Мы будем теперь разыскивать множитель дифференциально уравнения несвободной системы для гамилтоновой формы дифференцильных уравнений. Пусть $T$ будет половина живой силы, $n$ — число материальных точек, $m$-число уеловных уравнений; так как телерь значок $k$ будет употребляться, шодобно $i$, как Указатель, по которому располагаетея ряд, то число $3n-m$ будем обовначать не через $k$, а через $\mu$. В восьмой лекции (стр. 54) мы предполагали $3n$ координат выраженными как функции от $3n-m$ новых переменных $q_1,q_2,\dots q_{3n-m}$ так, что условные уравнения после подстановки таких координат удовлетворяютея тождественно, и мы получаем тогда $T$ как однородную функцию второго порядка от величин $q_t^{\prime }$, коәффициенты которых могут содержать величины $q_i$. Далее, мы ввели величины $p_i=\frac{\partial T^{\prime }}{\partial q_i^{\prime }}$ на место $q_i^{\prime }$ и таким образом получили в девятой лекции (стр. 62) дифференциальные уравнения двияения, связывающие $2(3n-m)$ переменных $q_i$ и $p_i$, в виде, имеющем место также и в случае, когда не существует силовой функции
$$\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial T}{\partial p_i};\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial T}{\partial q_i}+Q_i,$$

где
$$Q_i=\sum _{k=i}^{k=n}(X_k\frac{\partial x_k}{\partial q_i}+Y_k\frac{\partial y_k}{\partial q_i}+Z_k\frac{\partial z_k}{\partial q_i}).$$

Эти дифференциальные уравнения можно также написать в виде:
$$\begin{array}{c}dt:d{q}_1:d{q}_2:\dots :d{q}_{\mu }:d{p}_1:\dots :d{p}_{\mu }=\\ =1:\frac{\partial T}{\partial p_1}:\frac{\partial T}{\partial p_2}:\dots :\frac{\partial T}{\partial p_{\mu }}:-\frac{\partial T}{\partial q_1}+Q_1:\dots :-\frac{\partial T}{\partial q_{\mu }}+Q_{\mu };\end{array}$$

если применить к этой системе теорию множителя, то получится:
$$0=\frac{d\lg M}{dt}+\sum \frac{\partial \frac{\partial T}{\partial p_i}}{\partial q_i}+\sum \frac{\partial (-\frac{\partial T}{\partial q_i}+Q_i)}{\partial p_i}.$$

Тағ как в задачах, которые мы рассматриваем, $X_i,Y_i,Z_i$ зависят только от координат $x_i,y_i,z_i$, а не от их шроизводных, то функции $Q_i$ тоже содержат только переменние $q_t$ и не содержат их производных, а следовательно таљже и переменных $p_i$; таким образои имеем:
$$\frac{\partial Q_i}{\partial p_i}=0,$$

а отсюда
$$-\frac{d\lg M}{dt}=\sum _{\mathit{M}=\text{ const. }}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial p_i\partial q_i}-\sum \frac{{\partial }^{2}T}{\partial q_i\partial p_i}=0,$$

Таким образом $M$ можно положить равным единице, тақ что множитель имеет здесь то же самое значение, как при совсем свободной системе. Чтобы получить последний множитель в этом случае, надо сначала́ из системы дифференциальных уравнений $2\mu$-го шорядка
$$\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial T}{\partial p_i};\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial T}{\partial q_i}+Q_i,$$

где $i$ пробегает значения от 1 до $\mu$, исключить $t$, которое, как мы предшолагаем, не входит явно в величины $Q_i$. Если мы знаем для полученной таким образом приведенной системы ( $2\mu -1$ )-го цорядка $2\mu -2$ интегральных уравнения:
$${\tilde{\omega }}_1=0,{\tilde{\omega }}_2=0,\dots {\tilde{\omega }}_{2\mu -2}=0,$$

с таким же количеством постоянных ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{2\mu -2}$, то мы можем при помощи их выразить все $2\mu$ перехенных $q$ и $p$ через два из них, хотя бы через $q_1$ и $q_2$; тогда останетея еще проинтегрировать только дифференциальное уравнение
$$\frac{\partial T}{\partial p_1}d{q}_2-\frac{\partial T}{\partial p_2}d{q}_1=0,$$

множитель которого будет:
$$\frac{\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial {\tilde{\omega }}_1}{\partial {\alpha }_1}\frac{\partial {\tilde{\omega }}_2}{\partial {\alpha }_2}\cdots \frac{\partial {\tilde{\omega }}_{2\mu -2}}{\partial {\alpha }_{2\mu -2}}}{\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial {\tilde{\omega }}_1}{\partial q_3}\frac{\partial {\tilde{\omega }}_2}{\partial q_{\downarrow }}\cdots \frac{\partial {\tilde{\omega }}_{\mu -2}}{\partial q_{\mu }}\frac{\partial {\tilde{\omega }}_{\mu -1}}{\partial p_1}\dots \frac{\partial {\tilde{\omega }}_{2\mu -2}}{\partial p_{\mu }}}.$$

Если силы $X_i,Y_i,Z_i$ представляют собой частные производные некоторой функции $U$, которая, кроме того, еще не содержит явно времени $t$, т. е. если
$$X_i=\frac{\partial U}{\partial x_i},Y_i=\frac{\partial U}{\partial y_i},Z_i=\frac{\partial U}{\partial z_i},$$

то будет иметь место равевство $Q_i=\frac{\partial U}{\partial q_i}$, и если теперь положить
$$T-U=H,$$

то дифференциальные уравнения движения (стр. 62) перейдут в простую форму:
$$\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$

Дальнейшие исследования, составляющие ядро этих лекций, связаны с этой гамильтоновой формой дифференциальных уравнений; всё предыдущее надо рассматривать как введение к этому.