Мы нашли принци сохранения движения центра тяжести в предположении, что силовая функция $U$ и условные уравнения остаютея неизменными, если все координаты $x$ изменить на одну и ту же величину, все координаты $y$-на вторую, все координаты $z$ – на третью. Эти изменения координат сводятея к тому, что переноснтея их начало, а координатные осн остаются параллельными.

Мы сделаем тешерь другое предположение: условные уравнения не должны нзменяться, если, при неподвнжной оси $x$, оси $y$ и $z$ поворачиваются в их плоскости па любой угол. Если ноложить
\[
y=r \cos v, \quad z=r \sin v
\]

то это равносильно увеличению угла $v$ на произвольный угол $\delta v$. Если мы обозначим угол $v$ для различных точек системы соответственно через $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{i} \ldots$, то $U$ и условные уравнения должны оставаться без изменения, когда все $v$ изменяются на один и тот же угол $\delta v$, т. е. они должны зависеть только от разностей $v_{i}-v_{i}$. Сюда принадлежит совершенно свободная система и, вообще, всякий случай, где входят только расстояния межку цошарно взятыми материальными точками системы. Вводя $r$ и $v$, получим для такого растояния следующее выражение:
\[
\begin{array}{c}
r_{1,2}^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(r_{1} \cos v_{1}-r_{2} \cos v_{2}\right)^{2}+\left(r_{1} \sin v_{1}-r_{2} \sin v_{2}\right)^{2}= \\
=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \left(v_{1}-v_{2}\right) ;
\end{array}
\]

оно зависит только. от разности $v_{1}-v_{2}$. Также сюда принадлежит случай, когда точки системы принуждены двигаться по поверхности вращения, ось которой есть ось $x$; в этом случае $v$ совсем не входят в условные уравнения. Далее надо заметить, что если в задачу должны входить неподвижные точки, то они обявательно лежат на оси $x$.

Шри таком предноложенин относительно $U$ и условных уравнений, можно все $v_{i}$ одновременно увеличить на $\delta v$; тогда $x_{i}$ останутся без изменения, а $y_{i}$ и $z_{i}$ варьируютея, так как
\[
y_{i}=r_{i} \cos v_{i}, \quad z_{i}=r_{i} \sin v_{i} .
\]

Таким образощ, получаем
\[
\delta x_{i}=0, \quad \delta y_{i}=-r_{i} \sin v_{i} \delta v=-z_{i} \delta v, \quad \delta z_{i}=r_{i} \cos v_{i} \delta v=y_{i} \delta v,
\]

как виртуальные вариации координат для нашей вадачи. Внесение этих вначений в символическое уравненне (2) второй лекции приводит к уравнению:
\[
\delta v \sum m_{i}\left\{-z_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+y_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right\}=\delta U ;
\]

для данных отклоневий $U$ остаетея неизменным, так что $\delta U=0$ и ми имеем
\[
\sum m_{i}\left\{y_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}-z_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right\}=0 .
\]

Заметим сразу же, что это уравнение в более общем случае, когда вместо $\delta U$ в правой части стоит выражение $\sum\left(X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right)$, также имеет место, если только
\[
\sum\left(Y_{i} z_{i}-Z_{i} y_{i}\right)=0 .
\]

Если это выражение не равно нуло, то опо войдет в правую часть уравнения (1) на место нуля. Итаж, будем предполагать, что или существует силовая функция $U$ с укчзандыми свойствами, или в общем случае, гогда она не существует, выполяется условие (2), тогда имеет место уравнение (1) в вышеприведенной фор че. Левая часть этого уравпения интегрируема, и после интегрирования мы получаем:
\[
\sum m_{i}\left\{y_{i} \frac{d z_{i}}{d t}-z_{i} \frac{d y_{i}}{d t}\right\}=\alpha,
\]

где обозначает постоянную интегрировяня. Если снова ввести полярпые. координаты $r_{i}$ и $v_{i}$, то (3) примет форму:
\[
\sum m_{i} r_{i}^{2} \frac{d v_{i}}{d t}=\alpha .
\]

