Мы переходим теперь к движению точки, притягиваемой двумя нешодвижными центрами. Ограничимся сначала тем случаем, когда движение происходит в плоскости, что будет всегда иметь место, если направление начальной скорости лежит в одной плоскости с прямой, соединяющей неподвижнье центры. эту прямую возьмем за ось $x_2$; прямую перпендикулярную к ней, проходящую посредине между шеподвижными, отстоящими друг от друга на $2f$ центрами, возьмем за ось $x_1$. Выразим теперь $x_1$ и $x_2$ через $i_1$ и ${\lambda }_2$ и внберем постоянные $a_1$ и $a_2$, входяцие в подстановку, так, что оба неподвижные центра попадают в фокусы софокусной еистемы: тогда мы придем к интегрированию дифференциального уравнения
$$\frac{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}{\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_1}\right)}^2+\frac{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_2}\right)}^2=\frac{1}{2}l+\frac{1}{2}h,$$

ге $l$ также должно быть выражено через ${\lambda }_1$ и $i_{2,}$.
Пусть $r$ и $r_1$ будут расотолпия притлгиваемой точи от обоих центров; тогда мы имеем
$$r^2={(x_2+t)}^2+x_1{}^2,r_1{}^2={(x_2-f)}^2+x_1{}^2$$

พมก1
$$r^2=x_1^2+x_2^2+f^2+2f{x}_2:r_1^2=x_1^2+x_2^2+f^2-2f{x}_2.$$

По основному свойству эллинса
$$f^2=(a_2+{\lambda }_1)-(a_1+{\lambda }_1)=a_2-a_1:$$

кроме того подетановка
$$r_1=\sqrt{\frac{(a_1+{\lambda }_1)(a_1+{\lambda }_2)}{a_1-a_2}},x_2=\sqrt{\frac{(a_2+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_2)}{a_2-a_1}}$$

дает, как мы знаем, уравнение
$$x_1^2+x_2^2=a_1+a_2+{\lambda }_1+{\lambda }_2:$$

поәтому будем иметь:
$$\begin{array}{rl}{r}^2=x_1{}^2+x_2^2+f^2& +2f{x}_2=2a_2+{\lambda }_1+{\lambda }_2+2\sqrt{(a_2+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_2)}=\\ & ={\{\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\}}^2\\ r_1^2=x_1^2+x_2^2+f^2& -2f{x}_2=2a_2+{\lambda }_1+{\lambda }_2-2\sqrt{(a_2+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_2})=\\ & ={\{\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\}}^2.\end{array}$$
l’акиу образом:
$$r=\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\sqrt{a_2+{\lambda }_2}:r_1=\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\sqrt{a_2+{\lambda }_2}.$$

Њсли подетавить эти выражения в силовую функцию
$$U=\frac{m}{r}+\frac{m_1}{r_1}=\frac{m{r}_1+m_{1}r}{r{r}_1}.$$
то получитев
$$I=\frac{(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}.$$

Если нодетавим то значение $U$ в уравнение в частных производных (1) и умножим на ${\lambda }_1-{\lambda }_2$, то получим:
$$\begin{array}{c}(a_1+{\lambda }_1)(a_2-{\lambda }_1){\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_1}\right)}^2-(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2){\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_2}\right)}^2=\\ =\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\\ -\{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\}\end{array}\}$$

и так как, введя произвольную постоянную $\beta$, можем разбить это уравнение на два обыкновенных дифференциальных уравнения:
$$\begin{array}{l}{\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_1}\right)}^2=\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\beta }{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)},\\ {\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_2}\right)}^2=\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta }{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)},\end{array}$$

то нодучим:
$$\begin{array}{c}W=\int d{\lambda }_1\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\beta }{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)}}+\\ +\int d{\lambda }_2\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta }{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)}}\end{array}$$

Еели мы хотим телерь’ избавиться от иррациональности под знаком квадратного корня. тn полатаем
$$\sqrt{a_2+{\lambda }_1}=p,\sqrt{a_2+{\lambda }_2}=q,$$

и получаем:
$$\begin{array}{rl}W& =\int dp\sqrt{\frac{2(h{p}^2+(m+m_1)p+2\beta -h{a}_2)}{p^2-f^2}}+\\ & +\int dq\sqrt{\frac{2(h{q}^2+(m-m_1)q+2\beta -h{a}_2)}{q^2-f^2}}.\end{array}$$

Из равенства (4) получатся интегральные уравнения в форме:
$${\beta }^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial \beta };t-\tau =\frac{\partial W}{\partial h}.$$

