Мы докаяем щепосредственно ту теорему, $\mathbf{~ к о т о р о и ̆ ~ м ы ~ п р и ш л и ~}$ в конце проплой лекции.

Iредставим себе, это $n$ уравнений, которые обращают выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал и к которым припадлетат уравнения $\varphi=a$, $y=b$, решены относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и эти значения подставлены в уравнения $\varphi=a, \psi=b$; тогда эти последние будут вниолнелы тождественно. Поэтому, находя частные производьые от функций $\varphi=a$ и $\psi=b$ по какой-либо из величин $q$, снова получим тождеетво, если при этом рассматривать $p$ как функции величин $q$. Так, при дифференцировании уравнения $\varphi=a$ по $q_{i}$ получим
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial \rho_{2}}{\partial p_{2}}\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{l}}\right)+\cdots+\frac{\partial \rho}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{t}}\right)+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}=0
\]

мин
\[
\sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{t}}\right)+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{t}}=0 .
\]

Точно так же щри дифферепцировании $\dot{\psi}=b$ по $q_{k}$
\[
\sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)+\frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}=0 .
\]

Умножим первое из этпх уравнений на $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ и просуммируем по $i$ от 1 до $n$, умножим затем второе уравнение на $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}$ и просуммируем по $k$ ол 1 до $n_{\gamma}^{2}$ тогда иы получим следующие два результата:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)+\sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}=0, \\
\sum_{k=1}^{k} \sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)+\sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \zeta}{\partial q_{k}}=0 .
\end{array}
\]

Если эти равенства вычесть одно из другого, то двойные суммы сократятен, так вак величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ определяются из $n$ уравнений, обрацающих
аражени е $p_{1} d q_{2}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал, благодаря иему $\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)$; таким образом останется следующее равенство:
\[
\sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{k}}-\sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \Psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}=0
\]

๒ภा
\[
\sum_{k=1}^{k=n}\left\{\frac{\partial \stackrel{\varphi}{p}}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}\right\}=0
\]

этот результат согласуется с уравнением (12) прошлой пекции. Из этого доказательства видим, что для вывода уравнения (1) необходимы все условные уравнения
\[
\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)
\]

так как только гри цомощи этого равенства согратятся двойные суммы, распространенные на все значения $i$ и $l$.

Уравнение (1) предполагает, как мы раньше заметили, только то, что уравнения $\varphi=a$ и $\psi=b$ являются какими-нибудь двумя из таких $u$ уравнений, которые обращают выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал. Взятые при таком общем предшоложении $a$ и $b$ могут быть как произвольными постоянными, так и определенными численными величинами, папример, нулями. Равным образом мы можем не делать никаких особых предположений относительно прподы функциӥ $\varphi$ и $\psi$. Эти функци сами могут содержать произвольные постоянные, но могут таліке быть свободными от них.

Сообразно с этими различными обстоятельствами равенство (1) будет тождеством или не будет таковым. Если $a$ и $b$ не являютея произвольными иостоянными, то оно может не быть тождеством, а удовлетворяться вследетвие уравнений $\varphi=a$ и $\psi=b$. Но этот случай встречаетса всего реже; тораздо чаще встречается случай, когда уравнение (1) явллется третьим из $n$ уравнениї, обращающи выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал; тогда из уравнения (1) и одного из уравнений $\varphi=a, \psi=b$ можно вывести простым дифферепцированием четвертое уравнение. Это уравнение снова будет либо тождеством, либо следствием уже иввестных нам трех уравнений, либо, наконец, четвертым из системы $n$ уравнений и т. д. Тагих образом может случиться, что из равенетв $\varphi=a$ и $\varphi=b$ простым дифференцированием получатея $n$ различны уравнений, которце иечерпывают оистему $n$ уравнений; но больше чем $n$ независимых друг от друга уравневиї, считая в их числе $\varphi=a$ и $\psi=b$, мы никогда не можем получить, так как все они должны удовлетворяться теми же самыми значениями $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, которые обращают $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал. Мы видим таким образом, что если мы нйчего не установим относительно харакгера уравнений $\varphi=a$ и $\downarrow=b$, то иы не сможем сказать ничего опредеденного относительно природы уравнения (1).