В этом уравнении содержится шринцип сохранения площадей. Именно $r^{2} d v$, как иввестно, равняется удвоеннону элементу площади в полярных коордипатах; таким образом, проинтегрировав еще раз уравнение (4) от 0 до $t$, получим теорему: ссли каждую из площадей, описываемых в плоскости УОZ проскцияли радиусов-векторов на эпу плоскость, умножить на массуу соответствующей материальной тоюки, то сумма таких пуоизедений пропориональна елемени. Это и есть внаменитый нринци сохранения плоцадей. Как скагано, оп пмеет место, если $U$ и уеловные уравнения не ивменяютея при вращении осей $y$ и в в их плоскости вокруг оси $x$. Эта гицотеза для условных уравнений может быт аналитичекки выражена так, что для каждого условного уравнешия $f=0$ тождествено выполняетея уравнение
\[
\sum\left(z_{i} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}-y_{i} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}\right)=0 .
\]

То обстолтельство, что при только-что употребленном преобразованик $y d z-z d y=r^{2} d v$ входит только дифференциал величины $v$, является во иногих елучаях очень важным обетоятельстом. Между прочим, пв этого преобравования вытекает, что выражение $y d z-z d y$, будути помножено па однородную фунцию-2-го порядка от $y$ и $z$, будег полым днфферепцилом, так как оно щредетавитея гак произведепие $d v$ на фунцци только от $v$.

В случае, когда $U$ и условные уравпения остаютея без изменения также шри цовороте осей $x$ и $z$ вогруг оси $y$ и осей $x$ и $y$ вокруг $z$, имеютея, громе уравнения (3), еще пва подобых, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\sum m_{i}\left(z_{i} \frac{d x_{i}}{d i}-x_{i} \frac{d z_{i}}{d t}\right)=\beta ; \\
\sum m_{i}\left(x_{i} \frac{d y_{i}}{d t}-y_{i} \frac{d x_{i}}{d t}\right)=\gamma .
\end{array}
\]

Это имеет место, например, для $n$ евободно движущихся в пространстве тел, и потому в этом случае всегда имеются четыре интеграла: три интеграла шлощадей и один ннтеграл живой силы.

Чрезвычайно замечательно обстоятельство, на которое мы уже обратили внимание во введении, что из этих интегралов плоцадей пмеют место либо один, либо все три. То обстоятельство, что третья теорема площадей: всега следует из двух других, мы иолучим как чисто вычислительный результат, как простое следствие некоторого математического тождества. Если имеют место все три интеграла плопадей, то можно, не боясь нарушиты общности ренения, две ив постоянных $\alpha, \beta, \gamma$ взять равными нулю. В самоу деле, эти постоянные определяются в каждой задаче условными уравнениями, но каковы бы ни были эти последние, всегда можно тақ повернуть цоординатные оси, что в новой системе координат две из постоянных исчезнут. Действительно, пүсть новые воординаты будут $\xi_{i}, \eta_{i}, \tau_{i}$; тогда общие формулы преобразования координат будут
\[
\begin{array}{l}
\xi_{i}=a x_{i}+b y_{i}+c z_{i}, \\
\eta_{i}=a^{\prime} x_{i}+b^{\prime} y_{i}+c^{\prime} z_{i}, \\
\zeta_{i}=a^{\prime \prime} x_{i}+b^{\prime \prime} y_{i}+c^{\prime \prime} z_{i} .
\end{array}
\]

Постоянные $a, b, c, a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}, a^{\prime \prime}, b^{\prime \prime}, c^{\prime \prime}$ удовлетворяют между прочим сле дуюиим девяти уравнениям:
\[
\begin{aligned}
b^{\prime} c^{\prime \prime}-b^{\prime \prime} c^{\prime}=a, \quad c^{\prime} a^{\prime \prime}-c^{\prime \prime} a^{\prime}=b, \quad a^{\prime} b^{\prime \prime}-a^{\prime \prime} b^{\prime}=c, \\
b^{\prime \prime} c-b c^{\prime \prime}=a^{\prime}, \quad c^{\prime \prime} a-c a^{\prime \prime}=b^{\prime} \quad a^{\prime \prime} b-a b^{\prime \prime}=c^{\prime}, \\
b c^{\prime}-b^{\prime} c=a^{\prime \prime}, \quad c a^{\prime}-c^{\prime} a=b^{\prime \prime}, \quad a b^{\prime}-a^{\prime} b=c^{\prime \prime} .
\end{aligned}
\]