Лагранж в первом томе туринских мемуаров старанея найти такисилы, которые можно присоединить в притяжению в двум неподвижным центрам, чтобы эйлерово решение задачи продолжало иметь место. Хотя это исследование не иривело ни к какому существенному результату, тем не менее оно представляет огромный интерес и притом не только при тогдапнеи состоянии најки, но и в настоящее врен. Син, которую можно присоединить согласно Лагранж, есть прияжение, направленное х точке, гежащей посредине между ббоими нешодвияными центрами и пропорииопалное расстоянию. Это вполне согласуетея с тем, что мы нашли пля кратчайпей линии на аллипсоде. Действитепно, багодаря этой силе в сиювую фуніцию войдет член
$$\frac{1}{2}k(x_1^2+x_2^2)=\frac{1}{2}k({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\dot{a}}_1+a_2),$$

следовательно в правую часть уравнения в частных проивводных, т. е. в $\frac{1}{2}U({\lambda }_1-{\lambda }_2){}_2^r$ войдет выражение $\psi \left({\lambda }_1\right)-\psi \left({\lambda }_2\right)$, если положить $\psi (\lambda )=$ $=\frac{1}{4}k\{{\lambda }^2+(a_1+a_2)\lambda \}$. Притом $\psi \left({\lambda }_1\right)$ п $\psi \left({\lambda }_2\right)$ будут тогда соответственно членами, на воторые воврастут числители под знаками квадратных корней. в интегралах, взятых по ${\lambda }_1$ п ${\lambda }_2$ в выражении (4) для $W$.

Iри помощи вышенаписанных формул мы решили нолностью задачу шритяжения точки к двум нешодвижным цештрам, когда движение происходит в плоскости; теперь остается только свести более общий случай к этому. Это достигается при помощи принципа площадей.

Чтобы рассмотреть задачу в ее наибольшей обпности, мы предположим. что точка притягивается не, двумя, а произвольным числом пеподвнжных. центров, лежащих на одной прямой. В этом случае, и даже в более общем, когда присоединяется еще постоянная сила, параллельная той же прямой; имеет место принци площадей по отношению к плоскости, церпендикулярной 巨 этой црямой. Если теперь начальная скорость движущейся точки лежит в одной плоскости с этой прямой, то всё движение происходит в этой плоскости, и нет необходимости приненять теорему площадей. Напротив, если начальная скорость не лежит в одной плоскости с той прямой, то точка описывает кривую двоякой кривизны. Іри этом очень выгодно разложить движение на два; в самом деле, предположим, что через точку и терез прямую, содержащую центры, проведена плоскость; предетавим себе, что эта плокость вращается вогруг прямой и кроме того точка двигается по врацающейся плоскости. Эжо разложение, которое возможно при всех обстоятельствах, в общем случае не дает пикакого ущрощения, но в рассматриваемом случае можно, благодаря принциу площадей, совершенно отделить движение точки в пооскости от вращательного движения, так что мы разыскиваем сначала движение точки по плоскости, а шоеле того как оно найдено, получаем простой квадратурой угол вращения этой плоскости (отечитанный от некоторого определенного ее положения). Дифференциальные уравнения движения точки но вращающейся илоскости отличаются, как мы увидим, от дифференциальных уравнений, получаемых, когда движение вообще остается илоским, тодько тем, что присоединяетея член, пропорциональный $\frac{1}{r^3}$, ге $r$ обозначает расстояние точки от прямой, содержащей центры. Пусть эта прямая, содержацая неподвижные центры, будет ось $x$; представим далее уравнения движения точки, не выписыв на самом теле выражения для сил, в обычном виде формулами
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=X,\frac{d^{2}y}{d{l}^2}=Y,\cdot \frac{d^{2}z}{d{t}^2}=Z;$$

тогда имеет место условное уравнение
$$yZ-zY=0.$$

Это уравнение, которое говорит, что сплы $Y,Z$ так относятся друг к цругу, как координаты $y,z$, т. е. что направление их равнодействующих проходит через ось $x$, равносильно принциу плопадей; в самом деле, положим $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$ и $\frac{d^{2}z}{d{t}^2}$ вместо $Y$ и $Z$, тогда получим:
$$y\frac{d^{2}z}{d{t}^2}-z\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=0,$$
a. отсюда ннтегрированием найдем
$$y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt}=\alpha .$$

Чтобы теперь отделить движение точки в плоскости, проходящей через ось $x$; от вращательного движения этой плоскости, мы должны положить
$$y=r\cos \phi ,z=r\sin \phi ,$$

