Главная > ЛЕКЦИИ ПО ДИНАМИКЕ (К. Якоби)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Мы будем теперь заниматься общими исследованиями относительно уравнений в частных производных первого порядка и при этом предшоложим, что сама искомая функция не входит в дифференциальное уравнение. Это предположение не представляет существенного ограничения, так как общий случай всегда может быть приведен к этому. В самом деле, если щредложеное дифференциальное уравнение содержит искомуюфункцию $V$ и, следовательно, имеет форму
\[
0=\Phi\left(V, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right),
\]

то вводим новую независимую переменную $q$ и новую зависимую переменную $W$ уравнением
\[
W=q V ;
\]

таким образом будем иметь:
\[
\frac{\partial W}{\partial q}=V, \quad \frac{\partial W}{\partial q_{1}}=q \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \ldots \frac{\partial W}{\partial q_{n}}=q \frac{\partial V}{\partial q_{n}},
\]

тав что
\[
V=\frac{\partial W}{\partial q}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}=\frac{1}{q} \frac{\partial W}{\partial q_{1}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}=\frac{1}{q} \frac{\partial W}{\partial q_{n}} .
\]

Поэточу предложенное дифференцильное уравнение переходит в следующее:
\[
0=\Phi\left(\frac{\partial W}{\partial q}, \frac{1}{q} \frac{\partial W}{\partial q_{1}}, \ldots \frac{1}{q} \frac{\partial W}{\partial q_{n}}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right) .
\]

В это уравнение входит, правда, одною независимою переменною больше, именно входит $q$, но оно уже не содержит самой функции $W$, а только ее щроизводные по $q, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Таким образом мы можем, не нарушая общности, ограничитьея случаем, когда дано дифференциальное уравнение
\[
i\left(\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right)=0
\]
n функция $V$ саиа не входит в уравнение. Шоложив здесь для краткости
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=p_{i}
\]

получии уравнение:
\[
\varphi\left(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right)=0 .
\]

Если мы теперь, следуя Лагранж, захотим для определения $V$ применить тот же метод, которым мы нользовались дия случая $n=2$ в двадцать, второй леции, то мы должны величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ определить в виде таких функций от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, ттобы выражение
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}
\]

было шолим дифференциалом. Но мы здесь наталкиваемея на своеобразную трудность. Именно, так как уравнение (1) уже представляет соотношение между величинами $p$ и $q$, то нам нужны еще $n-1$ других соотношений, чтобы мы могли все величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ выразить через $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Следовательно мы располагаем $n-1$ функцией от переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и должны их определить так, чтобы выражение (2) было полным дифферепциалом. цля удовлетворения этого требования необходимо вынолнение $\frac{u(n-1)}{2}$ условных уравнений вида
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}
\]

или, при введении сокращенных обозначений
\[
(i, k)=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{t}},
\]

вышолнение $\frac{n(n-1)}{2}$ уеловных уравнений
\[
(i, k)=0 \text {, }
\]

между тем как мы имеен в своек распоряжении тольк $n-1$ функций. Дэя $n=2$ эти два числа правда равны друг другу, именно оба равны 1 , но во всех других саучалх первое число превосходит второе.

Это затруднение удерживало до сих пор аналитиков от распространеняя четода Лагранжа на большее число переменных. Нас оно не устрашит, напротив, зная а priori, что задача, несмотря на слипком больше число условий, всё же может быть решена, мы будем исследовать-ка это может произойти, что $n-1$ функция удовлетворяет $\frac{n(n-1)}{2}$ условным уравнениям.

Отметим варанее одно обстоятельство, которое должно нам пригодиться при этом исследовании, так как благодаря ему $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений щриводятея в связь друг с другом. Именно, пуеть $i, i^{\prime}, i^{\prime \prime}$ обозначарт три любых вначка; тогда мы имеем тождество
\[
\frac{\partial\left(i^{\prime}, i^{\prime \prime}\right)}{\partial q_{i}}+\frac{\partial\left(i^{\prime \prime}, i\right)}{\partial q_{i^{\prime}}}+\frac{\partial\left(i, i^{\prime}\right)}{\partial q_{i^{\prime \prime}}}=0 .
\]

Хотя отеюда еще не следует, что, когда $\left(i^{\prime \prime}, i\right)=0$ и $\left(i, i^{\prime}\right)=0$, то тақже исчезает и ( $\left.i^{\prime}, i^{\prime \prime}\right)$, но ясно, что тогда это последнее выражение не завнсит от $q_{i}$, так что если оно исчезает для какого-нибуль значения $q_{i}$, то оно вообще равно нүлю.