Јринимая во внимание эти уравнения, имеем:
\[
\begin{aligned}
\eta_{i} \frac{d \zeta_{i}}{d t}-\zeta_{i} \frac{d \gamma_{i}}{d t}=a & \left(y_{i} \frac{d z_{i}}{d t}-z_{i} \frac{d y_{i}}{d t}\right)+b\left(z_{i} \frac{d x_{i}}{d t}-x_{i} \frac{d z_{i}}{d t}\right)+ \\
& +c\left(x_{i} \frac{d y_{i}}{d t}-y_{i} \frac{d x_{i}}{d t}\right),
\end{aligned}
\]

поэтому
\[
\sum m_{i}\left(\eta_{i} \frac{d \zeta_{i}}{d t}-\zeta_{i} \frac{d \eta_{i}}{d t}\right)=a \alpha+b \beta+c \gamma
\]

Отсюда впдно, что если интегралы шлощадей для какой-нибудь системи координат имеют место во всех трех координатных шлоскостях, то они имеют место для каждой системы координат. *) Представим новую шостоянную
*) Рассмотренные интегралы площадей, которые относятея к системе координат с неподвияным началом, нельзя применить ‘к солнечной системе, так как. в мировом пространстве нет ни одной неподвнжной точки. Но легко убедиться положив
\[
x_{i}=\underset{x}{+}+A ; \quad y_{i}=\mathrm{v}_{i}+B ; \quad z_{i}=\hat{\jmath}_{i}+C,
\]

где $A, B, C$ – коордпнаты центра тяжести (третья лекция), что интегралы площадей (3), (5), (6) все же будут нметь место, если вместо $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ подетавить соот ветственно $\underline{x}_{i},
u_{i}, z_{i}$, и в то же время $\alpha, \beta, \gamma$ нзменить на
\[
\begin{array}{l}
M\left(\beta^{(0)} \gamma^{\prime}-\gamma^{(0)} \beta^{\prime}\right) \\
M\left(\gamma^{(0)} \alpha^{\prime}-\alpha^{(0)} \gamma^{\prime}\right) \\
M\left(\alpha^{(0)} \beta^{\prime}-\beta^{(0)} \alpha^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом әти интегралы площадей годлтея такжө для случая, когда за начало координат принт равномерно и прямолинейно двнгаюцийся центр тяжести.

$a \alpha+b \beta+c \gamma$ в другой форме. Обозначим углы, юоторые ось образует с осями $x, y, z$, через $l, m, n$; тогда
\[
a=\cos l, \quad b=\cos m, \quad c=\cos n .
\]

Если положим еще
\[
\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}}=\cos \lambda, \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}}=\cos \mu, \frac{\gamma}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}}=\cos
u,
\]

то получим:
\[
a \alpha+b \beta+c \gamma=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}(\cos l \cos \lambda+\cos m \cos \mu+\cos n \cos
u),
\]

Но так как $\cos ^{2} \lambda+\cos ^{2} \mu+\cos ^{2}
u=1$, то $\lambda$, $\mu$, можно рассматривать как углы, которые некоторая определенная шрямая $L$ образует с осями $x, y, z$. Обозначим угол, который эта шрямая образует с осью $\xi$, через $V$; тогда
\[
\cos l \cos \lambda+\cos m \cos \mu+\cos n \cos
u=\cos V
\]

и, следовательно,
\[
a \alpha+b \beta+c \gamma=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}} \cos V .
\]

