Улавная трудность шри интегрировании данных дифференциальных урагнений состоит в введении удобных перемепных, қля разыскания которых нет пикакого общего шравила. Іоптому мы толжиы итти обратным путен и, найдя какую-нибуді заметательную подетановку, разыекивать задачи, в которых она может быт : уснехом применепа.

ภl сообщил об одной такой подетановке берлипской академии в одной заметке, также нагечатанной в Crelles Journal, 1 и привел рял задач, в особенности из механики, в которых она применяется. Это применение основываетея главыым обравом на том, что выракение $\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+$ $f\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}$ в повых гоораниатах принихает также очень нростой вид. Мы рассотрих потом по очереди эт задачи, к которм принадлежит попутно разобранное в проплой лекции притяжение в ,вум пеподвияным центрам, начнем же с того, чго уетановим упомянутую заметательную подстаповку ч притом, для общности, сраву ддя любого числа переменных.
Іусть предложено уравнение
\[
\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}+\lambda}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}+\lambda}+\ldots+\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}+\lambda}=1 .
\]

Шуег ветитипы $a_{1}, a_{2}, \ldots$ a $a_{n}$ рапоножены по их ветичиве так, что
\[
a_{1}<a_{2}<a_{3}<\ldots<a_{1} .
\]

де знак < цадо понимать так, что разноети $a_{2}-a_{1}, a_{3}-a_{2}$ должны быт положительныи числами. Числители вее ноложительны, па что указывает то обстолтельство, что дли пих поставлены квадраты. Умножим уравнение (1) на произведение ( $\left.a_{1}-\lambda\right)\left(a_{2}+\lambda\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda\right)$; тогда получия уравение $n$-ой отепени относптельно $\lambda$, корни которого обозначия через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$. lerко доказать, что все эти $n$ корней вещественны. В самом деле, заставим $\lambda$ пробегать все значения от – цо – и и исследуем, какие значения при этом принимает левая часть уравнения (1), которую мы обозначим через I. Для $\lambda=-\infty$ булет $L=0$; когга $\lambda$ растет. $I$ становитея отрицательным и пробегает вее отрицательные значения, пока не сделается бесконечным при $\lambda=-a_{n}$. Так как $a_{n}$ есть наибольшее из чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$, то $\lambda$ достигает сначала значения $-a_{n}$, т. е. $a_{n}+\lambda$ есть первый знаменатель, обращающийся в нуль. До того кақ $\lambda$ достигнет значения $-a_{n}$ выражение $a_{n}+\lambda$ отрицательно и когда $a_{n}+\lambda$. приблнжаетея к нулю, оказываетея
1 Bd XIX, стр. 309.

$\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}+\lambda}=-\infty$. Іогда $\lambda$ растет дальше, $a_{n}-\cdot \lambda$ становится положительным, $\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}+\lambda}$ делает поэтоиу скачок от $-\infty$ до $+\infty$, и так как остальные дроби жонечны и притом отрицательны, то всё, что было показано для $\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}+\lambda}$, применимо также к $L$. Если теперь $і$ растет далыпе и приближается к $-a_{n-1}$, то $L$ будет равно – ; такия обравом $L$ пробежало все вещественные значения при изменении $\lambda$. от $i=-a_{n}$ до $\lambda=-a_{n-1}$, следовательно в этом интервале должен лежать по крайней мере один корень уравнения и притох только один, так как $L$ от $\lambda=-a_{n}$ до $\lambda=-a_{n-1}$ непрерывно убывает. При $\lambda=-a_{n-1}$ величнна $L$ делает снова скачок от – до $+\infty$, и то же самоє пмеет место для дальнейшего продвижения, так чюо в калдом из интервалов от $-a_{n}$ До $-a_{n-1}$, от $-a_{n-1}$ до $-a_{n-2}, \ldots$ от $-a_{3}$ до $-a_{2}$, от $-a_{2}$ до $-a_{1}$ лежит один и только один корень уравнения. Если теперь $\lambda$ толькочто перепло значение $-a_{1}$, то $L=+\infty$, и в то время как $\lambda$, начиная отсюда, растет дальше до $+\infty, L$ убывает до 0 . В этом интервале от $-a_{1}$ до $+\infty$ должен таким образом также лежать один корень. Таким образом мы показали, что уравнение (1) имеет $n$ вещественных корней $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$. Мы предшоложим, что они расположены по величине, так что $\lambda_{1}$ лежит между $+\infty$ и $-a_{1}, \lambda_{2}$ между $-a_{1}$ и – $a_{2}$ и т. д., наконед $\lambda_{n}$ между $-a_{n-4}$ и $-a_{n}$. Таким образои имеем:
\[
\lambda_{1}>\lambda_{2}>\lambda_{3}>\ldots>\lambda_{n-1}>\lambda_{n} .
\]

