла имеет место не между двумя дюбыми положениями системы, но только тогда, когда конечное и начальне положения достаточно бливки друг к другу. Мы сейчас объясним, какую границу здесь нельзя переходить.

Рассиотрим сначала один особенный случай. Іусть единственная материальная точка двигаетея но данной поверхности под влиянием начального толчка, и пусть на нее не действуют силы притяжения. В этом случае $U=0$, а сумма $\Sigma m_{i} d s_{i}{ }^{2}$ преврацаетея в $m d s^{2}$; таким обравом $\int d s$ или $s$ будет минимумом, т. е. матернальная точка описываєт кратчайшую линию на данной поверхности. Но кратчайшие линии сохраняют свое свойство быть минимумом только между игвестными границами; нашример, на шаре, где кратчайшими линиями служат больие круги, это свойство прекращаетея как тодько будем рассматривать длину, которая больше чем $180^{\circ}$. Чтобы это увидеть, не надо обращаться к помощи дополнешия до $360^{\circ}$, что ничего не доказало бы, так как minima должны иметь место всегда только по отношению к бесконечно близко лежащим линиям; мы убеждаемся в этом пыы способом. Нусть $B$ будет полюсом $A$; подолжим большой пруг $A \alpha B$ черев $B$ до $C$ и проведем болыпой круг $A \beta B$ бесконечно близко к $A \alpha B$; тогда $A \alpha B C=A \beta B+B C=A \beta+\beta B+B C$. Далее, пусть $\beta$ лежит бесконечно близко к $B$, а. $\beta C$ есть дуга большого круга; тогда $\beta C<\beta B+B C$ и, следовательно, ломаная линия $A \beta+\beta C$ меньше, чем больпой круг $A \alpha B C$. Тагим образом, на ішаре $180^{\circ}$ есть граница минимальных свойств. Чтобы эту границу ошределить в общем случае, я путем более плубоии исследований установил следующую теорему.
Если из какой-ниоуро потии поверхостн провести по всем напраелениял кратиайшие ли нии, то могут встрепиться два слятая: две бесконсчно о́лизкие кратчайшие линии либо проходат все время одна еозле другой, не пересепаясь, либо они вновь пересекаютея, и погда последовательность всех точен пересечения оорраует их огиоаюшую кривую. $B$ первом случсе кратчайшие линии никогда не перестают оыть лратчайшими, во втором они будут паковыми полько до ночи касания с огиоющей криеой.
Первое пмеет место, как это само собой разумеется, для всех раввертывающихся поверхностей, так как на плоскости прямые, проходящие через одну точку, никогда вновь не пересекаютея; далее, как я нашел, это имеет иесто для всех вогнуто-выпуклых поверхностей, т. е. для таких, у которых , да взаино пернендикулярные нормальные сечения икеют радиусы кривизны, направленные в противощоложные стороны, вапример для однополостного гищерболоида и для гишерболического параболоида. Из этого, впрочем, не следует, что не могут сущестьовать вогнуто-вогнутые поверхности, которые принадлежали бы к этой категории, по крайней мере невозможность такого схчая не доказана. IІример второго рода дает эллипсоид вращения. Возьмем его мало отличающимея от пара; тогда кратчаймпе линии, которые проходят через пюбую точку поверхноетн, хотя н пе буцут, как на наре, нересекатья все в полюсе, но булут в окрестности полюса иметь маленькую огибающю привую. Іри поверхностном расемотренин это обстолтельство кажется парацогеальным; действительно, огибающая кривая вообще имеет то свойство, что система кривых, которые она огибает, не может входить во внутреннюю ее область. Поэтому должна была бы существовать часть поверхности, обладаюная свойствоч, чю в любую точу внутри ее нельзя провести из данной точки кратчайшую линию, что невозможно. Но нарадокс этот выясняетея при более точпом исследовании огибающей кривой, как вицю из прплагаемого чертежа, на котором $A B C I$ изображает опибаюую кривую, которая приблизительно имеет вид :волюты эллицса, а EFG – кратчайіую линию. Она выходит из $E$, входит в част поверхности, ограниченную огибающей, касаетея ее в точке $I$ п перестает с этого места быть кратчайней линией. Это свойство кратчайших линий, что они перестают быть таковыми после соприкосновения с общей их огибающей, найдено, как сказано, путем глубоких иеследований; но после того как оно наӥдено, его легко увидеть, потому что, когпа две бескопетно близие кратчайшие линии пересекаются, в их точке пересечения обрацаетея в нуль не только первая, но и вторая вариация, и разность еводитея, таким образом, $ь$ бесконетно малым величинам 3-го порядка, т. е. не будет пикакого мипимума. Ми возвращаемся теперь снова ь общим рассмотрениям минимума для прищциа наичешышего действия. Произвольные постоянные, которые получаютея после интегрирования дифферепцальных уравнений движения, определятел всего щроще через начальные положения и наяальные скорости движения; через эти начальные даные огреде’Iерт. 3. лятся все постоянние интегрирования, так что ве может быть никакой многозначности. Но чри принципе наниеныего действия предполагаюся заданными не началыные полижения н начальные скорости, а пачальные и конечпые положения системы. Iопому, чтобы найти истинное движение, надо решить уравнения, огределяющие пачалные скорости из юонечных уоложений. Эти уравнения не обязательшо будут линейными, вследетвие чего можно получит, нескольо спемем значений начальых сгоростей, и им соответответ тогда несколю положени, и все эти двияения дают minima отшосительно бесконечьо близких к ним двнаений. Еели теперь интервал начащыых и конечных шоложений изменять нецрерывно, начиная от нуля, то различиые системы значений, готорые получаютея при решенин уравнениї для натальны њоросей, также будут пзенятья. Когда при таком измененп спетем значений настунит случаї, что две снетемы значений равны қруг другу, то то н будет границеї, за которой нет болыне минимума.

