Главная > ЛЕКЦИИ ПО ДИНАМИКЕ (К. Якоби)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Мы будем теперь заниматься общими исследованиями относительно уравнений в частных производных первого порядка и при этом предшоложим, что сама искомая функция не входит в дифференциальное уравнение. Это предположение не представляет существенного ограничения, так как общий случай всегда может быть приведен к этому. В самом деле, если щредложеное дифференциальное уравнение содержит искомуюфункцию V и, следовательно, имеет форму
0=Φ(V,Vq1,Vq2,Vqn,q1,q2,qn),

то вводим новую независимую переменную q и новую зависимую переменную W уравнением
W=qV;

таким образом будем иметь:
Wq=V,Wq1=qVq1,Wqn=qVqn,

тав что
V=Wq,Vq1=1qWq1,Vqn=1qWqn.

Поэточу предложенное дифференцильное уравнение переходит в следующее:
0=Φ(Wq,1qWq1,1qWqn,q1,q2,qn).

В это уравнение входит, правда, одною независимою переменною больше, именно входит q, но оно уже не содержит самой функции W, а только ее щроизводные по q,q1,q2,qn. Таким образом мы можем, не нарушая общности, ограничитьея случаем, когда дано дифференциальное уравнение
i(Vq1,Vq2,Vqn,q1,q2,qn)=0
n функция V саиа не входит в уравнение. Шоложив здесь для краткости
Vqi=pi

получии уравнение:
φ(p1,p2,pn,q1,q2,qn)=0.

Если мы теперь, следуя Лагранж, захотим для определения V применить тот же метод, которым мы нользовались дия случая n=2 в двадцать, второй леции, то мы должны величин p1,p2,pn определить в виде таких функций от q1,q2,qn, ттобы выражение
p1dq1+p2dq2++pndqn

было шолим дифференциалом. Но мы здесь наталкиваемея на своеобразную трудность. Именно, так как уравнение (1) уже представляет соотношение между величинами p и q, то нам нужны еще n1 других соотношений, чтобы мы могли все величины p1,p2,pn выразить через q1,q2,qn. Следовательно мы располагаем n1 функцией от переменных q1,q2,qn и должны их определить так, чтобы выражение (2) было полным дифферепциалом. цля удовлетворения этого требования необходимо вынолнение u(n1)2 условных уравнений вида
piqk=pkqi

или, при введении сокращенных обозначений
(i,k)=piqkpkqt,

вышолнение n(n1)2 уеловных уравнений
(i,k)=0

между тем как мы имеен в своек распоряжении тольк n1 функций. Дэя n=2 эти два числа правда равны друг другу, именно оба равны 1 , но во всех других саучалх первое число превосходит второе.

Это затруднение удерживало до сих пор аналитиков от распространеняя четода Лагранжа на большее число переменных. Нас оно не устрашит, напротив, зная а priori, что задача, несмотря на слипком больше число условий, всё же может быть решена, мы будем исследовать-ка это может произойти, что n1 функция удовлетворяет n(n1)2 условным уравнениям.

Отметим варанее одно обстоятельство, которое должно нам пригодиться при этом исследовании, так как благодаря ему n(n1)2 условных уравнений щриводятея в связь друг с другом. Именно, пуеть i,i,i обозначарт три любых вначка; тогда мы имеем тождество
(i,i)qi+(i,i)qi+(i,i)qi=0.

Хотя отеюда еще не следует, что, когда (i,i)=0 и (i,i)=0, то тақже исчезает и ( i,i), но ясно, что тогда это последнее выражение не завнсит от qi, так что если оно исчезает для какого-нибуль значения qi, то оно вообще равно нүлю.

Чтобы разобрать исчерпывающе поставленный вопрос, мы должны чачала преобразовать условные уравнения. В предыдущей форме этих уравнений piqk=pkqi величины p рассматриваются толю как функции величин q, т. е. предиолагаетея, что n соотношений между величунами p и q, из которых одно дано уравнением (1), в то время как остальные n1 в напеа распоряжении, репены относительно n величин p1,p2,pn.

