Чтобы в заключение показать на особенно важном примере всю силу подстановки, разобранной в двадцать шестой лекци и давшей нам уже репение ряда механических задач, мы ее применим к теореме Абеля. Эта теорема относится к некоторой системе обыкновенных дифференциальых уравнений и дает две различные системы ее интегральных уравнений; из которых одна выражается через трансцендентные функции, другая – хисто алгебраически. Эти две системы интегральных уравнений, так различные по своей форме, тем не менее вполне тождественны.

Iо напему методу система обыкновенных дифференциальны уравнений сводится к одному уравнению в частных производных первого порядка, затем ицется полное решение этого уравнения, и производные, взятые от этого решения по произвольным постоянным, дают систему интегральных уравнений. Но решение уравнения в частных производных может принимать чрезвычайно разняциеся друг от друга формы; разыскивая эти различные формы, мы получаем различные по виду системы интегральных уравнеший, которые однако должны по своему значению совпадать друг с другом. ђто и есть тот путь, следуя воторым мы будем доказывать теорему Абеля. Мы будем исходить ив уравнения в частных производных
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{\partial V}{\partial x_{n}}\right)^{2}=2 h,
\]

соответствующего при $n=3$ простейшей механической задаче- ирямолинейному равномерному движению точи в пространстве. Оно заменяет обыкновенные дифференциальные уравнения
\[
\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}=0, \ldots \quad \frac{d^{2} x_{n}}{d t^{2}}=0 .
\]

Если воснользоваться подстановкой, данной в двадцать шестой лекции, то получится теорема Абеля и притом в более наглядной форме, чем та, в которой она дана Абелем.

Так как в уравнение (1) сами переменные $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ не входя’, то полное репение $V$ получим, полагая
\[
V=x_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\ldots+\alpha_{n} x_{n} .
\]

В самом деле, тогда постоянные $\alpha_{1}, x_{2}, \ldots \alpha_{n}$ должны только удовлетворять условию
\[
\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}+\ldots+\alpha_{n-1}^{2}+\alpha_{n}^{2}=2 h,
\]

тав что
\[
x_{n}=\sqrt{2 h-\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}-\ldots-\alpha_{n-1}^{2}},
\]

и поэтому $V$ содержит, не счптая постоянной, которую можно еще прибавить, $n$ – 1 постоянных; следовательно это есть полное решение. Как интегральные уравнения, мы получим следующие:
\[
\frac{\partial V}{\partial \alpha_{1}}=\alpha_{1}^{\prime} ; \quad \frac{\partial V}{\partial \alpha_{2}}=\alpha_{2}^{\prime} \ldots \frac{\partial V}{\partial \alpha_{n-1}}=\alpha_{n-1}^{\prime} ; \quad \frac{\partial V}{\partial h}=t-\tau
\]

บ.
\[
\begin{array}{l}
x_{1}-\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{n}} x_{n}=\alpha_{1}{ }^{\prime}, \\
x_{2}-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{n}} x_{n}=\alpha_{2}{ }^{\prime},
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
x_{n-1}-\frac{\alpha_{n-1}}{\alpha_{n}} x_{n}=\alpha_{n-1}^{\prime}, \\
\frac{1}{\alpha_{n}} x_{n}=t-\overline{ },
\end{array}
\]

мли наконец, подставляя последнее уравнение в остальные,
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\alpha_{1}(t-\tau)+\alpha_{1}{ }^{\prime}, \\
x_{2}=\alpha_{2}(t-\tau)+\alpha_{2}{ }^{\prime}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \alpha_{n-1}^{\prime}, \\
x_{n-1}=\alpha_{n-1}(t-\tau)+\alpha_{n}, \\
x_{n}=\alpha_{n}(t-\tau) .
\end{array}
\]

Іри $n=3$ это в самом деле будут уравнения прямолинейного движения.
Если мы теперь введем в уравнение (1) вместо переменных $x$ переменные $\lambda$, то получим по формуле (12) двадцать шестой лекции уравнение:
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}+\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)}{\left(\lambda_{i}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{n}\right)}\left(\frac{\partial V}{\partial \lambda_{i}}\right)^{2}=\frac{1}{2} h .
\]

Здесь не видно непосредственно, каким обравом в этом уравнении переменные могут быть отделены друг от друга. Но надо толью, вспомнив данную в двадцать шестой лекции (стр. 179) вспомогательную теорему из теории простейших дробей, составить следующую вытекающую из нее формулу
\[
\frac{1}{2} h=\sum_{i=1}^{i=n} \frac{c+c_{1} \lambda_{i}+c_{2} \lambda_{i}{ }^{2}+\ldots+c_{n-2} \lambda_{i}^{n-2}+\frac{1}{2} h \lambda_{i}^{n-1}}{\left(\lambda_{i}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{n}\right)},
\]

в которой $c, c_{1}, \ldots c_{n-2}$ обозначают произвольные постоянные, и это выражение для $\frac{1}{2} h$ подставить в (4). Если удовлетворить получающемуся отсюда уравнению
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{i=n} \frac{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}+\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)}{\left(\lambda_{i}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{n}\right)}\left(\frac{\partial V}{\partial \lambda_{i}}\right)^{2}= \\
=\sum_{i=1}^{i=n} \frac{c+c_{1} \lambda_{i}+c_{2} \lambda_{i}^{2}+\ldots+c_{n-2} \lambda_{i}^{n-2}+\frac{1}{2} h \lambda_{i}^{n-1}}{\left(\lambda_{i}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\right) \ldots\left(\lambda_{i}-\lambda_{n}\right)},
\end{array}\right\}
\]

цриравнивал друг цругу соответствующие члены обеих частей, и таким образом разложить уравневие в частных производных (6) на $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{c}
\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(\alpha_{2}+\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)\left(\frac{\partial V}{\partial \lambda_{i}}\right)^{2}= \\
=c+c_{1} \lambda_{i}+c_{2} \lambda_{i}^{2}+\ldots+c_{n-2} \lambda_{i}^{n-2}+\frac{1}{2} h \lambda_{i}^{n-1},
\end{array}
\]

тде $i=1,2, \ldots n$, то для $V$ получитея следующее полное решение:
\[
V=\sum_{i=1}^{i=n} \int d \lambda_{i} \sqrt{\frac{c+c_{1} \lambda_{i}-c_{2} \lambda_{i}^{2}+\cdots+c_{n-2} \lambda_{i}^{n-2}+\frac{1}{2} h \lambda_{i}^{n-1}}{\left(a_{1}+\lambda_{i}\right)\left(a_{2}+\lambda_{i}\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda_{i}\right)}},
\]

а отсюда следуют интегральные уравнения
\[
\frac{\partial V}{\partial c}=c^{\prime}, \quad \frac{\partial V}{\partial c_{1}}=c_{1}^{\prime}, \cdots \frac{\partial V}{\partial c_{n-2}}=c_{n-2}^{\prime}, \quad \frac{\partial V}{\partial h}=t-\tau_{n}
\]

жоторые после введения обозначения
\[
\begin{array}{c}
f(\lambda)= \\
=\left(c_{1}+c_{1} \lambda+c_{2} \lambda^{2}+\ldots+c_{n-2} \lambda^{n-2}+\frac{1}{2} h \lambda^{n-1}\right)\left(a_{1}+\lambda\right)\left(a_{2}+\lambda\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda\right)
\end{array}
\]

иримут вид:
\[
\begin{aligned}
2 c^{\prime} & =\sum \int \frac{d \lambda_{i}}{\sqrt{f\left(\lambda_{i}\right)}}, \\
2 c_{1}^{\prime} & =\sum \int \frac{\lambda_{i} d \lambda_{i}}{\sqrt{f\left(\lambda_{i}\right)}}, \\
\cdot & \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\lambda_{i}^{n-2} d \lambda_{i}}{\sqrt{f\left(\lambda_{i}\right)}}, \\
2 c_{n-2}^{\prime} & =\sum \int \frac{\lambda_{i}^{n-1} d \lambda_{i}}{\sqrt{f\left(\lambda_{i}\right)}} .
\end{aligned}
\]

Эти выражения являютея трансцендентными интегральными уравнениям мдя системы обыкновенных дифференцильных уравнений

в то время как выражения (3) представляют алгебраические интегральные уравнения той же системы.

В этом алгебраическом пнтегрировании дифференциальных уравнений (9) и состоит теорема Абеля; притом здесь она является в форме, имеющей перед формой, данной первоначально Абелем, то преимущество, тто она сущетвенно облегчает, иначе связанные с болышими затруднениями, исследования как относительно веществености переменны, так и относительно границ, внутри которых надо их брать. Шоэтому вышешриведенное докавательство теоремы Абеля дало нечто существенно новое, и если Рипело позже из самой теоремы Абеля смог вывести те же следствия, 1 то всё же данный здесь путь есть тот, который приводит к ним напбодее естестветным обрагом.

Так как постоянные $c, c_{1}, \ldots c_{n-2}$ совершенно проиввольны, то их падо ошределить тақ, чтобы стоящне под янаком корня выражения $f\left(\lambda_{1}\right)$ были положительны и вместе с чтим все интегралы стали веществевныи.

Из предыдущего теорема Абеля получится еще не совсем поліостью; действительно, функция $f(\lambda)$ есть фунция ( $2 n-1$ )-й степени, т. е. нечетгой, и поэтому необходимо особо рассмотреть џругой случай, являющийся здесь как более общий, когда $f(\lambda)$ будет $2 n$-й стенепи. Мы получим его таким образом, что в правой части уравневия в частых производвых (1) * постоянной $2 h$ прибавляем еще другие члевы. Іримепевный метод пвтегрирования остается допустимым, если к $h$ црибавить сумму квадратов $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}$, умноженную па постоянную величину $k$, В переменных $\lambda$ это выражение принимает такую форму:
\[
k\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)=k\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}\right),
\]

в, вводя вместо $h$ новую постоянную
\[
h^{\prime}=h+k\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right),
\]

мы должны теперь в правую часть уравнения (4) вместо $\frac{1}{2} k$ подставигь выражение
\[
\frac{1}{2} h^{\prime}+\frac{1}{2} k\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}\right) .
\]

Еелн это уравнение преобразовать ири помопи вынеупомяпутой вспомогательной теоремы, подобно тому, как это было сделано для уравнения (5), то окажется, что в правых частях уравнений (5) и (6) произойдет только то изменение, что под внаком сумны в числителе прибавится член
\[
\frac{1}{2} k \lambda_{4}{ }^{n}
\]

п $h$ превратитея в $h^{\prime}$. Поэтому в трансцендентыи интегрзлины уравиения (8) теоремы Абеля теперь ка месге прежней фукиии ( $2 n-1)$-й степени $f(\lambda)$ стоит фунцция $2 n$-й степени:
\[
\begin{array}{c}
f(\lambda)=\left\{c+c_{1} \lambda+c_{2} \lambda^{2}+\ldots+c_{n-2} \lambda^{n-2}+\frac{1}{2} h^{\prime} \lambda^{n-1}+\right. \\
\left.+\frac{1}{2} k \lambda^{n}\right\}\left(a_{1}+\lambda\right)\left(a_{2}+\lambda\right) \ldots\left(a_{n}+\lambda\right) .
\end{array}
\]

Алгебрапчекие интегральные уравнения в этом случае будут несколько более сложный. Уравнение в частых производных, выражепное в переменпых $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, имеет вид:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{\partial V}{\partial x_{n}}\right)^{2}=2 h+2 k\left(x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+\ldots+x_{n}{ }^{2}\right)
\]

п поэтому может быть разложено на следующие уравнения:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right)^{2}=2 k x_{1}^{2}+\beta_{1} ;\left(\frac{\partial V}{\partial x_{2}}\right)^{2}=2 k x_{2}^{2}+\beta_{2} ; \ldots\left(\frac{\partial V}{\partial x_{n}}\right)^{2}=2 k x_{n}^{2}+\beta_{n},
\]
1 Crelles Journal, том XXIII, crp. 354.

где
\[
\beta_{1}+\beta_{2}+\ldots+\beta_{n}=2 h \text {. }
\]

Отсюда находии
\[
V=\int \sqrt{2 k x_{1}^{2}+\beta_{1}} d x_{1}+\int \sqrt{2 k x_{2}^{2}+\beta_{2}} d x_{2}+\cdots+\int \sqrt{2 k x_{n}^{2}+\beta_{n}} d x_{n}
\]

Іредставим себе теперь, что при помощи выпенашисанного соотношения $\beta_{n}$ выражено\”через $h$ и прочие $\beta$, и обозначим взятые при этом предположении производные от $V$ скобками; тогда обыкновенные дифференциальные уравнения, соответствющи уравнению в частных производных (11), имеют следуюцие интегралы:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial \beta_{1}}\right)=\beta_{1}^{\prime} ; \quad\left(\frac{\partial V}{\partial \beta_{2}}\right)=\beta_{2}^{\prime} ; \ldots\left(\frac{\partial V}{\partial \beta_{n-1}}\right)=\beta_{n-1}^{\prime} ; \quad\left(\frac{\partial V}{\partial h}\right)=t-\tau .
\]

Если же производные от $V$, при образовапии которых не принимается во ппиапие соотнопепие, имеющее место между величинами $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{n}$, обопачать без спобок, то нолучатся равенства:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial \beta_{1}}\right)=\frac{\partial V}{\partial \beta_{1}}-\frac{\partial V}{\partial \beta_{n}} ; \quad\left(\frac{\partial V}{\partial \beta_{2}}\right)=\frac{\partial V}{\partial \beta_{2}}-\frac{\partial V}{\partial \beta_{n}} ; \ldots\left(\frac{\partial V}{\partial h}\right)=2 \frac{\partial V}{\partial \beta_{a}} .
\]

Потоиу, вводя для постоянных $2 \beta_{1}^{\prime}-\tau, 2 \beta_{2}^{\prime}-\tau, \ldots-\tau-$ обозпачение $\tau_{1}$, $\tau_{2}, \ldots \tau_{n}$. можем придать интегральным уравнениям симметричный вид:
\[
\begin{array}{l}
2 \frac{\partial V}{\partial \beta_{1}}=\int \frac{d x_{1}}{\sqrt{27 x_{1}^{2}+\beta_{1}}}=t+\tau_{1}, \\
2 \frac{\partial V}{\partial \beta_{2}}=\int \frac{d x_{2}}{\sqrt{2 k x_{2}^{2}+\beta_{2}}}=t+\tau_{2}, \\
2 \frac{\partial V}{\partial \beta_{n}}=\int \frac{d x_{n}}{\sqrt{2 k x_{n}^{2}+\beta_{n}}}=t+\tau_{n} . \\
\end{array}
\]

Эти уравнения конечно не выражают неносредственно алгебрапческой зависимости между перененными $x$. Но эта зависимость тотчас же выявится, как только мы определим значения интегралов, которые приводятся либо все к дугам круга, либо все к логарпфмам, и заметим, что получающиеся отсюда значения переменных $x$ будут выражаться либо все через синусы и воскнусы, либо все через показательные величины, аргумент которых представляет произведение $t$ на опну и ту же постоянную. Поэтому, исключая $t$ из вынепашисанных уравнений, мы получим алгебраптеские соотношепия. Знатениям переменных $x$ можно дать следующую форму:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{-\frac{\beta_{1}}{2 k}} \sin \left[\sqrt{-2 k}\left(t+\tau_{1}\right)\right], \\
x_{2}=\sqrt{-\frac{\beta_{2}}{2 k}} \sin \left[\sqrt{-2 k}\left(t+\tau_{2}\right)\right], \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
n_{n}=\sqrt{-\frac{\beta_{n}}{2 k}} \sin \left[\sqrt{-2 k}\left(t+\tau_{n}\right)\right] .
\end{array}
\]

Соотношения, получаемые исключением $t$ из этих равенств, могут быть так представлены, что только одно из них будет второй степени, а все остальные линейны относительно $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая уравнению в частных производных (11), будет следующая:
\[
\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}=2 k x_{1}, \quad \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}=2 k x_{2}, \ldots \frac{d^{2} x_{n}}{d t^{2}}=2 k x_{n} .
\]

Таким образом из предыдущего видим, что если исходить из дифференциальных уравнений (9), выраженных через переменные $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$, в предположении, что $f(\lambda)$ есть целая функция $2 n$-й степени (10) от $\lambda$, и сделать замену переменных $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ через $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, то мы должны придти к этим шростым дифференциальным уравнениям (12) с переменными $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$. Такой способ исследования я применил в своей статье о теореме Абеля в 29-м томе Журнала Крелля, не касаясь однако раскрытых здесь исходшых точек.

Подобным же образом Лагранж в первом томе туринских мемуаров, в статье о притяжении к двум нецодвижным центрам, доказал основную теорему относительно әллиптических травсцендентностей, составляющую частпый случай ( $n=2$ ) этого исследования.