Если эти значения $i$ подставить в уравнение (1), то получится следующая еистема тождественных равенств:
\[
\begin{array}{l}
\frac{x_{1}{ }^{2}}{a_{1}+\lambda_{1}}+\frac{x_{2}{ }^{2}}{a_{2}+\lambda_{1}}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{a_{n-1}+\lambda_{1}}+\frac{x_{n}{ }^{2}}{a_{n}+\lambda_{1}}=1, \\
\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}+\lambda_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}+\lambda_{2}}+\ldots+\frac{x_{n-1}^{2}}{a_{n-1}+\lambda_{2}}+\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}+\lambda_{2}}=1 \text {, } \\
\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}+\lambda_{n}}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}+\lambda_{n}}+\cdots+\frac{x_{n-1}^{2}}{a_{n-1}+\lambda_{n}}+\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}+\lambda_{n}}=1 \text {. } \\
\end{array}
\]

Если мы будем рассматривать величины $a$ как шостоянные, величины же $x$ и $\lambda$, напротив как переменные, то их взаимная зависимость будет такоге рода, что в то время как величины $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ найдутся из величин $x_{1}{ }^{2}, x_{2}{ }^{2}, \ldots x_{n}{ }^{2}$ путем решения уравнения $n$-ой степени (1), обратно велпчины $x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, \ldots x_{n}^{2}$ определятея как функции $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ из системь линейных уравнений. Мы пришли теперь к репению сиетемы (S), для чего мы из различных возможных способов выберем способ последовательного исключения. Iрежде всего мы псключаөз $x_{n}{ }^{2}$ при помощи первого уравнения изо всех остальных уравнений. Например, чтобы исключить его из второго, мы должны первое уравнепие, унноженное на $a_{n}+\lambda_{1}$, вычесть из второго, умноженного на $a_{n}+\lambda_{2}$, и тогда полутим:
\[
u_{1}^{2}\left\{\frac{a_{n}+\lambda_{2}}{a_{1}+\lambda_{2}}-\frac{a_{n}+\lambda_{1}}{a_{1}+\lambda_{1}}\right\}+\ldots+x_{n-1}^{2}\left\{\frac{a_{n}+\lambda_{2}}{a_{n-1}+\lambda_{2}}-\frac{a_{n}+\lambda_{1}}{a_{n-1}+\lambda_{1}}\right\}=\lambda_{2}-\lambda_{n}
\]

Воспользовавнись тождеством
\[
\frac{a_{n}+\lambda_{2}}{a_{1}-\lambda_{2}}-\frac{a_{n}+\lambda_{1}}{a_{1}+\lambda_{1}}=\frac{\left(a_{1}-a_{n}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)}
\]

и отбросив во всех членах общий множитель $\lambda_{2}-\lambda_{1}$, преобразует наше
уравнение в следующее:
\[
\begin{array}{c}
\frac{a_{1}-a_{n}}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)} x_{1}{ }^{2}+ \\
+\frac{a_{2}-a_{n}}{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)} x_{2}{ }^{2}+\ldots+\frac{a_{n-1}-a_{n}}{\left(a_{n-1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{n-1}+\lambda_{2}\right)} x^{2}{ }_{n-1}=1 .
\end{array}
\]