Чтобы разобрать исчерпывающе поставленный вопрос, мы должны чачала преобразовать условные уравнения. В предыдущей форме этих уравнений $\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}$ величины $p$ рассматриваются толю как функции величин $q$, т. е. предиолагаетея, что $n$ соотношений между величунами $p$ и $q$, из которых одно дано уравнением (1), в то время как остальные $n-1$ в напеа распоряжении, репены относительно $n$ величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$.

Для исследования, о котором идет речь, эта форма слищко спределенная. Мы сделаеи другую гипотезу относительно гредетавления величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ а а именно предноложим, что

Производные, взятне от $p_{i}$ по $p_{i+1}, p_{i+2}, \ldots p_{n}, q_{1} \ldots q_{n}$, при этой гипотезе, будем писать без скобок, в то время кағ производные, взятые при прежней гипотезе, по которой все $p$ функции только от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, заключаем в скобк. Это изменение в способе представления требует, чтобы производные, входящие в $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений и заключенные тешерь в скобки, были заменены па другие, что́ и должно быть сейчас выполнено.

Рассматриваемые $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений могут быть расположены стедующи обрразом:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{\mathrm{q}}}\right)=\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}\right),\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{3}}\right)=\left(\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{1}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{m+1}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{1}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{1}}\right), \\
\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{3}}\right)=\left(\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{2}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{m+1}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{2}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{2}}\right), \\
\begin{array}{r}
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\qquad\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m+1}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m}}\right),
\end{array} \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{n-1}}\right) \\
\end{array}
\]

Любое из этих уравнений, например $\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)$, после перенесения правого члена в левую сторону заменитея уравнением $(i, k)=0$, так что, нацример, уравнения $m$-го ряда
\[
\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+1}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m}}\right),\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+2}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+2}}{\partial q_{m}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m}}\right),
\]

сокраценно предетавляютея так:
\[
(m, m+1)=0,(m, m+2)=0, \ldots(m, n)=0 .
\]

Если теперь $i$ есть один ив значков $m+1, m+2, \ldots n$, то мы имеем:
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{n+1}}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{m+2}}{\partial q_{i}}\right)+\ldots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}
\end{array}
\]

Заменим, выражения
\[
\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{i}}\right) ; \quad\left(\frac{\partial p_{m+2}}{\partial q_{i}}\right) \cdots\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{i}}\right)
\]

при помощи условных уравнений (3) проивводными по $p_{i}$; тогда шолучим:
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}\right)= & \frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+2}}\right)+ \\
& +\cdots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}} .
\end{aligned}
\]

Поэтому условные уравнения $m$-го ряда, если иы их напипет в обратнох порядке, начиная с $(m, n)=0$, примут вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m+2}}\right)+\cdots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{n}}=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m}}\right), \\
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{m+2}}\right)+\ldots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n-1}}=\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{m}}\right), \\
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+2}}\right)+\cdots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}=\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m}}\right), \\
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m+2}}\right)+\cdots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+1}}=\left(\frac{\partial p_{n+1}}{\partial q_{m}}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Эту систему уравнений после перенесения членов, стоящих справа, в левую часть можно представить в сопраценных обозначениях в таком виде:
\[
((m, n))=0,((m, n-1))=0, \ldots((m, i))=0, \ldots((m, m+1))=0 .
\]

Уравнения (4) уже не тождественны больше с уравнениями, стоящим в $m$-м ряду системы (3), так как при их составлении мы воснольввались последующии рядами этой системы; между уравнениями обеих систем существует свявь, выражаемая соотношением
\[
\begin{array}{c}
((m, i))=(m, i)-\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}(m+1, i)-\ldots-\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{i-1}}(i-1, i)+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{i+1}}(i, i+1)+\ldots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}(i, n) .
\end{array}
\]

