Мы докаяем щепосредственно ту теорему, $\mathbf{к}\mathbf{о}\mathbf{т}\mathbf{о}\mathbf{р}\mathbf{о}\mathbf{и}\mathbf{̆}\mathbf{м}\mathbf{ы}\mathbf{п}\mathbf{р}\mathbf{и}\mathbf{ш}\mathbf{л}\mathbf{и}$ в конце проплой лекции.

Iредставим себе, это $n$ уравнений, которые обращают выражение $p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$ в полный дифференциал и к которым припадлетат уравнения $\phi =a$, $y=b$, решены относительно $p_1,p_2,\dots p_n$ и эти значения подставлены в уравнения $\phi =a,\psi =b$; тогда эти последние будут вниолнелы тождественно. Поэтому, находя частные производьые от функций $\phi =a$ и $\psi =b$ по какой-либо из величин $q$, снова получим тождеетво, если при этом рассматривать $p$ как функции величин $q$. Так, при дифференцировании уравнения $\phi =a$ по $q_i$ получим
$$\frac{\partial \phi }{\partial p_1}\left(\frac{\partial p_1}{\partial q_i}\right)+\frac{\partial {\rho }_2}{\partial p_2}\left(\frac{\partial p_2}{\partial q_l}\right)+\cdots +\frac{\partial \rho }{\partial p_n}\left(\frac{\partial p_n}{\partial q_t}\right)+\frac{\partial \phi }{\partial q_i}=0$$

мин
$$\sum _{k=1}^{k=n}\frac{\partial \phi }{\partial p_k}\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_t}\right)+\frac{\partial \phi }{\partial q_t}=0.$$

Точно так же щри дифферепцировании $\dot{\psi }=b$ по $q_k$
$$\sum _{i=1}^{i=n}\frac{\partial \psi }{\partial p_i}\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)+\frac{\partial \psi }{\partial q_k}=0.$$

Умножим первое из этпх уравнений на $\frac{\partial \psi }{\partial p_i}$ и просуммируем по $i$ от 1 до $n$, умножим затем второе уравнение на $\frac{\partial \phi }{\partial p_k}$ и просуммируем по $k$ ол 1 до $n_{\gamma }^2$ тогда иы получим следующие два результата:
$$\begin{array}{l}\sum _{i=1}^{i=n}\sum _{k=1}^{k=n}\frac{\partial \psi }{\partial p_i}\frac{\partial \phi }{\partial p_k}\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)+\sum _{i=1}^{i=n}\frac{\partial \psi }{\partial p_i}\frac{\partial \phi }{\partial q_i}=0,\\ \sum _{k=1}^k\sum _{i=1}^{i=n}\frac{\partial \phi }{\partial p_k}\frac{\partial \psi }{\partial p_i}\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)+\sum _{k=1}^{k=n}\frac{\partial \phi }{\partial p_k}\frac{\partial \zeta }{\partial q_k}=0.\end{array}$$

Если эти равенства вычесть одно из другого, то двойные суммы сократятен, так вак величины $p_1,p_2,\dots p_n$ определяются из $n$ уравнений, обрацающих
аражени е $p_{1}d{q}_2+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$ в полный дифференциал, благодаря иему $\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)=\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)$; таким образом останется следующее равенство:
$$\sum _{k=1}^{k=n}\frac{\partial \phi }{\partial p_k}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_k}-\sum _{i=1}^{i=n}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p_i}\frac{\partial \phi }{\partial q_i}=0$$

๒ภा
$$\sum _{k=1}^{k=n}\{\frac{\partial \stackrel{\phi }{p}}{\partial p_k}\frac{\partial \psi }{\partial q_k}-\frac{\partial \psi }{\partial p_k}\frac{\partial \phi }{\partial q_k}\}=0$$

этот результат согласуется с уравнением (12) прошлой пекции. Из этого доказательства видим, что для вывода уравнения (1) необходимы все условные уравнения
$$\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)=\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)$$

так как только гри цомощи этого равенства согратятся двойные суммы, распространенные на все значения $i$ и $l$.

Уравнение (1) предполагает, как мы раньше заметили, только то, что уравнения $\phi =a$ и $\psi =b$ являются какими-нибудь двумя из таких $u$ уравнений, которые обращают выражение $p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$ в полный дифференциал. Взятые при таком общем предшоложении $a$ и $b$ могут быть как произвольными постоянными, так и определенными численными величинами, папример, нулями. Равным образом мы можем не делать никаких особых предположений относительно прподы функциӥ $\phi$ и $\psi$. Эти функци сами могут содержать произвольные постоянные, но могут таліке быть свободными от них.