так что $x,r$ обозначают координаты точки на вращающейся плоскости — угол вращения, отсчитываемый от плоскости $x,y$. Тогда имеем:
$$\begin{array}{c}r=\sqrt{y^2+z^2};\frac{dr}{dt}=\frac{y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt}}{\sqrt{y^2+z^2}}\\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{y\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+z\frac{d^{2}z}{d{t}^2}}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2}{\sqrt{y^2+z^2}}-\frac{{(y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})}^2}{{(y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}}.\end{array}$$

Два последние члена, будучи соединены в один, даюл:
$$\frac{(y^2+z^2)\{{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\}-{(y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})}^2}{{(y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}}$$

откуда, па основании известной формулы
$$(y^2+z^2)\{{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\}={(y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})}^2+{(y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt})}^4$$

подучаем:
$$\frac{{(y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt})}^2}{{(y^2+z^2)}^{-\frac{3}{2}}}$$

восподьзвавиись теперь теоремой площадей, окончательно получаем выра-женне
$$\frac{{\alpha }^2}{r^3}\text{. }$$

Таким образои мы имеем уравнение:
$$\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{y\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+z\frac{d^{2}z}{d{t}^2}}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{{\alpha }^2}{r^3}=\frac{yY+zZ}{r}+\frac{{\alpha }^2}{r^3}.$$

Пусть теперь $R$ будет сила, действующая на точку в направлении, нерпендикулярном оси $x$, т. е. равнодействующая сил $Y^{\ast }$ и $Z$; тогда ищеем
$$\begin{array}{c}Y=\frac{y}{r}R,Z=\frac{z}{r}R,\\ yY+zZ=\frac{y^2+z^2}{r}R=rR,\end{array}$$

и ноэтому
$$\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=R+\frac{{\alpha }^2}{r^3}.$$

Таким образом мы получим оба уравнения движения точки по вращающейся плоскости в виде
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=X,\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=R+\frac{{\alpha }^2}{r^3}.$$

Так как теперь в расматриваемом нами случае силы совершенно не зависят от угла врацения $\phi$, то $X$ и $R$ зависят только от $x$ и $r$. Поэтому мы можем эти оба уравнения интегрировать самостоятельно, и определив при помощи интегральных уравнений $x$ и $r$ кав фунццй от $t$, получим из теоремы площадей угол вращения $\phi$. Эта теорей после введения $r$ и приобретает вид:
$$r^2\frac{d\phi }{dt}=\alpha$$

так что ; определитея формулой
$$\phi =a\int \frac{dt}{r^2}.$$

Слецовательно мы свели первоначальную систему дифференциальных уравнений шестого порядка в $x,y,-z,t$ к системе четвертого порядка в $x,r,t$, и так как в нее $t$ явно не входит, то ее можно привести в системе третьего поряцка, придав ей форму
$$dx:d{r}^{\prime }:d{x}^{\prime }:d{r}^{\prime }=x^{\prime }:r^{\prime }:X:(R+\frac{{\alpha }^2}{r^3}).$$

Если мы знаем два интеграла этой системы, то третий получим по принипу последнего множителя, а после этого найдем время помощью одной квадратуры. Если например все переменные $x,x^{\prime }$ и $r^{\prime }$ выражены через $r$, то можно еще до того, как $r$ выражено через $t$, представить, при помощи равенетва
$$t=\int \frac{dr}{r^{\prime }}$$
« кағ взятый по $r$ интеграл
$$\phi =\alpha \int \frac{dr}{r^2{r}^{\prime }}.$$

Чтобы тешерь шолностью решить задачу, нужно только знать цви интеграла системы третьего порядка (7). Но один из этих интегралов дает теорема живой силы, которая, как известно, всегда имеет место при притяжениях к неподвижным центрам и при взаимных притяжениях. В самом деле, в уравнении
$$\frac{1}{2}\{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\}=\int (Xdx+Ydy+Zdz)$$

цоложим цля рассматриваемого случая
$$\begin{array}{c}Y=\frac{y}{r}R;Z=\frac{z}{r}R;\\ Ydy+Zdz=R\frac{ydy+zdz}{r}=R_i^{\prime }dr;\end{array}$$

данее имеем
$${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2={\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2,$$

йи, таљ как по принциџу площадей $\frac{d\rho }{dt}=\frac{\alpha }{r^2}$, то
$${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2={\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+\frac{{\alpha }^2}{r^2}.$$

и следовательно получим:
$$\frac{1}{2}\{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2\}=\int (Xdx+Rdr)-\frac{1}{2}\frac{{\alpha }^2}{r^2}$$

жо и есть интегральное уравнение снстемы (7).
Тешерь дело сводится к тому, чтобы найти еще один интеграл; следовательно задача притяжения точки любым числом неподвижных центров, лежащих на одной прямой, цричем на эту точку может кроме того тействовать еще постоянная сила, шараллельная той прямой, приводится к разысканию одного интегрального уравнения некоторой системы второго порядка.