Шроделаем такое же исклиение из первого и третьег, из первого и четвертого…, наконец из шервого и $n$-го уравнения спстемы (S); тогда получим следующую систему ( $n-1$ )-го порядка:
\[
\begin{array}{l}
\frac{a_{1}-a_{n}}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)} x_{1}^{2}+ \\
+\frac{a_{2}-a_{n}}{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)} x_{2}^{2}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{\left(a_{n-1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{n-1}+\lambda_{2}\right)} a_{n \rightarrow 1}^{2}=1 \text {, } \\
\frac{a_{1}-a_{n}}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)} x_{1}{ }^{2}+ \\
+\frac{a_{2}-a_{n}}{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)} x_{2}^{2}+\ldots+\frac{a_{n-1}-a_{n}}{\left(a_{n-1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{n-1}+\lambda_{3}\right)} x_{n-1}^{2}=1 \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\frac{a_{1}-a_{n}}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{n}\right)} x_{1}^{2}+ \\
+\frac{a_{2}-a_{n}}{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{n}\right)} x_{2}{ }^{2}+\ldots+\frac{a_{n-1}-a_{n}}{\left(a_{n-1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{n-1}-\lambda_{n}\right)} x^{2}{ }_{n-1}=1 \text {. } \\
\end{array}
\]
$\left(\mathrm{S}_{1}\right)$
От этой первой приведенной системы ( $n-1$ )-го норядка иожно снова тем же путем перейти ко второй приведенной системе ( $n-2$ )-го норядва, причем следует только заметить, что если рассматривать
\[
\frac{a_{1}-a_{n}}{a_{1}+\lambda_{1}} x_{1}^{2} ; \frac{a_{2}-a_{n}}{a_{2}+\lambda_{1}} x_{2}^{2} ; \ldots \frac{a_{n-1}-a_{n}}{a_{n-1}+\lambda_{1}} x_{n-1}^{2},
\]

как новые переменные, то система $\left(\mathrm{S}_{1}\right)$ будет иметь ту же форму, как система (S). Таким образом получаем вторую шриведенную систему:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\left(a_{1}-a_{n}\right)\left(a_{1}-a_{n-1}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)} x_{1}^{2}+\frac{\left(a_{2}-a_{n}\right)\left(a_{2}-a_{n-1}\right)}{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)} x_{2}^{2}+\ldots+ \\
+\frac{\left(a_{n-2}-a_{n}\right)\left(a_{n-2}-a_{n-1}\right)}{\left(a_{n-2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{n-2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{n-2}+\lambda_{3}\right)} x^{2}{ }_{n-2}=1 \\
\frac{\left(a_{1}-a_{n}\right)\left(a_{1}-a_{n-1}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{4}\right)} x_{1}^{2}+\frac{\left(a_{2}-a_{n}\right)\left(a_{2}-a_{n-1}\right)}{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{4}\right)} x_{2}^{2}+\ldots+ \\
+\frac{\left(a_{n-2}-a_{n}\right)\left(a_{n-2}-a_{n-1}\right)}{\left(a_{n-2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{n-2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{n-2}+\lambda_{4}\right)} x_{n-2}^{2}=1, \\
\frac{\left(a_{1}-a_{n}\right)\left(a_{1}-a_{n-1}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{n}\right)} x_{1}^{2}+\frac{\left(a_{2}-a_{n}\right)\left(a_{2}-a_{n-1}\right)}{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{n}\right)} x_{2}^{2}+\ldots+ \\
+\frac{\left(a_{n-2}-a_{n}\right)\left(a_{n-2}-a_{n-1}\right)}{\left(a_{n-2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{n-2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{n-2}+\lambda_{n}\right)} x_{n-2}^{2}=1 \text {, } \\
\end{array}
\]
$\left(\mathrm{S}_{2}\right)$

и если таким же образои продолжать дальше, то првдем в сиотеме ( $\mathrm{S}_{n \rightarrow 1}$ ), воторая содержит только одну переменную $x_{1}{ }^{2}$ и состоит только из одного уравнения. Это уравнение, о форме которого можно заключить из самого процесса вычисления, будет следующим:
\[
\frac{\left(a_{1}-a_{n}\right)\left(a_{1}-a_{n-1}\right) \ldots\left(a_{1}-a_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right) \ldots\left(a_{1}+\lambda_{n}\right)} x_{1}^{2}=1 ;
\]