Для исследования, о котором идет речь, эта форма слищко спределенная. Мы сделаеи другую гипотезу относительно гредетавления величин p1,p2,pn а а именно предноложим, что

Производные, взятне от pi по pi+1,pi+2,pn,q1qn, при этой гипотезе, будем писать без скобок, в то время кағ производные, взятые при прежней гипотезе, по которой все p функции только от q1,q2,qn, заключаем в скобк. Это изменение в способе представления требует, чтобы производные, входящие в n(n1)2 условных уравнений и заключенные тешерь в скобки, были заменены па другие, что́ и должно быть сейчас выполнено.

Рассматриваемые n(n1)2 условных уравнений могут быть расположены стедующи обрразом:
(p1qq)=(p2q1),(p1q3)=(p3q1),(p1qm+1)=(pm+1q1),(p1qn)=(pnq1),(p2q3)=(p3q2),(p2qm+1)=(pm+1q2),(p2qn)=(pnq2),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (pnqm+1)=(pm+1qm),(pmqn)=(pnqm),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (pn1qn)=(pnqn1)

Любое из этих уравнений, например (piqk)=(pkqi), после перенесения правого члена в левую сторону заменитея уравнением (i,k)=0, так что, нацример, уравнения m-го ряда
(pmqm+1)=(pm+1qm),(pmqm+2)=(pm+2qm),(pnqn)=(pnqm),

сокраценно предетавляютея так:
(m,m+1)=0,(m,m+2)=0,(m,n)=0.

Если теперь i есть один ив значков m+1,m+2,n, то мы имеем:
(pmqi)=pmpm+1(pn+1qi)+pmpm+2(pm+2qi)+++pmpn(pnqi)+pmqi

Заменим, выражения
(pm+1qi);(pm+2qi)(pnqi)

при помощи условных уравнений (3) проивводными по pi; тогда шолучим:
(pmqi)=pmpm+1(piqm+1)+pmpm+2(piqm+2)+++pmpn(piqn)+pmqi.

Поэтому условные уравнения m-го ряда, если иы их напипет в обратнох порядке, начиная с (m,n)=0, примут вид:
pmpm+(pnqm+1)+pmpm+2(pnqm+2)+++pmpn(pnqn)+pnqn=(pnqm),pmpm+1(pn1qm+1)+pmpm+2(pn1qm+2)+++pmpn(pn1qn)+pmqn1=(pn1qm),pmpm+1(piqm+1)+pmpm+2(piqm+2)+++pmpn(piqn)+pmqi=(piqm),pmpm+1(pm+1qm+1)+pmpm+2(pm+1qm+2)+++pmpn(pm+1qn)+pmqm+1=(pn+1qm)

Эту систему уравнений после перенесения членов, стоящих справа, в левую часть можно представить в сопраценных обозначениях в таком виде:
((m,n))=0,((m,n1))=0,((m,i))=0,((m,m+1))=0.

Уравнения (4) уже не тождественны больше с уравнениями, стоящим в m-м ряду системы (3), так как при их составлении мы воснольввались последующии рядами этой системы; между уравнениями обеих систем существует свявь, выражаемая соотношением
((m,i))=(m,i)pmpm+1(m+1,i)pmpi1(i1,i)++pmpi+1(i,i+1)++pmpn(i,n).

Но если преобравование, посредетвом которого мы получили из m-го горизонтального ряда системы (3) уравнения (4), применить ко всем ее горизонтальным рядам, то система, полученная после преобразования, будет равнозначаща с первоначальной системой (3). Чтобы в этом убедитьея. напишем преобазованную систему в обратном, т. е. в следующем порядке:
((n1,n))=0,((n2,n))=0,((n2,n1))=0,((n3,n))=0,((n3,n1))=0,((n3,n2))=0,

Тогда будем иметь:
((n1,n))=(n1,n)((n2,n))=(n2,n)pn2pn1(n1,n)((n3,n))=(n3,n)pn3pn2(n2,n)pn3pn1(n1,n),((n2,n1))=(n2,n1)+pn2pn(n1,n)((n3,n1))=(n3,n1)pn3pn2(n2,n1)+pn3pn(n1,n)s((n3,n2))=(n3,n2)+pn3pn1(n2,n1)+pn3pn(n2,n)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Отсюда видим, что из новых уравнений следуют также старые и, таким -бразом, обе системы равнозначащи.

Чтобы теперь в системе (4) совершенно избавиться от провзводных заключенных в скобки, образуем из нее новую систему:
((m,n))=0,((m,n1))pn1pn((m,n))=0,((m,i))pipi+1((m,i+1))pn((m,n))=0,pm+1pn((m,n))=0

Из этой новой системы, благодаря уравнениям
(pnqk)=pnqk(pn1qk)=pn1pn(pnqk)+pn1qk(piqk)=pipi+1(pi+1qk)++pipn(pnqk)+piqk. . . . . . . . . . . . . . 