Эту теорему, которая, кстати сказать, не имеет шикакого значения ды механики в узком смыеле, я опублиовал в журнле Крелля, *) но только как заметк без доказательства: Как пример к ней, рассмотрим пвнжение планет вокруг солнца. Даны: фокус $A$ эллнпа, как местопололение солнца. большая ось эллипеа и кроме того два положения $p$ и $q$ плаветы. Обозначим второї, пока неизвестный, фокуе черев $B$; тогда через данные отрезки определятея расстояния точки $B$ от обоих положений шланеты $p$ и $q$, а именно, эи расстояния равны $a-A p$ и $a-A q$, благодаря иввестному свойству эллиса. Но это ,ает тля $B^{\prime}$ два положения $B$ и $B^{\prime}$, одно выне, друге
*) Bd. 17. г. 68 и стед

ниже линии, соединяющеӥ $p$ и $q$. Таким образом, получаются два дллипа, а вместе с тем также два движения планеты, которые возможны при заданных отрезках. Чтобы оба решения совпали, точки $B$ и $B^{\prime}$ должны лежать на линии, соединяющей $p$ и $q$, т. е. $p, B$ и $q$ должны лежать на одной прямой, а тогда $q$ совшадает с $p^{\prime}$. Таким образом, $p^{\prime}$ обозначает границу, за которую нельзя распространять ивтеграл, пмеюций начало в $p$, так чтобы он не переставал быть минимумом.

Мы возвращаемся теперь к собственно механическому значению принипа наименышего действия. Оно состопт в том, что в уравнении (1) этой лекции заключаютел основные уравнения динаиики в том случае, когда имеет место принцип живой силы. В самом деле, уравнение (1) было:
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}=0 .
\]

Здесь после исключения времени все гоординаты можно выразить как фунъции одной из них, например $x_{1}$, и поэтому можно написать:
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left(\frac{d s_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}} d x_{1}=0
\]

или
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{1}}{d x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}\right\}} \cdot d x_{1}=0 .
\]

Если положим теперь
\[
\frac{d x_{1}}{d x_{1}}=x_{1}^{\prime}, \quad \frac{d y_{1}}{d x_{1}}=y_{i}^{\prime}, \quad \frac{d z_{1}}{d x_{1}}=z_{i}^{\prime},
\]

To
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)} d x_{1}=0 .
\]

Введя обозначения
\[
2(U+h)=A, \quad \sum m_{1}\left(x_{1}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)=B, \quad \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}=1,
\]

имеем наконец
\[
\delta \int P d x_{1}=0,
\]