хакия образом, решая скстему (S), получим следующие значения:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}^{2}=\frac{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right) \ldots\left(a_{1}+\lambda_{n-1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{n}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right) \ldots\left(a_{1}-a_{n}\right)}, \\
a_{2}^{2}=\frac{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right) \ldots\left(a_{2}+\lambda_{n-1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{n}\right)}{\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right) \ldots\left(a_{2}-a_{n}\right)}, \\
x_{m}{ }^{2}=\frac{\left(a_{m}+\dot{\lambda}_{1}\right)\left(a_{m}+\dot{\lambda}_{2}\right) \ldots\left(\dot{a}_{m}+\dot{\lambda}_{n-1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{n}\right)}{\left(a_{m}-a_{1}\right)\left(a_{m}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{m}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{n}\right)}, \\
x_{n}{ }^{2}=\frac{\left(a_{n}+\lambda_{1}\right)\left(a_{n}+\lambda_{2}\right) \ldots\left(a_{n}+\dot{\lambda}_{n-1}\right)\left(a_{n}+\lambda_{n}\right)}{\left(a_{n}-a_{1}\right)\left(a_{n}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{n}-a_{n-1}\right)} . \\
\end{array}
\]

Так кап ети выражения равны квадратам, то ови должны быть положительны, в чем также легко убедиться. Например, в выражении для $x_{1}^{2}$ перєый множитель числителя положителен, остальные отрпцательны, таким обравом числитель имеет тот же знак, как ( -1$)^{n-1}$; в знаменателе все $(n-1)$ множители отрицательны, эначит он имеет тот же знак, как числитель; следовательно дробь положительна. То же самое будет иметь место для значений прочих величип: $x_{2}{ }^{2}, x_{3}{ }^{2}, \ldots x_{n}{ }^{2}$.

Можно также испытать выражения (2), подставляя их в систему (S), и ноказать, что она будет выполнена тождественно. ІІр ьтом следует воспользоваться вспомогательной теоремой, известной в теори разложения на простейние дроби, по которой сумма
\[
\sum_{m=1}^{m=n} \frac{a_{m}^{s}}{\left(a_{m}-a_{1}\right)\left(a_{m}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{m}-a_{n+1}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{n}\right)},
\]

при $s=1,2, \ldots n-2$ обращаэтся в нуль, и при $s=n-1$ равняется единице, в то время как для всякого большего значения $n-1+r$, получаемого $s$, она равна сумме комбинаций по $r$ с повторениями из элементов $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$; стедствия этой теоремы я развл в своей диссертации. 1 в системе (S) ееличине $\lambda_{i}$ соответствует уравнение
\[
1=\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}+\lambda_{i}}+\frac{x_{2}{ }^{2}}{a_{2}+\lambda_{i}}+\ldots+\frac{x_{n}{ }^{2}}{a_{n}+\lambda_{i}}=\sum_{m=1}^{m=n} \frac{x_{m}{ }^{2}}{a_{m}+\lambda_{i}} .
\]

Для того ттобы опо удовлетворялось звачениями (2) величин $x_{1}{ }^{2}, x_{2}{ }^{2}, \ldots x^{2}{ }_{i}$, должно быть тождественно выполнено равенство
\[
1=\sum_{m=1}^{m=n} \frac{\left(a_{m}+\lambda_{1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{2}\right) \ldots\left(a_{m}+\lambda_{i-1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(a_{m}+\lambda_{n}\right)}{\left(a_{m}-a_{1}\right)\left(a_{m}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{m}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{n}-a_{n}\right)},
\]

в чеи на самом деле можно удостоверитьсл при помощи тольо-что упомянутой теоремы, так как в числителе высшая степень $a_{m}$ есть $a_{m}^{n-1}$ п она имеет козффициевт 1.
1 Disquisitiones analyticae de fractionibus simplicibus. Berlini, 1825. (Полное собранпе сочннений, т. III, етр. 3 и следующие.)