Это более точное определение получится, если мы требованио, что $\varphi=a$ п $\psi=b$ принадлежат к системе $n$ уравнений, обращающих выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференцал, присоединим еще требование, что функция
\[
V=\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}\right)
\]

есть полное решение предложенного уравнения в частных производных, х. е. она кроме аддитивной постоянной содержит еще $n-1$ произвольных постоянных. Іредположим, что предложенное уравнение в частных производных само содержит неопределенную поотоянную $h$ и решено относительно нее, т. е. опо имеет форму
\[
\varphi\left(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right)=h,
\]

и полное решение $V$ содержит кроме $h$ еце $n-1$ проиввольны постоянмых $h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n-1}$; тогда уравневия
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=p_{1}, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}=p_{n}
\]

будут как раз теми уравнениями, которые обращают выражение $p_{1} d q_{1}$ +. $+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал, а эго интеграл – в полное репение уравнения в частных проивводных. Іредотавим еебе эти $n$ уравнений репенными относительно содержащихся в них постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ и результат приведенным к виду
\[
h=H, h_{1}=H_{1}, h_{2}=H_{2}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1},
\]

где $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$ – функции только от $p_{1}, \quad p_{2}, \ldots p_{n}, \quad q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$; тогда первое уравнение $h=H$ очевидно есть не что иное, как данное уравнение в частных цроизводных, так как оно есть единственное свободное от произвольных постоянных $h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n-1}$. Таким образом, как мы видим, каждый раз получится, кроме данного дифференциального уравнения $h=H=\varphi$, еще $n-1$ независимых как от него, та́к и друг от друга уравнений вида:
\[
h_{1}=H_{1}, \quad h_{2}=H_{2}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1},
\]

о́ладающих ஈем свойством, что, если из этих $n$ уравнений определить величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, то $\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}\right)$ будет полным решением ураннения в частных производных $h=H$. Из этих $n$ уравнений
\[
h=H, \quad h_{1}=H_{1}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1}
\]

невозможно вывести еще какое-нибудь уравнение, совершенно свободное от постояниых $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$; в самои деле, иначе можно было бы из этого уравнения и из уравнения $h=H$ ислючить одну из величич $p$ и получить таким образом уравнение в частных производных, в котором число персчепных, по которым будет производиться дифференцирование, окажется на одну единицу ниже, чеи в предложенном уравнении, и которому однако удовлетворяло бы выражение $V=\int p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$; поэтому $V$ не могло бы быть полным решением уравнения $h=H$. Итак, невозможно исключить сразу все постоннные; отсюда следует, что если мы из $n$ уравнений $h=H, h_{1}=H_{1}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1}$ выведем уравнение, свободное ст всех постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n \rightarrow 1}$, то оно будет тождеством. В самом деле, это уравнение должно удовлетворяться значениями величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, которые мы определяем из тех $n$ уравнений. Но эти знатения $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ содержат снова столько же независимых друг от друга величин $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$; поэтому выпеуказанное уравнение, если оно тождественно удовлетворяетса досле подстановки значений $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, уже до подстановки должно быть тождеством. Таким уравнением является уравнение (1), если в неж вместоч и $\psi$ подставить две величины $H$; поэтому уравнение
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial \boldsymbol{p}_{1}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}-\frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{2}}-\ldots-\frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\}=0
\]

есть тождество. Итак, в том случае, когда $\varphi=a$ и $\psi=b$ принадлежат x системе уравнений $h_{i}=H_{i}$, не остается никакого сомнения относительно природы уравнения (1); мы знаем, что оно будет тогда тождеством. Іоэтому те $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений, которые мы получаем, подставляя вместо $\varphi$ и $\psi$ все комбинации по две из величин $H_{i}$, являются условными уравнениями, которым должны удовлетворять эти величины. Таким обравом мы получим снова $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений, которые должны удовлетворяться $n$ функциями, из которых иввестна одна именно $H$, а остальные $n-1$ функцик $H_{1}, H_{2}, \ldots H_{n-1}$ – нскомые.
Введем теперь обозначение:
\[
\left(H_{i}, H_{k}\right)=\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{k}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{k}}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{k}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial H_{k}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}-\frac{\partial H_{k}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{4}}{\partial q_{2}} \ldots-\frac{\partial H_{k}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right.
\]
[оно не имеет никакого отношения к введенному в прошлой лекци обозначению $(i, k)]$, так что для любого произвольного значения $H_{f}$ н $H_{k}$ будек: пуеть
\[
\left(H_{i}, H_{k}\right)=-\left(H_{k}, H_{i}\right),\left(H_{i}, H_{i}\right)=0 .
\]

Есяи теперь $h=H, h_{1}=H_{1}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1}$ являютея теми уравнениями которые обращают $V$ в полное решение предложенного уравнения в частных производных $h=H$, то величины $H$ должны удовлетворять $\frac{n(n-1)}{2}$ уеловным уравнениям, которые мы получим, если в уравнении
\[
\left(H_{i}, H_{k}\right)=0
\]

виесто обоих равличных друг от друга значков $i$ म $k$ нодетавим все возможвые комбинации по два из чисел $0,1, \ldots n-1$.

Этп $\frac{n(n-1)}{2}$ условий необходимы пля того, чтобы нодучаемне ия уравнений $h_{i}=H_{i}$ значения $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ обращали выражение $p_{1} d q_{1}$ $+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал, а его интеграл-в полное решение предложенного уравнения в частных шроизводных. Остаетея только нокавать, что они тапже достаточны, т. е. что если они выполнены, то в самом деле $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ будет полным дифлеренцилои
* вместе с тем будут иметь место $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений
\[
\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)=\left(\frac{\partial p_{t}}{\partial q_{k}}\right)
\]

[вторая часть высказанного начи ножоження, именно что
\[
\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}\right)
\]

есть полное решение, очевидна сама собой, так как постоянные $h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n}$ произвольны и друг от друга независимы]. Таким образом мы должны доказать, что из условных уравнений
\[
\left(H_{i}, H_{k}\right)=0
\]

едуют условные уравнения
\[
\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)=\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)
\]

так же как выше мы из последних вывели первые.
Чтобы провести это доказательство, мы должны вернуться к уравнениям, которые встретились в начале этой лекци при прямом доказательстве равенства (1). Исходя ив предшоложения, что $\varphi=a$ и $\psi=b$ принадлежат к’системе $n$ уравнений, которые служат для определения $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ как функций от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, и что поэтому уравнения $\varphi=a$ и $\psi=b$ тождественно удовлетворяются выражениями величин $p$ через $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\text {н }}$, мы голучили уравнення:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)+\sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}=0 \\
\sum_{i=1}^{k=n} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)+\sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}=0
\end{array}
\]

Iре,дположив затем вынолненными условные уравнения $\left(\frac{\partial \boldsymbol{p}_{k}}{\partial q_{i}}\right)-\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=0$, мы сократили при вычитании двойные суммы и получили новую форму условных уравнений; теперь, когда мы не можем предполагать вышолненными условные уравнения $\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)=\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)$, но хотим их доказать, мы получим, вычитая выпенаписанные два уравнения одно из другого и ставя на место функциї $ч$ и $\psi$ функции $H_{\alpha}$ и $H_{\beta}$, следующий результат:
\[
0=\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial H_{\alpha}}{\partial p_{k}} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial p_{i}}\left\{\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)\right\}+\sum_{i=1}^{i=n}\left\{\frac{\partial H_{\alpha}}{\partial p_{i}} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H_{\beta}}{\partial p_{i}} \frac{\partial H_{\alpha}}{\partial q_{i}}\right\} .
\]

Іростая сумма, образующ втая втой член правой части этого равенства, есть ие что иное, как величина, обозначенная выше через ( $\left.H_{\alpha}, H_{\beta}\right)$; двойная еумма, образующая червый чен, может быть сведена $\mathrm{k} \frac{n(n-1)}{2}$ членам, так как члены, в которых $i=k$, исчезают, а из прочих каждые два, подучаемые друг из друга перестановкой $i$ и $k$, соединяютея в один. Таких өбразом уравнение (2) превращается в:
\[
0=\sum_{i, k}\left\{\frac{\partial H_{\alpha}}{\partial p_{k}} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial p_{i}}-\frac{\partial H_{\beta}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial H_{\alpha}}{\partial p_{i}}\right\}\left\{\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)\right\}+\left(H_{a}, H_{\beta}\right)
\]

где суминование распространяетоя на все различны между собой комбинации $i$ и $k$. Таких уравнений, подетавдяя вместо $H_{\eta}, H_{\beta}$ две равличные из величин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, получим $\frac{n(n-1)}{2}$. Таким образом получитея вистема $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений, которые линейны по отнопению к величинам $\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)$ и в которых ( $\left.H_{\sigma}, H_{\xi}\right)$ образуют ностолнные чены. Надо показать, что когда эти последиие велнчины исчезают, то и все первые величины становятся равными нул. Но в спстеме линейных уравнений иччезновение постоянных членов всегда имеет необходимым следствием обращение в нул неиввестых, если топьо определитель системы не равен пулю, 1 в каковом случае значения неиввестных становятся неогределенными. Что этот случай здесь пе имеет места, можно доказать, не вычисляя самого огределителя, а прийяв во внимание, что формущы дыя рещения системы (2*) выводятоя из данной формы (2) уравнений этой сиетемн етедуюпим простым способом. Полагае дия сокращения
\[
\frac{\partial H_{2}}{\partial p_{i}}=\alpha_{i}^{(\alpha)}
\]

и обозначаем через $h$ огределитель, составленный из $n^{2}$ величин $a_{t}^{(a)}$, где $夫$ принимает значение $0,1, \ldots n-1$, а $i$-значения $1,2, \ldots n$, так что
\[
R=\sum \pm_{\mathrm{u}} a_{1} a_{2}{ }^{\prime} a_{3}{ }^{\prime \prime} \ldots a_{n}{ }^{(n-1)} ;
\]

да.тее нолагаем
\[
A_{i}^{(x)}=\frac{\partial R_{i}}{\partial a_{i}^{(x)}} .
\]

После подстановки этих обозначений и нерестановки $\alpha$ п уравнение (2) можно черенисать так:
\[
\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} a_{i}^{(x)} a_{k}^{(i)}\left\{\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)\right\}=\left(H_{t,}, H_{3}\right) .
\]

эо уравнение имеет место не тольк тогда, когда вместо $\alpha$ и $\beta$ нодетавлены два различные значения из ряда $0,1, \ldots n-1$, но также когда оба значка равны одному п тому же из этих $n$ значений. В этом последнем случае уравнение (3) есть тождество, так как тогда в уравнении (2*), только форматьно отхичающемея от уравнепия (9), все члены поодиночке обрацаютея в нуль.

Если мы умножим уравнепие (3) па $A_{r}^{(2)} A_{s}^{(3)}$, где $r$ и $s$ обовначают числа из ряда $1,2, \ldots n$, то-ножно, как это тодько-что замечено, еуммировать от 0 до $n-1$ по каждому из значков $\alpha$ и $\beta$, независимо от пругого значка. Если мы в резуптате изменим порлдои суммирований, ко́торые производятся с одной стороны по $i$ н $k$, а с другой чо $\alpha$ и $\beta$, и обозначин через $M_{i, k}$ двойную сумиу

то ножучим
\[
\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} M_{i, k}\left\{\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)\right\}=\sum_{\alpha=0}^{\alpha=n} \sum_{\beta=0}^{n-1} A_{r}^{(\alpha)} A_{s}^{(\beta)}\left(H_{\alpha}, H_{\beta}\right) .
\]
1 См. стр. 139 и 140.

Простые сумиы, проиведением воторых является $M_{i, k}$, равны 0 или $R^{1}$ смотря по тому, отличаютея ли $i$ от $r$ и $k$ от $s$, или $i$ совнадает с $r$ и $k$ e $s$. Таким образом имеем
\[
M_{i, k}=0
\]

кроме того случая, когда одноврехенно $i=r$ и $k=s$, и в этом случае
\[
M_{r, s}=R^{2}
\]

пюэтому уравнение (4) переходит в следующее:
\[
R^{2}\left\{\left(\frac{\partial p_{r}}{\partial q_{s}}\right)-\left(\frac{\partial p_{s}}{\partial q_{r}}\right)\right\}=\sum_{\alpha=0}^{\alpha=n-1} \sum_{\beta=0}^{\beta=n-1} A_{r}^{(\alpha)} A_{s}^{(\beta)}\left(H_{\alpha}, H_{\beta}\right) .
\]

Отсюда щы видим, что если по предположению все величины $\left(H_{\alpha}, H_{\beta}\right.$ ) равны нулю, то все величины $\left(\frac{\partial p_{r}}{\partial q_{s}}\right)-\left(\frac{\partial p_{s}}{\partial q_{r}}\right)$ также исчезают, если только $R$ не равен нулю. Но обращение в нуль выражения
\[
R=\boldsymbol{\Sigma} \pm a_{1} a_{2}^{\prime} a_{3}^{\prime \prime} \ldots a_{n}^{(n-1)}=\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial p_{2}} \ldots \frac{\partial H_{n-1}}{\partial p_{n}}
\]

обозначает, что $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, являющиеся функциями от величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, не независимы друг от друга, и таким образом уравнений $H=h, H_{1}=$ $=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}$ не достаточно, чтобы из них определить переменные $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ как функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Исключая этот единственный схучай, мы можем таким образом обратно из $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений
\[
\left(\dot{H}_{\alpha}, H_{\beta}\right)=0
\]

внвести $\frac{n(n-1)}{2}$ первоначальных ус:овных уравнениї
\[
\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)=0
\]
1 См. 11-ю декцию, $n^{\circ} 3$.