проивводные, зақлюченные в скобки, соверпенно выпадают и мы получим
+pmqm+1pm+1pm+2pmqm+2pm+1pm+3pmqm+3pm+1pnpmqn=pm+1qm.

Эта система равнозначаща с системой (4), поэтому уравнения (4) могут быть выведены из уравнений (5) и обратно, как это само собой вытекает из самого способа образования уравнений (5).
Все уравнения системы (5) заключаютея в следующей общей схеме:
pmpm+1piqm+1+pmpm+2piqm+2++pmpnpiqn++pmqipipi+1pmqi+1pipi+2pmqi+2pipnpmqn=piqm

или
k=m+1k=npmpkpiqkk=i+1k=npipkpmqk+pkqipiqm=0

Это уравнение, исключая два последние члена, симметрично, тав как, хотя вторая сумма распространяется только на значения от i+1 до n, в то время как первая включает также еще значения от m+1 до i, но происходит это только потому, что по напей гипотезе в pi входят переченные pi+1,pi+2,pn и не входят переменные p1,p2,pi1, так что величины pipk только тогда отличны от нүла, когда k>i.

Но мы можем рассматривать задачу преобравовапия условных уравнений в еще более общем виде. Возъем каное-нибудь из них, например:
(i,i)=0 или (piqi)(piqi)=0,

пде pi и pq зависят только от величин q1,q2,qn. Іредноложим теперь что pi содержит, кроме величин q1,q2,qn, еще px,pλ,; также pi, кроме величин q1,q2,qn, ещө pχ,pλ, и т. д., и будем писать производные, взятые при этой гипотезе, без скобог; тогда получия:
(piqi)=piqi+pipx(pxqi)+pipλ(pλqi)+,(piqi)=piqi+pipx(pxqi)+pipλ(pλqi)+,

нии, если мы заменим производные
(pxqi),(pλqi),(pxqi),(pλqi),

через производные от pi, и от pi, которым они равны на основании условий (3), то будем иметь:
(piqi)=piqi+pipx(piqx)+pipλ(piqλ)+=piqi+xpipx(piqx),(piqi)=piqi+pipx(piqx)+pipλ(piqλ)+=piqi+xpipx(piqx),

где суммировапие по % распространяетья на значения x,λ,, а сумирование по x на вначения x,λ, После введения этих выражений условное уравнение (i,i)=0 перейдет в следующее:
piqipiqi+xpipx(piqx)xpipx(piqx)=0.

Можно дать общее доказательство того, что разность обеих сумм, содержащих производные, завлюченные в скобни, не меняет своего значения, если отбросить скобки. В самом деле, мы имеем:
(piqx)=piqx+xpipx(pxqx),(piqx)=piqx++xpipx(pxqx)

поэтоиу
xpipx(piqx)xpipx(piqx)=xpipxpiqxxpipxpiqx++xxpipxpipx(pxqx)xxpipxpipx(pxqx)

но так как обе цвойные суми вследствие условных уравнений (pxqx)= =(pxqx) взаимно уничтожаютея, то мы получим:
xpipx(piqx)xpipx(piqx)=xpipxpiqxxpipxpiqx,

п уравнение (6) превратится в уравнение:
piqipiqi+xpipxpiqxxpipxpiqx=0,

отличающееся от прежнего только отсутствием скобок.
Хотя мы вывели (7) из (i,i)=0, но всё-таки оба уравнения не равновначащи, так как при преобразовании мы воспользовалиеь еще следующими вз условных уравнений:
(pxqi)=(piqx),(pxqi)=(piqx),(pxqx)=(pxqx),

п притом для всех значений % и x.
Применим формулу (7) к случаю, когда величины p1 п p2 выражены как функции от p3,p4,pn,q1,q2,qn. Здесь надо положить i=1, i=2, а x, так же как и x, получают все значения от 3 до n. Поэтому мы ичеем:
0=p1q2p2q1+{p1p3p2q3+p1p4p2q4++p1pnp2qnp2p3p1q3p2p4p1q4p2pnp1qn}