Таким образом, постоянная интеграла площадей для шыоскости $\eta$, $ь$ будет равна радикалу $\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}$, умноженному на косннус угла, который ось э образует с прямой $L$, построепной вышеуказанным образом. То же самое имеет, конечно, место для двух других интегралов площадей в новой системе коорднат, тольк вместо угла $V$ падо брать углы $V^{\prime}$ и $V^{\prime \prime}$, которые прямая $L$ образует с осями $\eta$ и $\zeta$. Шусть тешерь ось $\xi$ совнадает с прямой $L$; тогда $V=0, V^{\prime}=90^{\circ}, V^{\prime \prime}=90^{\circ}$, і потому $\cos V=1, \cos V^{\prime}=0$, $\cos V^{\prime \prime}=0$. Отсода видно, что постоянные интегралов площадей для плоскостей $\xi, \eta$ и $\xi, \zeta$ действительно обращаются в нуль, и в то же время цостоянная пнтеграла шлощадей для плоскости $\eta$, ц будет равна
\[
\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}
\]
т. е. равна максимуму, которого она вообще может достигнуть, так кағ все ее значения заключаются в общей форме
\[
\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}} \cos V .
\]

Маплас назвал опрепеленную тақим образом плоскость $\eta$, непзеєяемой плоскостью; ои думал, что ею монно восшодвовате для выястепия вопроса, шропсходили ли в солнечной системе толчи в течение тысячелетий, так как эти толчки долины были бы изменить ее положение. Обратно, если два пзмерепия, проиведенные в различное время, дают различные пололешия для этой нлоскости, то в течение этого времени должпы были ироивойти толчки. Но это еще наимепее важное применение неизменяемой поскости. Нашишем для новых коордипат снова прежние буквы $x, y, z$, так что плоскоеть $y, z$ будет пепзменяемой, тогда мы имеем трп интеграла площадей:
\[
\begin{array}{c}
\sum m_{i}\left(y_{i} \frac{d z_{i}}{d t}-z_{i} \frac{d y_{i}}{d t}\right)=\varepsilon ; \quad \sum m_{i}\left(z_{i} \frac{d x_{i}}{d t}-x_{i} \frac{d z_{i}}{d t}\right)=0 ; \\
\sum m_{i}\left(x_{i} \frac{d y_{i}}{d t}-y_{i} \frac{d x_{i}}{d t}\right)=0,
\end{array}
\]

эде
\[
\varepsilon=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+i^{2}} .
\]

Для случая қвух тел можно дать этим интегралам площадей интересное геометрическое значение.

В этом случае имеен:
\[
\begin{array}{l}
m_{1}\left(y_{1} \frac{d z_{1}}{d t}-z_{1} \frac{d y_{1}}{d t}\right)+m_{2}\left(y_{2} \frac{d z_{2}}{d t}-z_{2} \frac{d y_{2}}{d t}\right)=\varepsilon, \\
m_{1}\left(z_{1} \frac{d x_{1}}{d t}-x_{1} \frac{d z_{1}}{d t}\right)+m_{2}\left(z_{2} \frac{d x_{2}}{d t}-x_{2} \frac{d z_{2}}{d t}\right)=0 \\
m_{1}\left(x_{1} \frac{d y_{1}}{d t}-y_{1} \frac{d x_{1}}{d t}\right)+m_{2}\left(x_{2} \frac{d y_{2}}{d t}-y_{2} \frac{d x_{2}}{d t}\right)=0 .
\end{array}
\]

Исключая $m_{1}$ и $m_{2}$ из двух последних уравнений, получим:
\[
\left(z_{1} \frac{d x_{1}}{d t}-x_{1} \frac{d z_{1}}{d t}\right):\left(x_{1} \frac{d y_{1}}{d t}-y_{1} \frac{d x_{1}}{d t}\right)=\left(z_{2} \frac{d x_{2}}{d t}-x_{2} \frac{d z_{2}}{d t}\right):\left(x_{2} \frac{d y_{2}}{d t}-y_{2} \frac{d x_{2}}{d t}\right) \text {. }
\]

Эта пропорция имеет простое геометрическое значение. В самом деле, представим себе, что к кривой, описанной $m_{1}$ проведена касательная в $m_{1}$, через эту касательную и через начало координат проведена плоскость $E_{1}$ и ћ этөй цлоскости в начале координат восставлена нормаль $N_{1}$. Пусть косинусы углов, которые эта нормаль образует с координатными осями, будут $p_{1}, q_{1}, r_{1}$; тогда для точки $\grave{m}_{1}$ ичеем уравнения
\[
\begin{array}{c}
p_{1} x_{1}+q_{1} y_{1}+r_{1} z_{1}=0, \\
p_{1} d x_{1}+q_{1} d y_{1}+r_{1} d z_{1}=0,
\end{array}
\]