Если имеются только два неподвижных центра, то мы пайдем это интегральное уравнение по методу, изложеншому в начале этой лекции. Координаты $x$ и $r$ будут те самые, которые выше обозначены через $x_2$ и $x_1$, но силовая фунқция уже не будет больше та же самая. Когда всё движение происходит в плоскости, то ее значение будет $\int (Xdx+Rdr)$; теперь же приеоединяется член $-\frac{1}{2}\frac{{\alpha }^2}{r^2}$ или, согласно прежнему обозначению,
$$-\frac{1}{2}\frac{{\alpha }^2}{x_1{}^2}\text{. }$$

Для того чтобы дифференциальное уравнение (1), после присоединения этого члена к силовой функции, можно было бы всё же интегрировать по прежнему методу, этот член должен допускать приведение к форме
$$\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}[\chi \left({\lambda }_1\right)+\psi \left({\lambda }_2\right)],$$

и это на самом деле имеет место, так как согласно равенству (2)
$$x_1^2=\frac{(a_1+{\lambda }_1)(a_1+{\lambda }_2)}{a_1-a_2},$$

и разложением на простейшие дроби получим:
$$-\frac{1}{2}\frac{{\alpha }^2}{x_1^2}=\frac{1}{2}{\alpha }^2\frac{a_2-a_1}{(a_1+{\lambda }_1)(a_1+{\lambda }_2)}=-\frac{1}{2}{\alpha }^2\frac{a_2-a_1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\{\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}-\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}\}.$$

Таким образом к правой части уравнения (3) или, что то же, к $\frac{1}{2}U({\lambda }_1-{\lambda }_2$ ) присоединяется выражение
$$-\frac{1}{4}{\alpha }^2(a_2-a_1)\{\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}-\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}\}=-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}+\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_2},$$

н поэтому мы получим тешерь следующее уравнение в частных процвводных:
$$\begin{array}{l}(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1){\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_1}\right)}^2-(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2){\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_2}\right)}^2=\\ =\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}\\ -\{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}\}.\end{array}$$

Из этого уравнения получится:
$$\begin{array}{rl}W& =\int d{\lambda }_1\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}+\beta }{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)}}+\\ +\int d{\lambda }_2\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}+\beta }{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)}}\end{array}\}(8)$$

к отсюда дифференцированием по постоянной $\beta$ получится искомое второе интегральное уравнение системы (7):
$${\beta }^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial \beta }.$$

Это есть уравнение кривой, которую описывает движущаяся точка на вращающейся плоскости. Теперь нам остается еще ощределить угол вращения ; при этом нам встретится некоторое затруднение. Именно, если мы выразим дифференциал $\phi$, который на основании уравнения (6) и в настоящих обозначениях дается формулой
$$dv=\alpha \frac{dt}{x_1^2}$$

в величинах ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$, то сначала не получим нолного цифференциала. Действнтельно, если подставить в уравнение, служащее для определения времени
$$t-\tau =\frac{\partial W}{\partial h},$$

вместо $W$ его значение (8), то дифференциал $t$ получится в форме
$$dt=F_1\left({\lambda }_1\right)d{\lambda }_1+F_2\left({\lambda }_2\right)d{\lambda }_2,$$
— это выражение, будучи умножено на
$$\frac{\alpha }{x_1^2}=\frac{\alpha (a_1-a_2)}{(a_1+{\lambda }_1)(a_1+{\lambda }_2)},$$

не дает непосредственно полного дифференциала и может быть превращено в таковой только с помощью имеющего место для переменных ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ уравнения (9).