Но если преобравование, посредетвом которого мы получили из $m$-го горизонтального ряда системы (3) уравнения (4), применить ко всем ее горизонтальным рядам, то система, полученная после преобразования, будет равнозначаща с первоначальной системой (3). Чтобы в этом убедитьея. напишем преобазованную систему в обратном, т. е. в следующем порядке:
\[
\begin{array}{l}
((n-1, n))=0, \\
((n-2, n))=0,((n-2, n-1))=0, \\
((n-3, n))=0,((n-3, n-1))=0,((n-3, n-2))=0,
\end{array}
\]

Тогда будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
((n-1, n))=(n-1, n) \text {, } \\
((n-2, n))=(n-2, n)-\frac{\partial p_{n-2}}{\partial p_{n-1}}(n-1, n) \text {, } \\
((n-3, n))=(n-3, n)-\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n-2}}(n-2, n)-\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n-1}}(n-1, n), \\
((n-2, n-1))=(n-2, n-1)+\frac{\partial p_{n-2}}{\partial p_{n}}(n-1, n) \text {, } \\
((n-3, n-1))=(n-3, n-1)-\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n-2}}(n-2, n-1)+\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n}}(n-1, n)_{s} \\
((n-3, n-2))=(n-3, n-2)+\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n-1}}(n-2, n-1)+\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n}}(n-2, n) \\
\end{array}
\]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Отсюда видим, что из новых уравнений следуют также старые и, таким -бразом, обе системы равнозначащи.

Чтобы теперь в системе (4) совершенно избавиться от провзводных заключенных в скобки, образуем из нее новую систему:
\[
\begin{array}{l}
((m, n))=0, \\
((m, n-1))-\frac{\partial p_{n-1}}{\partial p_{n}}((m, n))=0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
((m, i))-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+1}}((m, i+1))-\ldots-\frac{\cdot}{\partial p_{n}}((m, n))=0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot-\frac{\partial p_{m+1}}{\partial p_{n}}((m, n))=0
\end{array}
\]

Из этой новой системы, благодаря уравнениям
\[
\begin{array}{r}
\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{k}}\right)=\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{k}} \\
\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{k}}\right)=\frac{\partial p_{n-1}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{k}}\right)+\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{k}} \\
\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+1}}\left(\frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{k}}\right)+\cdots \cdot \cdot+\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{k}}\right)+\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}} \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

проивводные, зақлюченные в скобки, соверпенно выпадают и мы получим
\[
\begin{array}{l}
+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+1}}-\frac{\partial p_{m+1}}{\partial p_{m+2}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+2}}-\frac{\partial p_{m+1}}{\partial p_{m+3}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+3}}- \\
-\ldots-\frac{\partial p_{m+1}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}=\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m}} . \\
\end{array}
\]

Эта система равнозначаща с системой (4), поэтому уравнения (4) могут быть выведены из уравнений (5) и обратно, как это само собой вытекает из самого способа образования уравнений (5).
Все уравнения системы (5) заключаютея в следующей общей схеме:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+1}}+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+2}}+\ldots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{n}}+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+1}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+2}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i+2}}-\ldots-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m}}
\end{array}
\]

или
\[
\sum_{k=m+1}^{k=n} \frac{\partial p_{m}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}-\sum_{k=i+1}^{k=n} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m}}=0
\]

Это уравнение, исключая два последние члена, симметрично, тав как, хотя вторая сумма распространяется только на значения от $i+1$ до $n$, в то время как первая включает также еще значения от $m+1$ до $i$, но происходит это только потому, что по напей гипотезе в $p_{i}$ входят переченные $\boldsymbol{p}_{i+1}, p_{i+2}, \ldots \boldsymbol{p}_{n}$ и не входят переменные $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{i-1}$, так что величины $\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{k}}$ только тогда отличны от нүла, когда $k>i$.