жоторые можно написать в форме двойной пропорции, именно:
\[
p_{1}: q_{1}: r_{1}=\left(y_{1} d z_{1}-z_{1} d y_{1}\right):\left(z_{1} d x_{1}-x_{1} d z_{1}\right):\left(x_{1} d y_{1}-y_{1} d x_{1}\right) .
\]

Точно так же, сделав аналогичное построение для точки $m_{2}$, определих щлосвость $E_{2}$, соответствующую щлоскости $E_{1}$, и нормаль $N_{2}$, соответствуюауюю нормали $N_{1}$, и найдя этим путем косинусы $p_{2}, q_{2}, r_{2}$, получим:
\[
p_{2}: q_{2}: r_{2}=\left(y_{2} d z_{2}-z_{2} d y_{2}\right):\left(z_{2} d x_{2}-x_{2} d z_{2}\right):\left(x_{2} d y_{2}-y_{2} d x_{2}\right) .
\]

Отсюда вытекает, что уравнения (8) при помощи величин $p_{1}, q_{1}, r_{1}, p_{2}, q_{2}, r_{2}$ можно нашисать так:
\[
q_{1}: r_{1}=q_{2}: r_{2} ;
\]

геометрическое значение этого уравнения найти очень просто. Уравнения лрямых $N_{1}$ и $N_{2}$ нменот вид:
\[
\frac{x}{p_{1}}=\frac{y}{q_{1}}=\frac{z}{r_{1}} \quad \text { и } \quad \frac{x}{p_{2}}=\frac{y}{q_{2}}=\frac{z}{r_{2}}
\]

потому уравнения их проекций на плоскость $y z$ будут:
\[
\frac{y}{q_{1}}=\frac{z}{r_{1}} \quad \text { п } \quad \frac{y}{q_{2}}=\frac{z}{r_{2}} .
\]

Но, так как $q_{1}: r_{1}=q_{2}: r_{2}$, то оба эти уравнения тождественны, т. е. $N_{1}$ и $N_{2}$ имеют одну и ту же прэекцио на плоскость $y z$, т. е. $N_{1}$ и $N_{2}$ лежат в одной плоскости, перпендикулярной к $y z$ п содержащей ось $x$, так вак $N_{1}$ и $N_{2}$ проходят через начало кординат. Отсюда вытекает для плоскостей $E_{1}$ и $E_{2}^{2}$ что они пересекают плоскость $y$, $z$ шо одной и той же прямой. Таким образом, для свободного движения двјх масс $m_{1}$ и $m_{2}$ имеем следующую reорему:

Iредположим, что в $m_{1}$ ч $m_{2}$ проведены касательные $\boldsymbol{x}$ путям обеих точек и через эти касательные и чентр тяжести системы (последний служит началом координат) проведены плоскости; тогда эти плоскости жересекут неизменяемую плоскость (плоскость $y, z$ ) по одной и той же прямой.

Это геометрческое значение установлено Іуансо. Д дал интересноє его применение к задаче трех тел.*)

Так же как из теоремы живой снлы была выведена устойчивость мировой системы относительно ее размеров, так и принцип площадей может служить тому, чтобы доказать ее устойчивость относитешіно формы ее путей. Ринее упомянутый вывод должен был погавать, что большие оси эллисов, по которым двигаютея планеты, не могут превзойти известных границ; точно так же из теоремы площадей можно вывести, тто эксентриситеты ногу\” изменяться тольк между известными границами, а от этого зависят формы путей. Но кроме недостатка ранее уномянутого вывода, именно, что при цринятии в расчет высших степеней все же входят вековне члены, т. е. такие. цоторые содержат время вне периодиеских фунцнй синуса и косинуса, носледний вывод страдает неполнотой, а именно ов годитея только для небесных тел со сколько-иибуд значительными масами. Действительо. в уравнении, из которого вытекает результат, о котором идет речь, отдельные члены умножаюте на масы небесных тел, а потому тела с малыми нассами влияот так незначительно на все уравнение, что отеюда вель\”я сделать никакого заключенн относительно их юкентриситетов. В сммом деле, устойчивоеть формы пути не имеет места для комет; она не имеет неста также и дыя малых планет, например для Меркурия, которого масса тақ незначительна, что она до сих пор оценивалаеь тольк по догадкм, а первая попыта вывести ее из наблюдений, сделаңная Әнке, была вовуожна только из-ва чрезвычайной близости кометы, назвапной его имевем. « Мерьурию.