Этой трудности можно избежать, если задачу шритяжения к двум неподвижным центрам полностью свести также для пространства к уравнению в частных проивводных, не входя в частные рассмотрения. Обпий вид уравнения в частіых производных ді свободного движения, когда имеет место теорема живой снлы, есть
$${\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial W}{\partial z}\right)}^2=2U+2h.$$

Если мы вместо $y$ п $z$ введем полярные кординаты п положин
$$y=r\cos \phi ,z=r\sin \phi ,$$

то получим:
$${\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial W}{\partial \phi }\right)}^2=2U+2h.$$

Так как в $U$ не входит переменная, то по общену, уже часто применявпемуся методу, можно положить
$$\mathrm{H}={\mathrm{W}}_1+\alpha \text{, }$$

те $W_1$-фукция только от $x$ и $r$, но не от $\phi$ : тогда будем илеть
$$\frac{\partial W}{\partial x}=\frac{\partial W_1}{\partial x},\frac{\partial W}{\partial \mathit{r}}=\frac{\partial W_1}{\partial \mathit{r}},\frac{\partial W}{\partial \phi }=\alpha ,$$

и уравнение в частных производных дая $W$ превратится в следующее:
$${\left(\frac{\partial W_1}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial W_1}{\partial r}\right)}^2=2U-\frac{{\alpha }^2}{r^2}+2h.$$

才то дифференцильное уравнение совпадает в точности с тен, которое мы получили выше приведением движения в пространстве к движению по вращающейся плоскости; так как проивведенное там рассмотрение ноказало, что от $U$ надо отнять члеи $\frac{{\alpha }^2}{2r^2}$, то введенная теперь постоянная $\alpha$ в точности совпадает с ранее так обозначенной. Поэтому выше полученное выражение (8) для $W$ удовлетворяет пифференциальному уравненио (10) для $W_1$, и мы определяем из пего $W$ с помощью равенства
$$W=W_1+\alpha \phi \text{. }$$
‘’ога отсюда вытекаю’ оба инғегральные уравнения
$${\beta }^{\prime }=\frac{\partial W^r}{\partial \beta }=\frac{\partial W_1}{\partial \beta };{\alpha }^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial \alpha }=\frac{\partial W_1}{\partial \alpha }+\phi ,$$

из которых первое то же самое, которое ми уже нашли выше, в то время ґак второе дает значение $?$ из уравнения ${\alpha }^{\prime }-\phi =\frac{\partial W_1}{\partial \alpha }$. Здесь на место $W_1$ надо подставить выражение (8) для $W$. Итак, оба интегральные уравнения, совокупность которых определяет кривую второго порядка, по которой двигается точка, будут следующие:
$${\beta }^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial \beta }\text{ и }{\alpha }^{\prime }-\phi =\frac{\partial W}{\partial x},$$

где
$$\begin{array}{l}W=\int d{\lambda }_1\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}+\beta }{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)}}+\\ +\int d{\lambda }_2\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}+\beta }{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)}}\end{array}$$

а время выразится ири помощи уравнения
$$\iota -\tau =\frac{\partial W}{\partial h}.$$

Шосле выполнения дифференцирований мы получаем следующие готовые формулы
$$\begin{array}{l}{\beta }^{\prime }=\int \frac{\frac{1}{2}d{\lambda }_1}{\sqrt{a_2+{\lambda }_1}V[\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1+\beta ](a_1+{\lambda }_1)-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2}}+\\ +\int \frac{\frac{1}{2}d{\lambda }_2}{\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\sqrt{[\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta ](a_1+{\lambda }_2)-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2}};\\ \psi -{\alpha }^{\prime }=\int \frac{\frac{1}{4}\alpha f^{2}d{\lambda }_1}{(a_1+{\lambda }_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}\sqrt{[\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\beta ](a_1+{\lambda }_1)-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2}}\\ +\int \frac{\frac{1}{4}a{f}^{2}d{\lambda }_2}{(a_1+{\lambda }_2)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\sqrt{[\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta ](a_1+{\lambda }_2)-\frac{1}{4}{a}^2{f}^2}};\\ 1-\tau =\int \frac{\frac{1}{4}{\lambda }_{1}d{\lambda }_1}{\sqrt{(a_2+{\lambda }_1)}\sqrt{[\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\beta ](a_1+{\lambda }_1)-\frac{1}{4}{\alpha }^2{t}_2^2}}\\ +\int \frac{\frac{1}{4}{\lambda }_{2}d{\lambda }_2}{\sqrt{(a_2+{\lambda }_2)}\sqrt{[\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta ](a_1+{\lambda }_2)-\frac{1}{4}\cdot {\alpha }^2{f}^2}}\end{array}$$

Здесь можек так же, как это было сделано выше, устранить иррациональность под знаком квадратного корня, вводя вместо ${\lambda }_1,{\lambda }_2$, как новые переменные, величины
$$\sqrt{a_2+{\lambda }_1}=p,\sqrt{a_2+{\lambda }_2}=q.$$