Но мы можем рассматривать задачу преобравовапия условных уравнений в еще более общем виде. Возъем каное-нибудь из них, например:
\[
\left(i, i^{\prime}\right)=0 \text { или }\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)-\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)=0,
\]

пде $p_{i}$ и $p_{q^{\prime}}$ зависят только от величин $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Іредноложим теперь что $p_{\boldsymbol{i}}$ содержит, кроме величин $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, еще $\boldsymbol{p}_{\mathrm{x}}, p_{\lambda}, \ldots$; также $\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}^{\prime}}$, кроме величин $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, ещө $p_{\chi^{\prime}}, \quad p_{\lambda^{\prime}}, \ldots$ и т. д., и будем писать производные, взятые при этой гипотезе, без скобог; тогда получия:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}+\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{x}}\left(\frac{\partial p_{x}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)+\frac{\partial p_{i}}{\partial \boldsymbol{p}_{\lambda}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{p}_{\lambda}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)+\ldots, \\
\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{\partial \boldsymbol{p}_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{x^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{x^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\lambda^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{\lambda^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)+\ldots,
\end{array}
\]

нии, если мы заменим производные
\[
\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right),\left(\frac{\partial p_{\lambda}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right),\left(\frac{\partial p_{\lambda^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right), \ldots
\]

через производные от $p_{i}$, и от $p_{i}$, которым они равны на основании условий (3), то будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}+\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)+\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\lambda}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\lambda^{\prime}}}\right)+\ldots=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}+\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right), \\
\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)+\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\lambda^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\lambda^{\prime}}}\right)+\ldots=\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right),
\end{array}
\]

где суммировапие по $\%$ распространяетья на значения $x, \lambda, \ldots$, а сумирование по $x^{\prime}$ на вначения $x^{\prime}, \lambda^{\prime}, \ldots$ После введения этих выражений условное уравнение $\left(i, i^{\prime}\right)=0$ перейдет в следующее:
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}-\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)=0 .
\]

Можно дать общее доказательство того, что разность обеих сумм, содержащих производные, завлюченные в скобни, не меняет своего значения, если отбросить скобки. В самом деле, мы имеем:
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)=\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}} & +\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{\boldsymbol{i}^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right),\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)=\frac{\partial p_{\boldsymbol{i}}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}+ \\
& +\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{\boldsymbol{i}}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)
\end{aligned}
\]

поэтоиу
\[
\begin{array}{c}
\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)-\sum_{\mathbf{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)=\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}+ \\
+\sum_{\mathrm{x}} \sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial \boldsymbol{p}_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)
\end{array}
\]

но так как обе цвойные суми вследствие условных уравнений $\left(\frac{\partial p_{x^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)=$ $=\left(\frac{\partial p_{\mathbf{x}}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)$ взаимно уничтожаютея, то мы получим:
\[
\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)=\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}},
\]

п уравнение (6) превратится в уравнение:
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}-\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}=0,
\]

отличающееся от прежнего только отсутствием скобок.
Хотя мы вывели (7) из $\left(i, i^{\prime}\right)=0$, но всё-таки оба уравнения не равновначащи, так как при преобразовании мы воспользовалиеь еще следующими вз условных уравнений:
\[
\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)=\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right),\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)=\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right),\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)=\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right),
\]

п притом для всех значений $\%$ и $x^{\prime}$.
Применим формулу (7) к случаю, когда величины $p_{1}$ п $p_{2}$ выражены как функции от $p_{3}, p_{4}, \ldots p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Здесь надо положить $i=1$, $i^{\prime}=2$, а $x$, так же как и $x^{\prime}$, получают все значения от 3 до $n$. Поэтому мы ичеем:
\[
0=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}+\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{3}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{3}}+\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{4}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{4}}+\ldots+\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{3}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{3}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{4}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{4}}-\ldots-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\}
\]

В этом уравнении несимметричны только первые два члена, и это проиходит вследствие того предпочтения, которое мы оказали величинам $p_{1}$ и $p_{2}$, предполагая, что они явно выражены через остальные. Несимметричность псчезнет, если мы вместо этого предноложим, что имеются два уравнения, содержащие все величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, и что их можно решить как относительно $p_{1}$ и $p_{2}$, так и относительно лобых двух других величин $p_{i}$ II $p_{i}$. Пусть эти два уравнения будут
\[
\varphi=a, \quad \psi=b,
\]