Если в взимым притяжениям материалиных точек присоединяются еще притяжения и неподвижным центрам, то принци площадей перестает иметь место, если тольо эти цептры не лежат на одюй прямой. Если возьнем эту прямую за ось $x$, то теорема площадей будет применима в плокости $y, z$, в то время как в двух остальных плоскостях она не имеет места. В самом деле, расемотрим натериально точку $m_{i}$ и представим себе плоспость $E_{i}$, проведенную через нее параллельно плоскости $y$, $z$. Равнодействующая всех притяжений, которые испытывает точка $m_{i}$ от всех нецодвиж- ных центров, расположениых по оси $x$, будет направлена от этой точт. к некоторой определений точке оси $x$; поэтому можно разложить эту силу на две, из которих одна проходит через точку $m_{i}$ шараллельпо оеи $x$, друтая же направлена от точки $m_{i}$ к точке пересечешия плоскости $E_{i}$ е өюю $x$ и поэтум лежит в эой плосюост. Последнюю силу обозначим через $Q_{i}$ и храним прежние обоначепия, то составляюцая, нараллениат оен $\%$, рава
\[
Q_{i} \cos v_{i},
\]

а составляющая, параллельная осп $z$, равпа
\[
Q_{i} \sin v_{i}
\]

Поэтому в сищволиеском уравнении двнжения н прептеыу соединяетел еще выражение
\[
\sum Q_{1}\left(\cos v_{i} \delta y_{1}+\sin v_{i} \delta z_{i}\right) .
\]

Таки образом мы подучим, если под $U$ подразумевать толко ту част равенетво
*) Crelles Journal, Bd. 26, p. 11ó. Math. Werke, Bd. I., p. 30.

или, если ноложнть, кан выше,
\[
\delta x_{i}=0, \quad \delta y_{i}=-r_{i} \sin v_{i} \partial v=-z_{i} \delta v, \quad \delta z_{i}=r_{i} \cos v_{i} \hat{v}=y_{i} \delta v,
\]

бдагодаря чему исчезнет $\delta U$, 一равенство
\[
\sum m_{i}\left(y_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}-z_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right)=0,
\]

воторое посте интегрирования дает:
\[
\sum m_{i}\left(y_{i} \frac{d_{\epsilon_{i}}}{d t}-z_{i} \frac{d y_{t}}{d t}\right)=\alpha,
\]
т. е. принци сохранения шлощадей имеет место для плоскости, церпендикулярной к прямой, содержащей все неподвижные центры. Таким образом, в этом случае имеем два интеграла: интеграл живой силы и оцин иџтеграл плоцадей. Если же в задаче имеется несколюо неподвижных центров, ве лежащих на одной прямой, то не существует больше никакого интеграла площадей и имеется только интеграл принцина живой силы.

Если цредположить, проме того, что центры не неподвижны, но имеют собственное движение, независимое от других материальных точек системы, так что это движение есть данная функция времени, то и принцип живой снлы также не применим. Гакие случаи в природе встречаются; сюда принадлежит, папример, прияжение кометы солнцем и Юпитером, если рассиатривать орбиты солнца и Юпитера как данные, а комеху как материальвую точку, которая не имеет на эти орбиты никакого влияния. Здесь, как скавано, перестает действовать принцип живой силы, так как он покоитея существенно на том, что для расстояния $r$ материальной точки ( $x, y, z)$ от центра ( $a, b, c$ ) выполняется дифференцильное уравнение
\[
d r=\frac{x-a}{r} d x+\frac{y-b}{r} d y+\frac{z-c}{r} d z .
\]

