Мы будем теперь разыскивать множитель дифференциально уравнения несвободной системы для гамилтоновой формы дифференцильных уравнений. Пусть $T$ будет половина живой силы, $n$ — число материальных точек, $m$-число уеловных уравнений; так как телерь значок $k$ будет употребляться, шодобно $i$, как Указатель, по которому располагаетея ряд, то число $3 n-m$ будем обовначать не через $k$, а через $\mu$. В восьмой лекции (стр. 54) мы предполагали $3 n$ координат выраженными как функции от $3 n-m$ новых переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{3 n-m}$ так, что условные уравнения после подстановки таких координат удовлетворяютея тождественно, и мы получаем тогда $T$ как однородную функцию второго порядка от величин $q_{t}^{\prime}$, коәффициенты которых могут содержать величины $q_{i}$. Далее, мы ввели величины $p_{i}=\frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{i}^{\prime}}$ на место $q_{i}^{\prime}$ и таким образом получили в девятой лекции (стр. 62) дифференциальные уравнения двияения, связывающие $2(3 n-m)$ переменных $q_{i}$ и $p_{i}$, в виде, имеющем место также и в случае, когда не существует силовой функции
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial T}{\partial p_{i}} ; \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+Q_{i},
\]

где
\[
Q_{i}=\sum_{k=i}^{k=n}\left(X_{k} \frac{\partial x_{k}}{\partial q_{i}}+Y_{k} \frac{\partial y_{k}}{\partial q_{i}}+Z_{k} \frac{\partial z_{k}}{\partial q_{i}}\right) .
\]

Эти дифференциальные уравнения можно также написать в виде:
\[
\begin{array}{c}
d t: d q_{1}: d q_{2}: \ldots: d q_{\mu}: d p_{1}: \ldots: d p_{\mu}= \\
=1: \frac{\partial T}{\partial p_{1}}: \frac{\partial T}{\partial p_{2}}: \ldots: \frac{\partial T}{\partial p_{\mu}}:-\frac{\partial T}{\partial q_{1}}+Q_{1}: \ldots:-\frac{\partial T}{\partial q_{\mu}}+Q_{\mu} ;
\end{array}
\]

если применить к этой системе теорию множителя, то получится:
\[
0=\frac{d \lg M}{d t}+\sum \frac{\partial \frac{\partial T}{\partial p_{i}}}{\partial q_{i}}+\sum \frac{\partial\left(-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+Q_{i}\right)}{\partial p_{i}} .
\]

Тағ как в задачах, которые мы рассматриваем, $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ зависят только от координат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, а не от их шроизводных, то функции $Q_{i}$ тоже содержат только переменние $q_{t}$ и не содержат их производных, а следовательно таљже и переменных $p_{i}$; таким образои имеем:
\[
\frac{\partial Q_{i}}{\partial p_{i}}=0,
\]

а отсюда
\[
-\frac{d \lg M}{d t}=\sum_{\boldsymbol{M}=\text { const. }} \frac{\partial^{2} T}{\partial p_{i} \partial q_{i}}-\sum \frac{\partial^{2} T}{\partial q_{i} \partial p_{i}}=0,
\]

Таким образом $M$ можно положить равным единице, тақ что множитель имеет здесь то же самое значение, как при совсем свободной системе. Чтобы получить последний множитель в этом случае, надо сначала́ из системы дифференциальных уравнений $2 \mu$-го шорядка
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial T}{\partial p_{i}} ; \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+Q_{i},
\]

где $i$ пробегает значения от 1 до $\mu$, исключить $t$, которое, как мы предшолагаем, не входит явно в величины $Q_{i}$. Если мы знаем для полученной таким образом приведенной системы ( $2 \mu-1$ )-го цорядка $2 \mu-2$ интегральных уравнения:
\[
\tilde{\omega}_{1}=0, \quad \tilde{\omega}_{2}=0, \ldots \tilde{\omega}_{2 \mu-2}=0,
\]

с таким же количеством постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu-2}$, то мы можем при помощи их выразить все $2 \mu$ перехенных $q$ и $p$ через два из них, хотя бы через $q_{1}$ и $q_{2}$; тогда останетея еще проинтегрировать только дифференциальное уравнение
\[
\frac{\partial T}{\partial p_{1}} d q_{2}-\frac{\partial T}{\partial p_{2}} d q_{1}=0,
\]

множитель которого будет:
\[
\frac{\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial \alpha_{2}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{2 \mu-2}}{\partial \alpha_{2 \mu-2}}}{\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial q_{3}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial q_{\downarrow}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{\mu-2}}{\partial q_{\mu}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{\mu-1}}{\partial p_{1}} \ldots \frac{\partial \tilde{\omega}_{2 \mu-2}}{\partial p_{\mu}}} .
\]

Если силы $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ представляют собой частные производные некоторой функции $U$, которая, кроме того, еще не содержит явно времени $t$, т. е. если
\[
X_{i}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad Y_{i}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad Z_{i}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}},
\]

то будет иметь место равевство $Q_{i}=\frac{\partial U}{\partial q_{i}}$, и если теперь положить
\[
T-U=H,
\]

то дифференциальные уравнения движения (стр. 62) перейдут в простую форму:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} .
\]

Дальнейшие исследования, составляющие ядро этих лекций, связаны с этой гамильтоновой формой дифференциальных уравнений; всё предыдущее надо рассматривать как введение к этому.