В этом уравнении несимметричны только первые два члена, и это проиходит вследствие того предпочтения, которое мы оказали величинам p1 и p2, предполагая, что они явно выражены через остальные. Несимметричность псчезнет, если мы вместо этого предноложим, что имеются два уравнения, содержащие все величины p1,p2,pn и q1,q2,qn, и что их можно решить как относительно p1 и p2, так и относительно лобых двух других величин pi II pi. Пусть эти два уравнения будут
φ=a,ψ=b,

где φ и ψ — функции от p1,p2,pn,q1,q2,qn и a,b — постоянное. Тогда полная симметрия будет достигнута тем, что входящие в уравнение (8) частные производные от величин p1,p2 заменятея частными производными от ч и ψ Так как уравнение (8) имеет форму
0=p1q2p2q1+k=3k=n(p1pkp2qkp2pkp1qk),

то для намеченного преобразования необходимо выразить величины p1q2p2q1 и p1pkp2qkp2pkp1qk через частные проивводные от φ и ψ. Мы должны при этом рассматривать величины p1 и p2 благодаря уравнениям φ=a н ψ=b как функции всех остальных p5,p4,pn,q1,qn, а эти последние как независимые друг от друга величины. Дифференцируя уравнения φ=a п ψ=b по b1 и q2, мы найдем:
φp1p1q1+φp2p2q1+φq1=0;φp1p1q2+φp2p2q2+φq2=0ψp1p1q1+Ψp2p2q1+Ψq1=0;ψp1p1q2+Ψp2p2q2+ψq2=0

а отсюда, введя обозначение
N=φp1ψp2φp2ψp1,

получаем значения:
Np2q1=φp1Ψq1ψp1φq1,Np1q2=φp2ψq2ψp2φq2,N{p1q2p2q1}=φp1ψq1+φp2Ψq2ψp1φq1ψp2φq2.}

Гифференцируя уравнения φ=a и ψ=b по pk и qk, найдем:
φp1p1pk+φp2p2pk+φpk=0,φp1p1qk+φp2p2qk+φqk=0,ψp1p1pk+ψp2p2pk+Ψpk=0,ψp1p1qk+ψp2p2qk+Ψqk=0.}

Отсюда, решая стоящие друг под другом линейные уравнения и сохраняя прежнее значение N, получим для производных от p1 и p2, взятых по pk п qk, следующие значения:
Np1pk=φp2ψpkΨp2φpk;Np1qk=φp2ψqkΨp2φqkNp2pk=φp1Ψpkψp1φpk;Np2qk=φp1ψqkψp1φqk.

Если мы тешерь образуем выражение p1pkp2qkp2pkp1qk, то получим уравнение, левая часть которого делится на квадрат N, в то время как правая часть содержит N один раз каю множитель. Отбросив в обеих частях общий делитель N, получим формулу
N{p1pkp2qkp2pkp1qk}=φpkψqkψpkφqk,

при выводе которой можно также избежать сокращения общего делителя N, ддя чего, например, решаем относительно φp1 и φp2 оба уравнения, стоящие в первом горизонтальном ряду спотемы (10), и в выражении, полученном для φp1, подставляем на иесто p2pk и p2qk выпеполученные для
них значения. Іри посредетве формул (9) п (11) уравнение (8*) превратится в тавое:
0=φp1ψq1+φp2ψq2φp1φq1ψp2φq2+k=3k=n{φpkψqkψpkφqk}.

Шоэтому мы имеем, еслп соединим все члены, такую распрострапепную от 1 до n сумм:
0=k=1k=n{φpkψqkψpkφqk}

п таким образом получаем теорему:
Если φ=a п ψ=b обозначают ва любых из n уравнений, определяющих p1,p2,pn каћ фунгиии от q1,q2,qn, паким образом, что
p1dq1+p2dq2++pndqn

сть полный дифференұиал, по они должны удовлеторямь условия:
0={φp1φq1+φp2φq2++φpnψqn,ψp1φq1ψp2φq2ψpnφqn,}

и иритон это равежство есть тождество, так как в него не входат преизвольные постоянные а и b.

Уравиение (12) содержит результат, данный в (7) как частпый случаи. Действительно, шредположим, что функции φ и имеют форму
φ=pif(px,pi,q1,q2,qn),=piF(px,pi,q1,q2,qn);

тогда уравнение (12) перейдет в уравнение (7).

1
Оглавление
email@scask.ru