Сообразно с этими различными обстоятельствами равенство (1) будет тождеством или не будет таковым. Если $a$ и $b$ не являютея произвольными иостоянными, то оно может не быть тождеством, а удовлетворяться вследетвие уравнений $\phi =a$ и $\psi =b$. Но этот случай встречаетса всего реже; тораздо чаще встречается случай, когда уравнение (1) явллется третьим из $n$ уравнениї, обращающи выражение $p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$ в полный дифференциал; тогда из уравнения (1) и одного из уравнений $\phi =a,\psi =b$ можно вывести простым дифферепцированием четвертое уравнение. Это уравнение снова будет либо тождеством, либо следствием уже иввестных нам трех уравнений, либо, наконец, четвертым из системы $n$ уравнений и т. д. Тагих образом может случиться, что из равенетв $\phi =a$ и $\phi =b$ простым дифференцированием получатея $n$ различны уравнений, которце иечерпывают оистему $n$ уравнений; но больше чем $n$ независимых друг от друга уравневиї, считая в их числе $\phi =a$ и $\psi =b$, мы никогда не можем получить, так как все они должны удовлетворяться теми же самыми значениями $p_1,p_2,\dots p_n$, которые обращают $p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$ в полный дифференциал. Мы видим таким образом, что если мы нйчего не установим относительно харакгера уравнений $\phi =a$ и $\downarrow =b$, то иы не сможем сказать ничего опредеденного относительно природы уравнения (1).

Это более точное определение получится, если мы требованио, что $\phi =a$ п $\psi =b$ принадлежат к системе $n$ уравнений, обращающих выражение $p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$ в полный дифференцал, присоединим еще требование, что функция
$$V=\int (p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n)$$

есть полное решение предложенного уравнения в частных производных, х. е. она кроме аддитивной постоянной содержит еще $n-1$ произвольных постоянных. Іредположим, что предложенное уравнение в частных производных само содержит неопределенную поотоянную $h$ и решено относительно нее, т. е. опо имеет форму
$$\phi (p_1,p_2,\dots p_n,q_1,q_2,\dots q_n)=h,$$

и полное решение $V$ содержит кроме $h$ еце $n-1$ проиввольны постоянмых $h_1,h_2,\dots h_{n-1}$; тогда уравневия
$$\frac{\partial V}{\partial q_1}=p_1,\frac{\partial V}{\partial q_2}=p_2,\dots \frac{\partial V}{\partial q_n}=p_n$$

будут как раз теми уравнениями, которые обращают выражение $p_{1}d{q}_1$ +. $+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$ в полный дифференциал, а эго интеграл — в полное репение уравнения в частных проивводных. Іредотавим еебе эти $n$ уравнений репенными относительно содержащихся в них постоянных $h,h_1,\dots h_{n-1}$ и результат приведенным к виду
$$h=H,h_1=H_1,h_2=H_2,\dots h_{n-1}=H_{n-1},$$

где $H,H_1,\dots H_{n-1}$ — функции только от $p_1,p_2,\dots p_n,q_1,q_2,\dots q_n$; тогда первое уравнение $h=H$ очевидно есть не что иное, как данное уравнение в частных цроизводных, так как оно есть единственное свободное от произвольных постоянных $h_1,h_2,\dots h_{n-1}$. Таким образом, как мы видим, каждый раз получится, кроме данного дифференциального уравнения $h=H=\phi$, еще $n-1$ независимых как от него, та́к и друг от друга уравнений вида:
$$h_1=H_1,h_2=H_2,\dots h_{n-1}=H_{n-1},$$

о́ладающих ஈем свойством, что, если из этих $n$ уравнений определить величины $p_1,p_2,\dots p_n$, то $\int (p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n)$ будет полным решением ураннения в частных производных $h=H$. Из этих $n$ уравнений
$$h=H,h_1=H_1,\dots h_{n-1}=H_{n-1}$$