откуда полүчается правило: подставляем в $\int P d x_{1}$ вместо $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ соответственно $x_{i}+\delta x_{i}, y_{i}+\delta y_{i}, z_{i}+\delta z_{i}$, где $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ обозначают произвольные функции, умноженные на бесконечно малый множитель $\alpha$ и не обращающиеся в бесконечность внутри границ интегрирования, разлагаем по степеням $\alpha$ п тогда полагаем член, умноженный на первую степень $\alpha$, равным нулю. При этом надо заметить, что, во-первых, так кағ границы интегрирования даны, то от них не будет никаких вариаций, во-вторых, что по той же причине все вариации на границах должны исчезать и, наконец, что $\delta x_{1}$ вообще есть нуль, тав как $x_{1}$ есть независимая переменная. Поэтому по правилам вариационного исчисления получаем:
\[
\begin{aligned}
\delta \int P d x_{1}= & \int \delta P d x_{1}=\int \sum\left(\frac{\partial P}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial P}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial P}{\partial z_{i}} \delta z_{i}+\right. \\
& \left.+\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{i}^{\prime}+\frac{\partial P}{\partial y_{i}^{\prime}} \delta y_{i}^{\prime}+\frac{\partial P}{\partial z_{i}^{\prime}} \delta z_{i}^{\prime}\right) d x_{1} .
\end{aligned}
\]

Ho
\[
\int \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} d x_{i}^{\prime} d x_{1}=\int \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \frac{d \delta x_{1}}{d x_{1}} d x_{1}=\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{1}-\int \frac{d \frac{\partial F}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}} \delta x_{i} d x_{i}
\]

или, так как $\delta x$, исчезает на границах интегрирования,
\[
\int \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{i}^{\prime} d x_{1}=-\int \frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}} \delta x_{i} d x_{1} .
\]

Подобные же уравнения получатся цля $y_{i}$ и $z_{i}$; пользуясь ими, получим:
\[
\begin{aligned}
\delta \int P d x_{1}=\int \sum & {\left[\left(\frac{\partial P}{\partial x_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}\right) \delta x_{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial y_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial y_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}\right) \delta y_{i}+\right.} \\
& \left.+\left(\frac{\partial P}{\partial z_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial z_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}\right) \delta z_{i}\right] d x_{1} .
\end{aligned}
\]

Ho
\[
\begin{aligned}
P=\sqrt{A} \sqrt{B}, \quad A=2(U+h), \quad B & =\Sigma m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right), \\
\frac{\partial P}{\partial x_{i}} & =\frac{1}{2} \sqrt{\frac{B}{A}} \frac{\partial A}{\partial x_{i}}=\sqrt{\frac{B}{A}} \frac{\partial U}{\partial x_{i}} \\
\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} & =\frac{1}{2} \sqrt{\frac{A}{B}} \frac{\partial B}{\partial x_{i}^{\prime}}=\sqrt{\frac{A}{B}} m_{i} x_{i}^{\prime}
\end{aligned}
\]

сдедовательно
\[
\left.\frac{\partial P}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}=\sqrt{\frac{B}{A}} \frac{\partial U}{\partial x_{i}}-\frac{d\left(m_{i} \sqrt{A} d x_{i}\right.}{\bar{B} d x_{i}}\right) .
\]

Есяи теперь положим (см. стр. 40)
\[
\sqrt{\frac{\bar{B}}{A}} d x_{1}=d i
\]

то получич
\[
\frac{\partial P}{\partial x_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}=\sqrt{\frac{B}{A}}\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}\right)
\]

п подобные зе уравнения ддя $y_{i}$ и $z_{i}$. Введя эти выраженпя, найдем:
$\delta \int P d c_{1}=\int \sqrt{\frac{B}{A}} \sum\left\{\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}\right) \delta x_{1}+\left(\frac{\partial U}{\partial y_{1}}-m_{i} \frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}}\right) \delta y_{1}+\right.$
\[
\left.+\left(\frac{\partial U}{\partial z_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right) \delta z_{i}\right\} d x_{i} .
\]

Но так как по налему принципу эта вариация должна исчевнуть, то имеем:
\[
0=\sum\left\{\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}\right) \delta x_{i}+\left(\frac{\partial U}{\partial y_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right) \delta y_{i}+\left(\frac{\partial U}{\partial z_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right) \delta z_{i}\right\}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{k}\right)= \\
=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=\delta U, \\
\end{array}
\]

а это есть прежнее символическое уравнение.
Уравнение (2) есть не что иное, кав теорема живых сил: действительно, при помощи квадратуры получаем
\[
B d x_{1}^{2}=A d t^{2}
\]

или
\[
\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=2(U+h) .
\]

Это можно было предвидеть, таг каг мы исключили вреня из интеграла иринципа наихеньшего действия при помощи теоремы живых сил.