Величины $x_{1}{ }^{2}, x_{2}{ }^{2}, \ldots x_{n}{ }^{2}$, определенные формулами (2), удовлетворяют еще другим уравнениям, которые можно сразу вывести при помощи указанной теоремы. В самом деле, разделим величины $x_{m}^{2}$ не только на $a_{m}+\lambda_{i}$, но на произведение множителей $a_{m}+\lambda_{i}, a_{m}+\lambda_{h}$, где $\lambda_{i}, \lambda_{k}$ обозначают два различных корня уравнения (1); тогда получим сумму, которая отличается от правой части уравнения (3) только тем, что числитель по отнопению к $a_{m}$ будет не $(n-1)$-ой стешени, а только ( $n-2$ )-ой. Iортому сумма будет равна нулю, и мы имеем уравнение:
\[
\frac{x_{1}^{2}}{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{1}+\lambda_{k}\right)}+\frac{x_{2}^{2}}{\left(a_{2}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}+\lambda_{k}\right)}+\ldots+\frac{x_{n}^{2}}{\left(a_{n}+\lambda_{t}\right)\left(a_{n}+\lambda_{k}\right)}=0 .
\]

Исследуем, что будет с левой частью уравнения (4), если $\lambda_{l}, \lambda_{k}$ не обозвачают больше различных корней, но представляют один и тот же корень уравневия (1).
Итак, сщрапиваетея, какое значение получтт выражение
\[
M_{i}=\frac{x_{1}^{2}}{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{\left(a_{2}+\lambda_{i}\right)^{2}}+\ldots+\frac{x_{n}^{2}}{\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)^{2}},
\]

когда оно будет представлено только через $\lambda$. Подставляя значения (2) на место $x^{2}$, получим
\[
M_{i}=\sum_{m=1}^{m=n} \frac{\left(a_{m}+\lambda_{1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{2}\right) \ldots\left(a_{m}+\lambda_{i-1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(a_{m}+\lambda_{n}\right)}{\left(a_{m}+\lambda_{i}\right)\left(a_{m}-a_{1}\right) \ldots\left(a_{n b}-a_{n-1}\right)\left(a_{m}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{n}\right)} .
\]

Числитель дроби, стоящей под знаком суммы, есть функия ( $n-1$ )-ой степени от $a_{m}$. Полагаем в нем вместо каждого $a_{m}+\lambda_{s}$ выражение $a_{m}+\lambda_{i}+$ $+\lambda_{s}-\lambda_{i}$, разлагаем после этого числитель по степеням $a_{n}+\lambda_{i}$; тогда член, свободный от $a_{m}+\lambda_{i}$, будет:
\[
\left(\lambda_{1}-\lambda_{i}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{i}\right) \ldots\left(\lambda_{i-1}-\lambda_{i}\right)\left(\lambda_{i+1}-\lambda_{i}\right) \ldots\left(\lambda_{n}-\lambda_{i}\right) .
\]

Все остальные члены разложения, взятые вместе и разделенные на множитель $a_{n}+\lambda_{i}$, входящий в знаменатель, образуют функцию ( $n-2$ )-ой стегени от $a_{m}$ и поэтому, согласно упомянутой вспомогательной теореме, при суммировании по $m$ они вышадают. На основании этого выражение для $M_{i}$ превращается в следующее:
\[
M_{i}=\sum_{m=1}^{m=n} \frac{1}{a_{m}+\lambda_{i}} \frac{\left(\lambda_{1}-\lambda_{i}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{i}\right) \ldots\left(\lambda_{i-1}-\lambda_{i}\right)\left(\lambda_{i+1}-\lambda_{i}\right) \ldots\left(\lambda_{n}-\lambda_{i}\right)}{\left(a_{m}-a_{1}\right)\left(a_{m}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{m}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{n}\right)}
\]

но, как иввестно, согласно теории разложения на гростейшие дроби, имеет место равенство
\[
\begin{array}{c}
\sum_{m=1}^{m=n} \frac{1}{a_{m}+\lambda_{i}} \frac{1}{\left(a_{m}-a_{1}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{m}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{n}\right)}= \\
=\frac{(-1)^{n-1}}{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}-\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)} ;
\end{array}
\]

доэтому получим для $M_{i}$ окончательно такое значенне:
\[
M_{i}=\frac{\left(\lambda_{i}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{n}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}+\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)},
\]

и следовательно имеет место уравнение:
\[
\begin{array}{c}
\frac{x_{1}^{2}}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{\left(a_{2}+\lambda_{i}\right)^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}^{2}}{\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)^{2}}= \\
=\frac{\left(\lambda_{i}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{n}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}+\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)} .
\end{array}
\]