невозможно вывести еще какое-нибудь уравнение, совершенно свободное от постояниых $h,h_1,\dots h_{n-1}$; в самои деле, иначе можно было бы из этого уравнения и из уравнения $h=H$ ислючить одну из величич $p$ и получить таким образом уравнение в частных производных, в котором число персчепных, по которым будет производиться дифференцирование, окажется на одну единицу ниже, чеи в предложенном уравнении, и которому однако удовлетворяло бы выражение $V=\int p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$; поэтому $V$ не могло бы быть полным решением уравнения $h=H$. Итак, невозможно исключить сразу все постоннные; отсюда следует, что если мы из $n$ уравнений $h=H,h_1=H_1,\dots h_{n-1}=H_{n-1}$ выведем уравнение, свободное ст всех постоянных $h,h_1,\dots h_{n\to 1}$, то оно будет тождеством. В самом деле, это уравнение должно удовлетворяться значениями величин $p_1,p_2,\dots p_n$, которые мы определяем из тех $n$ уравнений. Но эти знатения $p_1,p_2,\dots p_n$ содержат снова столько же независимых друг от друга величин $h,h_1,\dots h_{n-1}$; поэтому выпеуказанное уравнение, если оно тождественно удовлетворяетса досле подстановки значений $p_1,p_2,\dots p_n$, уже до подстановки должно быть тождеством. Таким уравнением является уравнение (1), если в неж вместоч и $\psi$ подставить две величины $H$; поэтому уравнение
$$\begin{array}{r}\frac{\partial H_i}{\partial p_1}\frac{\partial H_{i^{\prime }}}{\partial q_1}+\frac{\partial H_i}{\partial p_2}\frac{\partial H_{i^{\prime }}}{\partial q_2}+\dots +\frac{\partial H_i}{\partial p_n}\frac{\partial H_{i^{\prime }}}{\partial q_n}\\ -\frac{\partial H_{i^{\prime }}}{\partial {\mathit{p}}_1}\frac{\partial H_i}{\partial q_1}-\frac{\partial H_{i^{\prime }}}{\partial p_2}\frac{\partial H_i}{\partial q_2}-\dots -\frac{\partial H_{i^{\prime }}}{\partial p_n}\frac{\partial H_i}{\partial q_n}\end{array}\}=0$$

есть тождество. Итак, в том случае, когда $\phi =a$ и $\psi =b$ принадлежат x системе уравнений $h_i=H_i$, не остается никакого сомнения относительно природы уравнения (1); мы знаем, что оно будет тогда тождеством. Іоэтому те $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений, которые мы получаем, подставляя вместо $\phi$ и $\psi$ все комбинации по две из величин $H_i$, являются условными уравнениями, которым должны удовлетворять эти величины. Таким обравом мы получим снова $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений, которые должны удовлетворяться $n$ функциями, из которых иввестна одна именно $H$, а остальные $n-1$ функцик $H_1,H_2,\dots H_{n-1}$ — нскомые.
Введем теперь обозначение:
$$(H_i,H_k)=\{\begin{array}{c}\frac{\partial H_i}{\partial p_1}\frac{\partial H_k}{\partial q_1}+\frac{\partial H_i}{\partial p_2}\frac{\partial H_k}{\partial q_2}+\dots +\frac{\partial H_i}{\partial p_n}\frac{\partial H_k}{\partial q_n}\\ -\frac{\partial H_k}{\partial p_1}\frac{\partial H_i}{\partial q_1}-\frac{\partial H_k}{\partial p_2}\frac{\partial H_4}{\partial q_2}\dots -\frac{\partial H_k}{\partial p_n}\frac{\partial H_i}{\partial q_n}\end{array}$$
[оно не имеет никакого отношения к введенному в прошлой лекци обозначению $(i,k)]$, так что для любого произвольного значения $H_f$ н $H_k$ будек: пуеть
$$(H_i,H_k)=-(H_k,H_i),(H_i,H_i)=0.$$

Есяи теперь $h=H,h_1=H_1,\dots h_{n-1}=H_{n-1}$ являютея теми уравнениями которые обращают $V$ в полное решение предложенного уравнения в частных производных $h=H$, то величины $H$ должны удовлетворять $\frac{n(n-1)}{2}$ уеловным уравнениям, которые мы получим, если в уравнении
$$(H_i,H_k)=0$$

виесто обоих равличных друг от друга значков $i$ म $k$ нодетавим все возможвые комбинации по два из чисел $0,1,\dots n-1$.

Этп $\frac{n(n-1)}{2}$ условий необходимы пля того, чтобы нодучаемне ия уравнений $h_i=H_i$ значения $p_1,p_2,\dots p_n$ обращали выражение $p_{1}d{q}_1$ $+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$ в полный дифференциал, а его интеграл-в полное решение предложенного уравнения в частных шроизводных. Остаетея только нокавать, что они тапже достаточны, т. е. что если они выполнены, то в самом деле $p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$ будет полным дифлеренцилои
* вместе с тем будут иметь место $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений
$$\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)=\left(\frac{\partial p_t}{\partial q_k}\right)$$

[вторая часть высказанного начи ножоження, именно что
$$\int (p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n)$$