где $\varphi$ и $\psi$ – функции от $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и $a, b$ – постоянное. Тогда полная симметрия будет достигнута тем, что входящие в уравнение (8) частные производные от величин $p_{1}, p_{2}$ заменятея частными производными от ч и $\psi$ Так как уравнение (8) имеет форму
\[
0=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}+\sum_{k=3}^{k=n}\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}\right),
\]

то для намеченного преобразования необходимо выразить величины $\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}$ и $\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}$ через частные проивводные от $\varphi$ и $\psi$. Мы должны при этом рассматривать величины $p_{1}$ и $p_{2}$ благодаря уравнениям $\varphi=a$ н $\psi=b$ как функции всех остальных $p_{5}, p_{4}, \ldots p_{n}, q_{1}, \ldots q_{n}$, а эти последние как независимые друг от друга величины. Дифференцируя уравнения $\varphi=a$ п $\psi=b$ по $b_{1}$ и $q_{2}$, мы найдем:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}=0 ; & \frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}=0 \\
\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \Psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \Psi}{\partial q_{1}}=0 ; & \frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial \Psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}=0
\end{array}
\]

а отсюда, введя обозначение
\[
N=\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{p}_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{1}},
\]

получаем значения:
\[
\left.\begin{array}{l}
-N \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}, \quad N \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}, \\
N\left\{\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}\right\}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Гифференцируя уравнения $\varphi=a$ и $\psi=b$ по $p_{k}$ и $q_{k}$, найдем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}=0, \frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}=0, \\
\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial \Psi}{\partial p_{k}}=0, \frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial \Psi}{\partial q_{k}}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда, решая стоящие друг под другом линейные уравнения и сохраняя прежнее значение $N$, получим для производных от $p_{1}$ и $p_{2}$, взятых по $p_{k}$ п $q_{k}$, следующие значения:
\[
\begin{aligned}
N \frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} & =\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{k}}-\frac{\partial \Psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} ; & N \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}} & =\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \Psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}} \\
-N \frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}} & =\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \Psi}{\partial p_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} ; & -N \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}} & =\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}} .
\end{aligned}
\]

Если мы тешерь образуем выражение $\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}$, то получим уравнение, левая часть которого делится на квадрат $N$, в то время как правая часть содержит $N$ один раз каю множитель. Отбросив в обеих частях общий делитель $N$, получим формулу
\[
N\left\{\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}\right\}=\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{p}_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}},
\]

при выводе которой можно также избежать сокращения общего делителя $N$, ддя чего, например, решаем относительно $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}}$ оба уравнения, стоящие в первом горизонтальном ряду спотемы (10), и в выражении, полученном для $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}$, подставляем на иесто $\frac{\partial p_{\mathbf{2}}}{\partial p_{k}}$ и $\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}$ выпеполученные для
них значения. Іри посредетве формул (9) п (11) уравнение (8*) превратится в тавое:
\[
0=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}+\sum_{k=3}^{k=n}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}\right\} .
\]

Шоэтому мы имеем, еслп соединим все члены, такую распрострапепную от 1 до $n$ сумм:
\[
0=\sum_{k=1}^{k=n}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}\right\}
\]

п таким образом получаем теорему:
Если $\varphi=a$ п $\psi=b$ обозначают $\partial_{в а}$ любых из $n$ уравнений, определяющих $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ каћ фунгиии от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, паким образом, что
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}
\]

сть полный дифференұиал, по они должны удовлеторямь условия:
\[
0=\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{n}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{n}}, \\
-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}-\ldots-\frac{\partial \psi}{\partial p_{n}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{n}},
\end{array}\right\}
\]

и иритон это равежство есть тождество, так как в него не входат преизвольные постоянные а $и$ b.

Уравиение (12) содержит результат, данный в (7) как частпый случаи. Действительно, шредположим, что функции $\varphi$ и имеют форму
\[
\begin{array}{l}
\varphi=p_{i}-f\left(p_{x}, p_{i}, \ldots q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right), \\
\vdots=p_{i^{\prime}}-F\left(p_{x}, p_{i}, \ldots q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right) ;
\end{array}
\]

тогда уравнение (12) перейдет в уравнение (7).

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru