Имея в виду применить результаты проивведенного в прошлой лекции исследования относительно совмефтных решений линейных уравнений в частных производных, к случаю, который выввал это иследование и с которым мы столкнулись при интегрировании уравнения в частных производных $H=h$, мы ваменим сначала $n+1$ невависимых переменных $x_{0}, x_{1}, \ldots x_{n}$ четным числом $2 n$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{2 n}$, значки у которых будут начинатьея не с 0 , а с 1 , так что тешерь выражения $A(f)$ и $B(f)$ будут определены равенствами:
\[
\begin{array}{l}
A(f)=A_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+A_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+A_{2 n} \frac{\partial f}{\partial x_{2 n}}, \\
B(f)=B_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+B_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+B_{2 n} \frac{\partial f}{\partial x_{2 n}},
\end{array}
\]

а $2 n$ уеновных уравнений $C_{i}=B\left(A_{i}\right)-A\left(B_{i}\right)=0$ будут иметь место для $i=1,2, \ldots 2 n$. Далее, пусть на место $2 n$ независимых перененных войдут величины $p$ и $q$, так что будем иметь $x_{1}=q_{1}, x_{2}=q_{2}, \ldots x_{n}=q_{n}$, $x_{n+1}=p_{1}, x_{n+2}=p_{2}, \ldots x_{2 n}=p_{n}$, и, наконец, нусть коэффициенты $A_{i}$ и $B_{i}$ булут определены равенствами:
\[
\begin{array}{c}
A_{1}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}, \quad A_{2}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}}, \ldots A_{n}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{n}} ; \\
A_{n+1}=-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}, \quad A_{n+2}=-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}, \ldots A_{2 n}=-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{n}} ; \\
B_{1}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}}, \quad B_{2}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}, \ldots B_{n}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{n}} ; \\
I_{n+1}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}, \quad B_{n+2}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}, \ldots B_{2 n}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{n}} .
\end{array}
\]

Тогда мы получим
\[
\begin{array}{c}
A(f)=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial f}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial f}{\partial q_{2}}+\ldots+ \\
+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{n}} \partial \frac{\partial f}{\partial q_{n}}-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}} \frac{\partial f}{\partial p_{1}}-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}} \frac{\partial f}{\partial p_{2}}-\ldots-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{n}} \frac{\partial f}{\partial p_{n}} \\
B(f)=\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial f}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial f}{\partial q_{2}}+\ldots+ \\
+\frac{\partial \psi}{\partial p_{n}} \frac{\partial f}{\partial q_{n}}-\frac{\partial \psi}{\partial q_{1}} \frac{\partial f}{\partial p_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial q_{2}} \frac{\partial f}{\partial p_{2}}-\ldots-\frac{\partial \psi}{\partial q_{n}} \partial p_{n}
\end{array}
\]

ияи, согласно обозначению, введеннону в тридцать второй лекции (стр. 223),
\[
\begin{array}{l}
A(f)=(\varphi, f), \\
B(f)=(\psi, f) .
\end{array}
\]

Чтобы нолучить значения $2 n$ величнн $C_{i}$ для $i=1,2, \ldots 2 n$, мы разделни सх на две грушшы: $C_{i}$ и $C_{n+i}$, где $i=1,2, \ldots n$; тогда получнтея
\[
\begin{array}{c}
C_{i}=B\left(A_{i}\right)-A\left(B_{i}\right)=\left(\psi, \frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}}\right)-\left(\varphi, \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\right) \\
C_{n+i}=B\left(A_{n+i}\right)-A\left(B_{n+i}\right)=\left(\psi,-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}\right)-\left(\varphi,-\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}\right)
\end{array}
\]

ми, если иринять во внимание тождество
\[
(\psi, \varphi)=-(\varphi, \psi)=(\varphi,-\psi)
\]

то получчитея:
\[
\begin{aligned}
-C_{i} & =\left(\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}}, \psi\right)+\left(\varphi, \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\right), \\
C_{n+i} & =\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}, \psi\right)+\left(\varphi, \frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}\right) .
\end{aligned}
\]

Но так вак выражение ( $\varphi, \psi$ ) есть линеиная функция как ироивводных от $\%$, так и производных от $\psi$, то правые части этих равенств представляют собой не что иное, как производные от ( $\varphi, \psi$ ), взятые по $p_{i}$ и $q_{i}$; таким образом мы имеем
\[
C_{i}=-\frac{\partial(\varphi, \psi)}{\partial p_{i}}, \quad C_{n+i}=\frac{\partial(\varphi, \psi)}{\partial q_{i}},
\]

и все 2n условных уравнений $C_{i}=0, C_{n+i}=0$ будут выподнены қая $i=1,2, \ldots n$, как только будет тождественно удовлетворяться равенство
\[
(\varphi, \psi)=0,
\]
т. е. как только $f^{\prime}=\psi$ будет репением линейного уравнения в частных производных $A(f)=(\varphi, f)=0$. Когда это единственное условное уравнение
\[
(\varphi, \psi)=0
\]

будет вылолнено, тогда всегда буду тсуществовать совместные ренения ураннений
\[
(\varphi, f)=0, \quad(\psi, f)=0
\]
1 для их определения ножно воспользоваться выводами прошлой лекции.
Таким образом доказано утверждение, высказанное в начале упомяну той лекции, по которому, если $H_{1}$ обозначает какую-нибудь функцию, удовлетворяющую уеловию $\left(H, H_{1}\right)=0$, всегда можно определить вторую функцию $H_{2}$, удовлетворяющую одновременно обоим условиям $\left(H, H_{2}\right)=0$, $\left(H_{1}, H_{2}\right)=0$; при этом исследования прошлой лекции дают не только доказательство существования, но также и средства вычисления $H_{2}$. Затем предположим, что функции $H_{1}$ и $H_{2}$ определены; тогда дальнейшее продолжение указанных исследований дает нам средства для определения новой функции $H_{3}$ удовлетворяющей одновременно трем условиям $\left(H, H_{8}\right)=0,\left(H_{1}, H_{3}\right)=0_{\text {, }}$ $\left(H_{2}, H_{3}\right)=0$ и т. д.

Но в прошлой лекции мы не только нашли совместные решения двүх минейных уравнений в частных производных $A(f)=0, B(f)=0$, удовлетворяющие условиям $C_{4}=B\left(A_{i}\right)-A\left(B_{i}\right)$, но, что не менее важно, вывели 1 одного решения $f_{1}$ уравнения $A\left(f^{\prime}\right)=0$ последовательным повторением операдин $B$ ряд новых решений $B\left(f_{1}\right)=f_{2}, B\left(f_{2}\right)=f_{3}, \ldots B\left(f_{m-1}\right)=t_{m}$, продолжающийся до тех пор, пока следующее повторение операции не чриведет к решению $B\left(f_{m}\right)=f_{m+1}^{\prime}$, которое будет или фунцций $F\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{m}\right)$ от прежних решений, или постоянной ве:ичиной, которая в частности может также стать равной нулю.

Мы применим эти соображения в рассматриваемому с.лучаю; однако здесь будет иметь место одна модификация, которая покоится на следующем обстоятельстве. Вообще говоря, уравнение $\boldsymbol{A}(f)=0$ имеет только одно очевидное решение $f=$ const, и кроме того, согласно гипотезе, из которой мы исходим, нам известно еще и только одно его решение $f=f_{1}$. Но в частном случае, когда $A(f)=(\stackrel{q}{f}), B(f)=(\psi, f)$, в то вреяя как условные уравнения $C_{t}=0$ выполняютея благодаря тождеству (,$\left.\psi\right)=0$, мы знаем уже заранее, что в том случае $f^{\prime}=f_{1}$ есть решение уравнения $(\varphi, f)=0$, то кроме $f_{1}$ вторым решением будет $\psi$, и что кроме того к общему очевидному репению $f=$ const в этом случае присоединяетея еще частное решение $f=0$. Поэтому здеск. функция $f_{m+1}$ не будет новым решением и в том случае, когда она равна фунцции $F^{\prime}\left(\varphi, \psi, f_{1}^{\prime}, f_{2}, \ldots f_{m}\right)$, содержащей кроме $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{m}$ еще $\varphi$ и Имея тто в виду и не выделяя отдельно случай, когда фупцция $F$ приво,итея в постоянной или когда эта последняя преврацаетея в нудь, а нключая этот случай в обозначение $F^{\prime}\left(\stackrel{\psi}{2}, f_{1}^{\prime}, f_{2}, \ldots f_{n}^{\prime}\right)$, мы получим слехующий результат:

Если $f_{1}$ есть репение линейного уравнения в частных производных $\left(\because, f^{\prime}\right)=0$, определяющего фунццию $f$, и если удовлетворяется условное уравнение $(\varphi, \psi)=0$, то выражение $\left(\stackrel{\varphi}{\varphi}, f_{1}\right)=f_{2}$ тоже будет решением уравнения $(\varphi, f)=0$ и притом – вообще говоря – новым решением, в частных слугаях могущим стать фунццией $F\left(p, \psi, f_{1}\right)$ от $\psi, f_{1}$ и очевидного решения ‘ $\rho$. Іродолжая поступать таким образом далее и полагая
\[
\left(\psi_{1}, f_{2}\right)=f_{3},\left(\psi, f_{3}\right)=f_{4}, \ldots\left(\psi, f_{m-1}\right)=f_{m}^{\prime},\left(\psi, f_{m}\right)=f_{m+1},
\]

будея получать – вообще говоря – только новые решения $f_{3}, f_{4}, \ldots f_{m}$ уравнения $(\varphi, f)=0$, пока $f_{m+1}$ ве станет функцией $F\left(\varphi, \psi, f_{1}, \ldots f_{m}\right)$ от үке ранее известных ренений $\psi, f_{1}, f_{2}, \ldots f_{m}$ и очевидного решения

Если мы теперь гаставим фунгцю $\%$ совпасть с функцией $I$, обра: ующей левую тасть уравпения в тастных производных $H=h$, то будет гелесообразным изменить также и остальные обозначения. Положим $\varphi=I$, $y=H_{1}, f_{1}=H_{2}, f_{2}=H_{3} \ldots$ и т. д; тогда вышенодучепнй резулти оудет гдасить:

Если удовлетворяютея уравнения $\left(H, H_{1}\right)=0$ и $\left(H, H_{2}\right)=0$, т. е. $H_{1}$ и $H_{2}$ являютея решениями линейного уравнения в частных производних $\left(I I, H_{i}\right)=0$. определяющего $H_{i}$, то выражение $\left(H_{1}, H_{2}\right)=H_{3}$ также будет решением :того дифференциального травнепия и притом вообе новы решением; одпако в чистих случаях $\ddot{H}_{3}$ может быть функией от $H, H_{1}$, $H_{2}$. ІІродолжая пт операцио и полагая $\left(H_{1}, H_{3}\right)=H_{4},\left(H_{1}, H_{4}\right)=H_{5}, \ldots$ $\left(H_{1}, H_{m-1}\right)=H_{m},\left(H_{1}, H_{n}\right)=H_{m+1}$, будем вообще полутать только новые решения $H_{4}, H_{5} \cdots H_{m}$ уравнения $\left(H, H_{4}\right)=0,1$ пока $H_{i n+1}$ не станет функциё уже известыи решений $H, H_{1}, \ldots H_{m}$, включая сюда очевидное решение $\dot{H}$.
Но мы зпаем, что безразлично – сказать .и, что $H_{1}$ есть ренение
1 Не надо забывать, что величины $H_{1}, H_{2}, H_{3} \ldots$ обозначают здесь какие угодно репения уравнения $\left(H, I_{i}\right)=0$, а не спедиальную сиетему тех решении, которые, оудучи приравнены постоянным, образуют уравнения, приводящие $\mathbf{x}$ полному решению уравнения в тастных производных $H=h$ (ех. трндцать втору\”, текцию, стр. 223).

эинейного уравнения в частных шроизводных $\left(H, H_{i}\right)=0$, определяющего $H_{i}$, х. е. уравнения
\[
\left\{\begin{array}{r}
\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial H}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial H}{\partial q_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial p_{1}}-\frac{\partial H}{\partial q_{2}} \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}}-\ldots-\frac{\partial H}{\partial q_{n}} \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}}
\end{array}\right\}=0,
\]

или сказать, что функция $H_{1}$, приравненная произвольной постоянной $h_{1}$, ести интеграх системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
d q_{1}: d q_{2}: \ldots: d q_{n}: d p_{1}: d p_{2}: \ldots: d p_{n}= \\
=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}: \frac{\partial H}{\partial p_{2}}: \ldots \frac{\partial H}{\partial p_{n}}:-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}:-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}: \ldots:-\frac{\partial H}{\partial q_{\Omega}},
\end{array}
\]
т. е. независящий от $t$ интеграл сиетемы изошериметрических дифференқиальных уравнениї:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{d q_{n}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{n}} \\
\frac{d p_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \quad \frac{d p_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{d p_{n}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{n}} .
\end{array}
\]

Эти уравнения, если положить $H=T-U$, где $T$ обовначает половину живой силы, а $U$-сиюову фуньцию, переходят в систему дифференциальных уравнений движения. Мы можем поэтому полученный результат выразить следующей теорещой:

Iуусть дана система изопериетричесни дифференииальны уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{d q_{n}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{n}}, \\
\frac{d p_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \frac{d p_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{d p_{n}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{n}},
\end{array}
\]
s коморой $H$ есть функия переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, не содержацая $t$, поторая при $H=T-U$ переходит в систему дифференциальных уравнений динамики. Если мь знаем два независяцих оп $t$ интеграла $H_{1}=h_{1}, H_{2}=h_{2}$ эпой системи и составия выражение
\[
H_{3}=\left(H_{1}, H_{2}\right)=\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial I_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{2}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H_{1}}{\partial p_{2}} \frac{\partial I_{2}}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial H_{1}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{2}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial H_{2}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{1}}-\frac{\partial H_{2}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{2}} \ldots-\frac{\partial H_{2}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\}
\]

мо выражение
\[
H_{3}^{\prime}=h_{i},
\]

де $h_{3}$ обозначает претью произвольню постоянную, вообще являетея новым интегралом системы. $B$ частных случалх $H_{3}$ может быть функцией от $\mathrm{H}, \mathrm{H}_{1}, \mathrm{H}_{2}$ или постоянным численным значением, \” ие ислючая нуля; в этих случаях выражение $H_{3}=h_{3}$ не яеляется новым интегралом, а будет уравнением, которое тождественно выполняется при посредстве прежних интегралов $H_{1}=h_{1}, H_{2}=h_{2}$ и очевидного интеграла $H=h$. Если продолжать дальше эту операцию и ооразовать из $H_{1}$ и $H_{3}$ или из $H_{2}$ и $H_{3}$ выражение $\left(H_{1}, H_{3}\right)$ или $\left(H_{2}, H_{3}\right)$, то это последнее,
приравженное постоянной величие, дает вооӧще опять новый интеграл $n$.

Это одна из замечательнейших теорем всего интегрального исчисления, и, в частном случае, когда положено $H=T-U$, это есть основная теорема аналитической механнкн. Именно она цоказывает, что если имеет често теорема живой силы, то из двух интегралов дифференциальных уравнений движения простым дифференцированиен вообще можно вывести третий интеграл, отсюда четвертый и т. д., так что либо получатся все интегралы. либо по крайней мере некоторое число их.

Іосле того кав я нашед эту теорему, я сообщия об этом академиям в Берлине и в Шариже, как о совсем новом гкрытии. Но скоро после этого я заметил, что эта теорема уже была открыта, но втеченио 30 лет оставалась в неизвестности, так как не подозревали ее истинного сиысла, а ушотребляли ее только как вспомогательную теорему при совсем другої задаче.

Если для ошределенной механической задвчи иы проинтегрировали вышенаписанные дифференциальные уравнения и теперь хотим, согласно так павываемой теории возмүщения, развнтой Јагранжем и Лапласом, оиределить изменения, которые претерневает движение благодаря присоединению новых малых сил, то мы црндем к определенныи выражениям, составленныи из $p_{i}$, $\varphi_{i}$ и не зависящим от времени – таков резултат, принадлежаций к величайшим открытия названних геометров. Нуассон. который пове. исследование несколько иначе, нащен, что эти не вависящие от $t$ выражения имеют как раз форму ( $H_{i}, H_{k}$ ). Эта теорена Iуасеона была знаменита трудностью своего показательства; но ей придавали тақ нало-значения, что Јагранж даже не поместил ее во второе издание аналитической механик. а цредпочел свои формулы, как более ироетые. Но кан раз зта теорема Пуассона по существ сониадает с вышеизложенной. Действительно, если выражения ( $\left.I_{i}, \Pi_{k}\right)$, которые у IІуассона входат как коэффициенты в возмуцающу фунгцию, не зависят от времени, то они должны быть функциями, которие в первоначальной задаче обращаются в постоянные величины. Но это замечание ускольвнуло от геометров, и понадобилоеь на самох деле новое открытие, чтобы выдвинуть теорему в ее истинном вначении.

Тому, что никто не распознал важности открытой теореми столь долгое время, способствовало одно своеобразное обстоятельство. Именно, случаи. в которых ее применяли, были как раз такие, что внові образованное выражение не давало нового интеграла и результат становияся либо тождественно равным нулю, аибо равннм числу, отличному от нуля, напимер единице. Эти случаи, которые в общей теории являютея исключениям, на црактике встречаются вообще очень часто. Именно, для того, чтобы векоторый интеграл, скомбинированный е ваким-нибудь другим интегралом. доставлял один зандругим все интеграды. необходимо, чтобы он был интегралом, специально принадежащи расематриваемой частной задаче. Но гервые интегралы, которые отыскивались, для какой-нибудь предложенной аадачи, были, как правидо, те, которые следоваии из общих принциое (нашример из принциа сохрапения площадей), поэтому они ‘не принадлежали спецнально именно к рассматриваемой задаче; ноэтому нельзя требоватт, чтоби из них должпы были выводитъея все интегралы.

Мы видим, что для интегралов имеет место некоторая подярност. т. е. качественное разлитие. Ранъие это было неизвестно, каждый интеграл ечиталея равноценным с оютальными и единственная польа, которую ив него умели извлечь, заключдлась в понижении на одну единицу порядка данной сиетемы. Тешерь же мы видим, что существуют такие интегралы? $H_{1}=h_{1}, \quad H_{2}=h_{2}$, из которых чожно сразу вывести все остальные. Этот елүчай являеток даже общим. В самом деле, если равенетва $H_{1}=h_{1}$, $H_{2}=h_{2}, \ldots H_{m}=h_{m}$ дают все интегралы и мы обравуем из их левых частей произвольную функцию
\[
F\left(H_{1}, H_{2}, \ldots H_{m}\right)=H_{m+1},
\]

которая может быть заранее задана, то в бесконечно превышающем чисде с.учаев можно вывести из $H_{m+1}$ и из одного из данных интегралов, наприкер из $H_{m+1}$ и из $H_{1}$, все остальные интегралы, и это есть общий случай, тав как функция $H_{m+1}$, приравненнан цроизвольной постоянной, представляет наиболее общую форму интеграла. Но первые интегралы, которые мы находим при решении некоторой задачи, как правило, не являются теми, которые специально принадлежат данной задаче, подобно $H_{n+1}$, и которые еоставлены из интегралов, получаемых из общих принципов; обычно онитолько общих типов, и поэтому мы не получаем из них всех интегралов падачи.

Iрименение общей теоремы к свободному движению дает ледующую теорему:

Если мы знасм два не зависящих от $t$ ннтеграла $\varphi=h_{1} \boldsymbol{\psi}=h_{2}$ системы
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}},
\]
\” образуем выраюение
\[
(\varphi, \psi)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}^{\prime}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}^{\prime}} \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}^{\prime}} \frac{\partial \psi}{\partial z_{i}} \\
-\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}-\frac{\partial \psi}{\partial y_{i}^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}-\frac{\partial \psi}{\partial \varepsilon_{i}^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}
\end{array}\right\},
\]

мо выражение
\[
(\varphi, \phi)=h_{3}
\]

о́удет вообще новым интегралом; в частных же случаях $(\varphi, \psi)$ можем стать функиией постоянных $h_{1}, h_{2}$ и постоянной $h$, входящей в пеорему нсивой силь $T-U=h$, или стать чистым числовым значением, хотя бы н нулем.

Таким образом из двух теорем илощадей можно вывести третью. Для этого мы должны только положит:
\[
\varphi=\sum m_{i}\left(x_{i} y_{i}^{\prime}-y_{i} x_{i}^{\prime}\right) ; \quad y=\sum m_{i}\left(x_{i} z_{i}^{\prime}-z_{i} x_{i}^{\prime}\right) ;
\]

тогла мы подучим:
\[
\begin{array}{lll}
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}=m_{i} y_{i}^{\prime}, & \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}=-m_{i} x_{i}^{\prime}, & \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}=0, \\
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}^{\prime}}=-m_{i} y_{i}, & \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}^{\prime}}=m_{i} x_{i}, & \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}=m_{i} z_{i}^{\prime}, & \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}}=0, & \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}=-m_{i} x_{i}^{\prime}, \\
\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}^{\prime}}=-m_{i} z_{i}, & \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}^{\prime}}=0, & \frac{\partial \psi}{\partial z_{i}{ }^{\prime}}=m_{i} x_{i} ;
\end{array}
\]
noarony
\[
(\varphi, \psi)=\sum m_{i}\left(y_{i}^{\prime} z_{i}-y_{i} z_{i}^{\prime}\right) .
\]

Таким образом выражение
есть третья теорема плоцадей.
\[
(\odot, \psi)=h_{3}
\]

Пуассон в своей знаменитой стаъе о вариации ностоянных в 15 -й тетради журнала Политехнической школы дает применение своей вынеупоиянутой теоремы возмущения в возмущепиям вращательного движения вокруг неподвижной точки. ІІри этом он принужден проиввести те же вычислительные операции, которые мы только-что проделали. Iоэтому в его вычиधениях содернится вывод третей теоремы площадей из двух других; но он ни одния стовом не упоминает об этом замечательном результате.

Подобпые иссдедования мы можем произвести, если присоединим к трем теоренам площадей три уравнения принципа сохранения центра тяжести и исседуен – из сконих пз этих пести интегралов подучатся остальные.