Но это дифференциальное уравнение имеет место в предположении, что. $a, b, c$ постоянные, и оно перестает существовать в нашем случае, а вместе с ни и цринцип живой силы. Іравда, силы, действующие на отдельные тощи, все-таки можно представить как частные производные некоторой функции $\tau$, но эта функция содержит тенерь явно, кроме координат, еще и времл, вслелствие чего тешерь уже ке будет
\[
\frac{d U}{d t}=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \frac{d z_{i}}{d t}\right),
\]

и в цравой части прибавится еще частная производная $\frac{\partial U}{\partial t}$, так что
\[
\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \frac{\dot{d} x_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \cdot \frac{d z_{i}}{d t}\right)=\frac{d U}{d t}-\frac{\partial U}{\partial t} .
\]

Дифференциальое уравнение теоремы живых сил имело вид
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d x_{i}}{d t} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+\frac{d y_{i}}{d t} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+\frac{d z_{i}}{d t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} d t+\frac{d y_{1}}{d z_{2}} \frac{\partial z_{i}}{d t}\right) .
\]

Это уравнение интегрируемо, если правую часть можно захешить через $\frac{d U}{d t}$. Но теперь мы долины замепить ее через $\frac{d U}{d t}-\frac{\partial U}{\partial t}$ и поэтому не можем больше интегрнровать.
\[
3^{*}
\]

Если в уравнении
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d x_{i}}{d t} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+\frac{d y_{i}}{d t} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+\frac{d z_{i}}{d t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=\frac{d U}{d t}-\frac{\partial U}{\partial t}
\]

предшоложить фуикцию $U$ равложенной на сумму $U+V$, где $V$ явно содержит время, а $U$ его явно не содержит, то получится
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d x_{i}}{d t} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+\frac{d y_{i}}{d t} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+\frac{d z_{i}}{d t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=\frac{d U}{d t}+\frac{d V}{d t}-\frac{\partial V}{\partial t} .
\]

то и есть то уравнение, которое получается вместо дифференциального уравнения принципа живой силы, но тенерь оно уже не дает никакого интеграла. Точно так же не имеет места теперь и приндип площадей; таким образом нет пи одного іринцнца, который давал бы интеграл. Однако, я заметил, что существует одна гипотеза относительно движения центров, притом гипотеза очень близкая к только что упомянутому действительному слутаю, при шринятии которой пз комбинации обопх цринциов можно получить интеграл. Г’иотеза состоит в том, что преднолагают центры движущимися по кругам с одинаковой угловой скоростью вокруг одной и той же оси, так что координаты какого-нибудь центра $(a, b, c)$ будут
\[
a=\text { const, } \quad b=\beta \cos n t, \quad c=\beta \sin n t,
\]

мде $n$ для всех центров имеет одно и то же вначение, а ось $x$ есть обща: ось вращения. Это, в самом деле, очевь близко согласуетея с тем случаен, қоторый мы имеем в природе, так как солнце и Юпитер двигаютея по эклиптике вокруг их общего центра тяжести по эллинеа с очень малым эксцентриситетом (приблизительно $=\frac{1}{20}$ ), и эти әллипсы ноэтому можно рассмахривать как круги. Их время обращения опинаково велико, и если его положить равным $T$, то для огределения $n$ получитея уравнение $n T=2 \pi$.

Исследуем теперь, что в этом случае получится из дифференциалного уравнения принципа площадей. Если мы, для общности, кроме центров возьмем не одну материальную точку, а қелую систему точек, то силовая функция будет состонть из двух комшлексов членов. Первый комплеке происходит от взаимного притяжения материальных точек и заключает члены вида
\[
\frac{m_{i} m_{i^{\prime}}}{\sqrt{\left(x_{i}-x_{i^{\prime}}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{i^{\prime}}\right)^{2}+\left(z_{i}-z_{i^{\prime}}\right)^{2}}}
\]