есть полное решение, очевидна сама собой, так как постоянные $h_1,h_2,\dots h_n$ произвольны и друг от друга независимы]. Таким образом мы должны доказать, что из условных уравнений
$$(H_i,H_k)=0$$

едуют условные уравнения
$$\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)=\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)$$

так же как выше мы из последних вывели первые.
Чтобы провести это доказательство, мы должны вернуться к уравнениям, которые встретились в начале этой лекци при прямом доказательстве равенства (1). Исходя ив предшоложения, что $\phi =a$ и $\psi =b$ принадлежат к’системе $n$ уравнений, которые служат для определения $p_1,p_2,\dots p_n$ как функций от $q_1,q_2,\dots q_n$, и что поэтому уравнения $\phi =a$ и $\psi =b$ тождественно удовлетворяются выражениями величин $p$ через $q_1,q_2,\dots q_{\text{н }}$, мы голучили уравнення:
$$\begin{array}{l}\sum _{i=1}^{i=n}\sum _{k=1}^{k=n}\frac{\partial \psi }{\partial p_i}\frac{\partial \phi }{\partial p_k}\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)+\sum _{i=1}^{i=n}\frac{\partial \psi }{\partial p_i}\frac{\partial \phi }{\partial q_i}=0\\ \sum _{i=1}^{k=n}\sum _{k=1}^{k=n}\frac{\partial \psi }{\partial p_i}\frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial p_k}\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)+\sum _{k=1}^{k=n}\frac{\partial \phi }{\partial p_k}\frac{\partial \psi }{\partial q_k}=0\end{array}$$

Iре,дположив затем вынолненными условные уравнения $\left(\frac{\partial {\mathit{p}}_k}{\partial q_i}\right)-\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)=0$, мы сократили при вычитании двойные суммы и получили новую форму условных уравнений; теперь, когда мы не можем предполагать вышолненными условные уравнения $\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)=\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)$, но хотим их доказать, мы получим, вычитая выпенаписанные два уравнения одно из другого и ставя на место функциї $ч$ и $\psi$ функции $H_{\alpha }$ и $H_{\beta }$, следующий результат:
$$0=\sum _{i=1}^{i=n}\sum _{k=1}^{k=n}\frac{\partial H_{\alpha }}{\partial p_k}\frac{\partial H_{\beta }}{\partial p_i}\{\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)-\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)\}+\sum _{i=1}^{i=n}\{\frac{\partial H_{\alpha }}{\partial p_i}\frac{\partial H_{\beta }}{\partial q_i}-\frac{\partial H_{\beta }}{\partial p_i}\frac{\partial H_{\alpha }}{\partial q_i}\}.$$

Іростая сумма, образующ втая втой член правой части этого равенства, есть ие что иное, как величина, обозначенная выше через ( $H_{\alpha },H_{\beta })$; двойная еумма, образующая червый чен, может быть сведена $\mathrm{k}\frac{n(n-1)}{2}$ членам, так как члены, в которых $i=k$, исчезают, а из прочих каждые два, подучаемые друг из друга перестановкой $i$ и $k$, соединяютея в один. Таких өбразом уравнение (2) превращается в:
$$0=\sum _{i,k}\{\frac{\partial H_{\alpha }}{\partial p_k}\frac{\partial H_{\beta }}{\partial p_i}-\frac{\partial H_{\beta }}{\partial p_k}-\frac{\partial H_{\alpha }}{\partial p_i}\}\{\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)-\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)\}+(H_a,H_{\beta })$$

где суминование распространяетоя на все различны между собой комбинации $i$ и $k$. Таких уравнений, подетавдяя вместо $H_{\eta },H_{\beta }$ две равличные из величин $H,H_1,\dots H_{n-1}$, получим $\frac{n(n-1)}{2}$. Таким образом получитея вистема $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений, которые линейны по отнопению к величинам $\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)-\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)$ и в которых ( $H_{\sigma },H_{\xi })$ образуют ностолнные чены. Надо показать, что когда эти последиие велнчины исчезают, то и все первые величины становятся равными нул. Но в спстеме линейных уравнений иччезновение постоянных членов всегда имеет необходимым следствием обращение в нул неиввестых, если топьо определитель системы не равен пулю, 1 в каковом случае значения неиввестных становятся неогределенными. Что этот случай здесь пе имеет места, можно доказать, не вычисляя самого огределителя, а прийяв во внимание, что формущы дыя рещения системы (2*) выводятоя из данной формы (2) уравнений этой сиетемн етедуюпим простым способом. Полагае дия сокращения
$$\frac{\partial H_2}{\partial p_i}={\alpha }_i^{(\alpha )}$$