ђтот резултат можно получить другим, несколько более легиим путем. Подагаем
\[
u=1-\left\{\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}+\lambda}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}+\lambda}+\cdots+\frac{x_{n}{ }^{2}}{a_{n}+\lambda}\right\},
\]

так что уравнение $u=0$ тождественно с уравнением (1); тогда выражение $M_{i}$, определенное уравнением (5), может быть предетавлено при помощи функци и в форме
\[
M_{i}=\left(\frac{\partial u}{\partial \lambda}\right)_{\lambda=\lambda_{i}},
\]

и мы сможем цоэтому вывести выражение (6) для $M_{i}$ из $и$, если иредварптельно заменим в правой части уравнения (8) переменные $x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, \ldots x_{n}^{2}$ через переменные $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$. Чтобы произвести это преобразование, умножаем $u$ на произведение знаменателей $\left(a_{1}+\lambda\right)\left(a_{2}+\lambda\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda\right)$; тогда получим целое рациональное выражение $n$-го степени относительно $\lambda$, обращающееся в нуль, когда $\lambda_{n}$ принимает значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$, и имеющее козффициентом при $\lambda^{n}$ единицу. Таким образом имеем:
\[
\left(a_{1}+\lambda\right)\left(a_{2}+\lambda\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda\right) u=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)
\]
и.ли
\[
u=\frac{\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)}{\left(a_{1}+\lambda\right)\left(a_{2}+\lambda\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda\right)} ;
\]

попутно заметим, что из сопоставления этого равенетва с равепством (8) мокно заключить, что значения (2) величин $x_{1}{ }^{2}, x_{2}{ }^{2}, \ldots x_{n}{ }^{2}$ могут быть определены как взятые с отрицательными знаками числители простейших дробей $\frac{1}{a_{1}+\lambda}, \frac{1}{a_{2}+\lambda}, \ldots \frac{1}{a_{n}+\lambda}$ в разложении дроби (8*). Дифференцируя выражение (8*) для $u$ по $\lambda$ и затем голагая $\lambda=\lambda_{i}$, мы получаем значение $M_{4}$ :
\[
M_{i}=\left(\frac{\partial u}{\partial \lambda}\right)_{\lambda_{0}=i}=\frac{\left(\lambda_{i}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{n}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}+\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)},
\]

совнадающее с здачением (6).
Iолученные результаты позволяют нам присоединить, без дальнейших вычислений, к выпеуказанной подстановке вытекающие из нее дифференциальные формулы. Если от значения $x_{m}{ }^{2}$, данного в равенстве (2):
\[
r_{m}^{2}=\frac{\left(a_{m}+\lambda_{1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{2}\right) \ldots\left(a_{m}+\lambda_{n-1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{n}\right)}{\left(a_{m}-a_{1}\right)\left(a_{m}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{n}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{n}-a_{n}\right)}
\]

взять логарифм и затем продифференцировать, то получим
\[
\frac{2 d x_{m}}{x_{m}}=\frac{d \lambda_{1}}{a_{m}+\lambda_{1}}+\frac{d \lambda_{2}}{a_{m}+\lambda_{2}}+\ldots+\frac{d \lambda_{n}}{a_{m}+\lambda_{n}} .
\]

Этсюда получаетел для суммы квадратов дифференциалов от $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ следующая формула:
\[
\begin{array}{c}
4\left(d x_{1}{ }^{2}+d x_{2}{ }^{2}+\ldots+d x_{n}{ }^{2}\right)=\sum_{m=1}^{m=n} \frac{x_{m}{ }^{2}}{\left(a_{m}+\lambda_{1}\right)^{2}} d \lambda_{1}{ }^{2}+\sum_{m=1}^{m=n} \frac{x_{m}{ }^{2}}{\left(a_{m}+\lambda_{2}\right)^{2}} d \lambda_{2}{ }^{2}+\ldots+ \\
+\sum_{m=1}^{m} \frac{x_{m}{ }^{2}}{\left(a_{m}+\lambda_{n}\right)^{2}} d \lambda_{n}{ }^{2}+2 \sum_{m=1}^{m=n} \frac{x_{m}{ }^{2}}{\left(a_{m}+\lambda_{1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{2}\right)} d \lambda_{1} d \lambda_{2}+\ldots
\end{array}
\]