иди, если мы снова, как в шредыдущен, введем $r_{i}$ и $v_{i}$, вида
\[
\frac{m_{i^{\prime}} m_{i^{\prime}}}{\sqrt{\left(x_{i}-x_{i^{\prime}}\right)^{2}+r_{i}^{2}+r_{i^{\prime}}{ }^{2}-2 r_{t^{\prime}} r_{i^{\prime}} \cos \left(v_{i}-v_{i^{\prime}}\right)}} .
\]

Второй комплекс происходит от шритяжения центров и содержит члевы вида
\[
\frac{m_{i}^{u}}{\sqrt{\left(x_{i}-a\right)^{2}+\left(y_{i}-b\right)^{2}+\left(z_{i}-c\right)^{2}}}
\]

или, если мы здесь также введем $r_{i}$ и $v_{t}$ и то же время положия $b=\beta \cos n t, c=\beta \sin n t$ вида
\[
\frac{m_{i}{ }^{\mu}}{\sqrt{\left(x_{i}-a\right)^{2}+r_{i}^{2}+\beta^{2}-2 r_{i} \beta \cos \left(v_{i}-n t\right)}} \text {. }
\]

Оба комплека остаюте без ивменення, если все $v_{i}$ увеличить на одну и ту же величину и в то же время увеличить $l$ на $n$-ую часть этой величивн, т. е., если для всякого значения $i$ похожить
\[
\hat{o} v_{i}=n \delta t \text {, }
\]

ваковые вариации в напем случае будут виртуальными. Обозначим первый комплено членов через $U$, а второй через $V$.
В этом случае в общем символическом уравнении
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)
\]

войдет $U+V$ вместо $U$ и тақим образом правая его часть будет равна
\[
\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)+\sum\left(\frac{\partial V}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial V}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial V}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right) .
\]

Так как $t$ не входит явно в $U$, то первая сумиа равна $\delta U$; но в $V$ входит $t$ во всяком случае явно, поэтому, чтобы вторая сумма дала полностью $\delta V$, ей нехватает еңе члена $\frac{\partial V}{\partial t} \delta t$, т. е. она равна $\delta V-\frac{\partial V}{\partial t} \delta t$, и мы имеем
\[
\sum m_{l}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{l}\right)=\delta U+\delta V-\frac{\partial V}{\partial t} \delta t .
\]

Но данные выше вариации таковы, что для пих $U$ и $V$ остаютея неизчевными, поэтому мы имеем $\delta U=0$ и $\delta V=0$. Далее,
\[
\delta x_{i}=0, \quad \delta y_{i}=-r_{i} \sin v_{i} \delta v_{i}=-n z_{i} \delta t, \quad \delta z_{i}=r_{i} \cos v_{i} \delta v_{i}=n y_{i} \delta t,
\]

так что
\[
n \sum m_{i}\left(y_{i} \frac{d^{2} z_{t}}{d t^{2}}-z_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial t} .
\]

Это и есть то уравнение, которое в напем случае заменяет дифференциальпое уравнение принципа площадей; $V$ есть агрегат членов формы (В), где и должно быть одно и то же во всех членах, все же остальные величины могут принимать различные значения при переходе от одного члена к другому. Ранее мы имели уравнение (9)
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d x_{i}}{d t} \frac{d^{2} x_{t}}{d t^{2}}+\frac{d y_{i}}{d t} \frac{d^{2} y_{4}}{d t^{2}}+\frac{d z_{i}}{d t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=\frac{d U}{d t}+\frac{d V}{d t}-\frac{\partial V}{\partial t}
\]

или:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i} \frac{d}{d t}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=\frac{d U}{d t}+\frac{d V}{d t}-\frac{\partial V}{\partial t} .
\]

Если из эгого уравнения вычесть уравнение (10), то получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \sum m_{4} \frac{d}{d t}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{1}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}- \\
-n \sum m_{1}\left(y_{t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}-z_{t} \frac{d^{2} y_{4}}{d t^{2}}\right)=-\frac{d U}{d t}+\frac{d V}{d t}
\end{array}
\]

или, интегрируя,
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \sum m_{1}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{t}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}- \\
-n \sum m_{i}\left(y_{1} \frac{d z_{i}}{d t}-z_{1} \frac{d y_{t}}{d t}\right)=U+V+l^{\prime \prime} .
\end{array}
\]