и обозначаем через $h$ огределитель, составленный из $n^2$ величин $a_t^{(a)}$, где $\mathrm{夫}$ принимает значение $0,1,\dots n-1$, а $i$-значения $1,2,\dots n$, так что
$$R=\sum {\pm }_{\mathrm{u}}{a}_1{a}_2{}^{\prime }{a}_3{}^{\prime \prime }\dots a_n{}^{(n-1)};$$

да.тее нолагаем
$$A_i^{(x)}=\frac{\partial R_i}{\partial a_i^{(x)}}.$$

После подстановки этих обозначений и нерестановки $\alpha$ п уравнение (2) можно черенисать так:
$$\sum _{i=1}^{i=n}\sum _{k=1}^{k=n}{a}_i^{(x)}{a}_k^{(i)}\{\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)-\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)\}=(H_{t,},H_3).$$

эо уравнение имеет место не тольк тогда, когда вместо $\alpha$ и $\beta$ нодетавлены два различные значения из ряда $0,1,\dots n-1$, но также когда оба значка равны одному п тому же из этих $n$ значений. В этом последнем случае уравнение (3) есть тождество, так как тогда в уравнении (2*), только форматьно отхичающемея от уравнепия (9), все члены поодиночке обрацаютея в нуль.

Если мы умножим уравнепие (3) па $A_r^{(2)}{A}_s^{(3)}$, где $r$ и $s$ обовначают числа из ряда $1,2,\dots n$, то-ножно, как это тодько-что замечено, еуммировать от 0 до $n-1$ по каждому из значков $\alpha$ и $\beta$, независимо от пругого значка. Если мы в резуптате изменим порлдои суммирований, ко́торые производятся с одной стороны по $i$ н $k$, а с другой чо $\alpha$ и $\beta$, и обозначин через $M_{i,k}$ двойную сумиу

то ножучим
$$\sum _{i=1}^{i=n}\sum _{k=1}^{k=n}{M}_{i,k}\{\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)-\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)\}=\sum _{\alpha =0}^{\alpha =n}\sum _{\beta =0}^{n-1}{A}_r^{(\alpha )}{A}_s^{(\beta )}(H_{\alpha },H_{\beta }).$$
1 См. стр. 139 и 140.

Простые сумиы, проиведением воторых является $M_{i,k}$, равны 0 или $R^1$ смотря по тому, отличаютея ли $i$ от $r$ и $k$ от $s$, или $i$ совнадает с $r$ и $k$ e $s$. Таким образом имеем
$$M_{i,k}=0$$

кроме того случая, когда одноврехенно $i=r$ и $k=s$, и в этом случае
$$M_{r,s}=R^2$$

пюэтому уравнение (4) переходит в следующее:
$$R^2\{\left(\frac{\partial p_r}{\partial q_s}\right)-\left(\frac{\partial p_s}{\partial q_r}\right)\}=\sum _{\alpha =0}^{\alpha =n-1}\sum _{\beta =0}^{\beta =n-1}{A}_r^{(\alpha )}{A}_s^{(\beta )}(H_{\alpha },H_{\beta }).$$

Отсюда щы видим, что если по предположению все величины $(H_{\alpha },H_{\beta }$ ) равны нулю, то все величины $\left(\frac{\partial p_r}{\partial q_s}\right)-\left(\frac{\partial p_s}{\partial q_r}\right)$ также исчезают, если только $R$ не равен нулю. Но обращение в нуль выражения
$$R=\mathbf{\Sigma }\pm a_1{a}_2^{\prime }{a}_3^{\prime \prime }\dots a_n^{(n-1)}=\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial H}{\partial p_1}\frac{\partial H_1}{\partial p_2}\dots \frac{\partial H_{n-1}}{\partial p_n}$$

обозначает, что $H,H_1,\dots H_{n-1}$, являющиеся функциями от величин $p_1,p_2,\dots p_n$, не независимы друг от друга, и таким образом уравнений $H=h,H_1=$ $=h_1,\dots H_{n-1}=h_{n-1}$ не достаточно, чтобы из них определить переменные $p_1,p_2,\dots ,p_n$ как функции от $q_1,q_2,\dots q_n$. Исключая этот единственный схучай, мы можем таким образом обратно из $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений
$$({\dot{H}}_{\alpha },H_{\beta })=0$$

внвести $\frac{n(n-1)}{2}$ первоначальных ус:овных уравнениї
$$\left(\frac{\partial p_i}{\partial q_k}\right)-\left(\frac{\partial p_k}{\partial q_i}\right)=0$$
1 См. 11-ю декцию, $n^{\circ }3$.