Вследетвие равенства (4) коәффициент при $d \lambda_{1} d \lambda_{2}$ обращается в нуль, и точно так же уничтожаются коэффициенты при всех пропзведениях дифференциалов двух различных величин $\lambda$. Коэффициентами же при квадратах $d \lambda_{1}{ }^{2}, d \lambda_{2}{ }^{2}, \ldots d \lambda_{n}{ }^{2}$ на основании равенства (5) являются величины $M_{1}, M_{2}, \ldots I_{n}$, так тто мы имеем
\[
4\left(d x_{1}^{2}+d x_{2}^{2}+\ldots+d x_{n}^{2}\right)=M_{1} d \lambda_{1}^{2}+M_{2} d \lambda_{3}{ }^{2}+\ldots+M_{n} d \lambda_{n}{ }^{2},
\]

где коэффициенты $M$ определяются равенством (6):
\[
M_{i}=\frac{\left(\lambda_{i}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{n}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}+\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)} .
\]

Если мы распространим понятие о живой силе $\frac{1}{2}\left(x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}\right)$ свободно движущейся точки с массой 1 на $n$ измерений и положим
\[
T=\frac{1}{2}\left(x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+\ldots+x_{n}{ }^{2}\right),
\]

то это выражение $T$ можно шри шомощи равенстиа (9) цредставить ки функцию переменных $\lambda^{\prime}$ и их производных по $t$, и тогда получится
\[
8 T=4\left(x_{1}{ }^{2}+{x_{2}}^{\prime 2}+\ldots+x_{n}{ }^{2}\right)=M_{1} \lambda_{1}{ }^{2}+M_{2} \lambda_{2}{ }^{2}+\ldots+M_{n} \lambda_{n}{ }^{\prime 2} .
\]

Упомянутому распространению на $n$ измерений соответствует гамильтоново уравнение в частных пропзводных, левой частью которого является выражение:
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{\partial W}{\partial x_{n}}\right)^{2} .
\]

Оно получается из $2 \%$, если сделать подстановку:
\[
\frac{\partial T}{\partial x_{1}{ }^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial x_{1}}, \frac{\partial T}{\partial x_{2}{ }^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial x_{2}}, \ldots \frac{\partial T}{\partial x_{n}{ }^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial x_{n}} .
\]

Если мы хотим теперь найти, во что превратится это выражение при преобразовании переменных $x$ в переменные $\lambda$, то мы поступаем согласпо девятнадцатой лекции, применяя к преобразованному выражению $2 \%$ равенства
\[
\frac{\partial T}{\partial \lambda_{1}{ }^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{1}}, \frac{\partial T}{\partial \lambda_{2}{ }^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}, \ldots \frac{\partial T}{\partial \lambda_{n}{ }^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{n}} .
\]

В рассматриваемом случае мы имеек на основании равенства (10)
\[
4 \frac{\partial T}{\partial \lambda_{i}{ }^{\prime}}=M_{t} \lambda_{i}{ }^{\prime}=4 \frac{\partial W^{r}}{\partial \lambda_{i}},
\]

следовательно мы должны подставить
\[
\lambda_{i}^{\prime}=\frac{4}{M_{i}} \frac{\partial \mathrm{H}^{r}}{\partial \lambda_{i}}
\]
18:

в выражение
\[
2 \eta=\frac{1}{4}\left\{M_{1} \lambda_{1}^{\prime 2}+M_{2} \lambda^{\prime 2}+\ldots+M_{n} \lambda_{n}^{\prime 2}\right\}
\]

й таким образом получин:
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial W}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{\partial W}{\partial x_{n}}\right)^{2}=4\left\{\frac{1}{M_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{1}}\right)^{2}+\right. \\
\left.+\frac{1}{M_{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}+\ldots+\frac{1}{M_{n}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{n}}\right)^{2}\right\}
\end{array}
\]

эде для $M_{i}$ надо взять выражения (6); иначе это можно нанисать так:
\[
\sum\left(\frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right)^{2}=4 \sum \frac{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}+\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)}{\left(\lambda_{i}-\lambda_{1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{n}\right)}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{i}}\right)^{2} .
\]