Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Мы будем теперь заниматься общими исследованиями относительно уравнений в частных производных первого порядка и при этом предшоложим, что сама искомая функция не входит в дифференциальное уравнение. Это предположение не представляет существенного ограничения, так как общий случай всегда может быть приведен к этому. В самом деле, если щредложеное дифференциальное уравнение содержит искомуюфункцию то вводим новую независимую переменную таким образом будем иметь: тав что Поэточу предложенное дифференцильное уравнение переходит в следующее: В это уравнение входит, правда, одною независимою переменною больше, именно входит получии уравнение: Если мы теперь, следуя Лагранж, захотим для определения было шолим дифференциалом. Но мы здесь наталкиваемея на своеобразную трудность. Именно, так как уравнение (1) уже представляет соотношение между величинами или, при введении сокращенных обозначений вышолнение между тем как мы имеен в своек распоряжении тольк Это затруднение удерживало до сих пор аналитиков от распространеняя четода Лагранжа на большее число переменных. Нас оно не устрашит, напротив, зная а priori, что задача, несмотря на слипком больше число условий, всё же может быть решена, мы будем исследовать-ка это может произойти, что Отметим варанее одно обстоятельство, которое должно нам пригодиться при этом исследовании, так как благодаря ему Хотя отеюда еще не следует, что, когда Чтобы разобрать исчерпывающе поставленный вопрос, мы должны чачала преобразовать условные уравнения. В предыдущей форме этих уравнений Для исследования, о котором идет речь, эта форма слищко спределенная. Мы сделаеи другую гипотезу относительно гредетавления величин Производные, взятне от Рассматриваемые Любое из этих уравнений, например сокраценно предетавляютея так: Если теперь Заменим, выражения при помощи условных уравнений (3) проивводными по Поэтому условные уравнения Эту систему уравнений после перенесения членов, стоящих справа, в левую часть можно представить в сопраценных обозначениях в таком виде: Уравнения (4) уже не тождественны больше с уравнениями, стоящим в Но если преобравование, посредетвом которого мы получили из Тогда будем иметь: Чтобы теперь в системе (4) совершенно избавиться от провзводных заключенных в скобки, образуем из нее новую систему: Из этой новой системы, благодаря уравнениям проивводные, зақлюченные в скобки, соверпенно выпадают и мы получим Эта система равнозначаща с системой (4), поэтому уравнения (4) могут быть выведены из уравнений (5) и обратно, как это само собой вытекает из самого способа образования уравнений (5). или Это уравнение, исключая два последние члена, симметрично, тав как, хотя вторая сумма распространяется только на значения от Но мы можем рассматривать задачу преобравовапия условных уравнений в еще более общем виде. Возъем каное-нибудь из них, например: пде нии, если мы заменим производные через производные от где суммировапие по Можно дать общее доказательство того, что разность обеих сумм, содержащих производные, завлюченные в скобни, не меняет своего значения, если отбросить скобки. В самом деле, мы имеем: поэтоиу но так как обе цвойные суми вследствие условных уравнений п уравнение (6) превратится в уравнение: отличающееся от прежнего только отсутствием скобок. п притом для всех значений В этом уравнении несимметричны только первые два члена, и это проиходит вследствие того предпочтения, которое мы оказали величинам где то для намеченного преобразования необходимо выразить величины а отсюда, введя обозначение получаем значения: Гифференцируя уравнения Отсюда, решая стоящие друг под другом линейные уравнения и сохраняя прежнее значение Если мы тешерь образуем выражение при выводе которой можно также избежать сокращения общего делителя Шоэтому мы имеем, еслп соединим все члены, такую распрострапепную от 1 до п таким образом получаем теорему: сть полный дифференұиал, по они должны удовлеторямь условия: и иритон это равежство есть тождество, так как в него не входат преизвольные постоянные а Уравиение (12) содержит результат, данный в (7) как частпый случаи. Действительно, шредположим, что функции тогда уравнение (12) перейдет в уравнение (7).
|
1 |
Оглавление
|