Особого рассмотрения требует уже выпеотмеченный случай, когда $t$ не входит в $े$ В этом случае уравнение в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$ может быть сведено қ другому уравнению, содержащему одной переменной меньпе. Это основывается на одном замечательном греобравовании уравнений в частных цроизводных, при котором одна из независимых переменных и частная производная, взятая по этой переменной, меняютея ролями.

Пусть $z$ рассматриваетея как функция $n$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ : если обозначить через $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ частные производные от $\approx$, взятые но $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ то
\[
d z=p_{1} d x_{1}+p_{2} d x_{2}+\ldots+p_{n} d x_{n} .
\]

Іосле того как мы перенесем в левую часть член $p_{1} d x_{1}$ и, кроме того, ив обеих частей вычтем $x_{1} d p_{1}$, уравнение (1) превратится в такое:
\[
d\left(z-p_{1} x_{1}\right)=-x_{1} d p_{1}+p_{2} d x_{2}+\ldots+p_{n} d x_{n} ;
\]

если мы теперь положим
\[
z-p_{1} x_{1}=y
\]

т1) ово превратитея в
\[
d y=-x_{1} d p_{1}+p_{2} d x_{2}+\ldots+p_{n} d x_{n} .
\]

Поэтому мы получаем, еели $y=z-p_{1} x_{1}$ рассматривать как функцию от $p_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$,
\[
\frac{\partial y}{\partial p_{1}}=-x_{1}, \quad \frac{\partial y}{\partial x_{2}}=p_{2}, \quad \frac{\partial y}{\partial x_{3}}=p_{3}, \ldots \frac{\partial y}{\partial x_{n}}=p_{n} .
\]

Если теперь z удовлетворяет уравнению в чаетных производных первого порядка
\[
0=F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}\right)=F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}, \frac{\partial z}{\partial x_{1}}, \frac{\partial z}{\partial x_{2}}, \ldots \frac{\partial z}{\partial x_{n}}\right)
\]

и если ввести вместо $z$ новую переменную $y=z-p_{1} x_{1}$, а вместо $x_{1}$ – новую переменную – $\frac{\partial y}{\partial p_{1}}$, то уравнение в частных производных (3) превратитея в эледующее:
\[
0=F\left(-\frac{\partial y}{\partial p_{1}}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}, p_{1}, \frac{\partial y}{\partial x_{2}}, \frac{\partial y}{\partial x_{3}}, \ldots \frac{\partial y}{\partial x_{n}}\right) .
\]

Это преобразование, находящееся в третьем томе интегрального исчисления Эйлера, имеет особую важность тогда, когда $x_{1}$ не входит в (3), так как тогда одновременно $\frac{\partial y}{\partial p_{1}}$ не входит в (4) и поэтому $p_{1}$ при интегрированин может рассматривтьея как постоянная. Iрименим это к уравнению
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\psi\left(q_{1}, q_{2} \ldots q_{\mu}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}\right)=0 .
\]

Так вак в $\psi$ не входит $t$, то в выше данных формулах на место $x_{1}$ ставим $t$. Tеперь вместо $t$ надо ввести новую независпмую переменную
\[
\alpha=\frac{\partial V}{\partial t},
\]

вместо $V$ – повую зависимую переменную
\[
W=V-t \frac{\partial V}{\partial t}=V-t \alpha ;
\]

тогда будем иметь:
\[
t=-\frac{\partial W}{\partial \alpha}
\]

II
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=\frac{\partial W}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=\frac{\partial W}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}=\frac{\partial W}{\partial q_{\mu}} .
\]

Мы можем вывести формулы для этого преобразования и не прибегая ж помощи дифференциального уравнения
\[
d V=p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{\mu} d q_{\mu}+\frac{\partial V}{\partial t} d t .
\]

В самом деле, $V$ есть фунњця от $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$ и от произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots$ Положим теперь
\[
W=V-t \frac{\partial V}{\partial t}
\]

и введем в $W$ вместо $t$ новую переменную $\alpha$ посредством равевства
\[
\frac{\partial V}{\partial t}=\alpha
\]

тогда $t$ будет функцией от $\alpha$ и от црочих велічин, входацих в $V$, кроме $t$, a.
\[
W=V-t \alpha
\]

будет функцией от $\alpha, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$ п от постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$ Іоэтому, припимая во внимание различеый схысл дифференцирования для фущкций $V$ ง. нолучаем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial W}{\partial \alpha}=\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial \alpha}-\alpha \frac{\partial t}{\partial \alpha}-t=-t \\
\frac{\partial W}{\partial q_{i}}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}+\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial q_{i}}-\alpha \frac{\partial t}{\partial q_{i}}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}} \\
\frac{\partial W}{\partial \alpha_{i}}=\frac{\partial V}{\partial \alpha_{i}}+\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial \alpha_{i}}-\alpha \frac{\partial t}{\partial \alpha_{i}}=\frac{\partial V}{\partial \alpha_{i}} .
\end{array}
\]

Таким обравом, если, согласно нанему предположению, в фуницию Џ травнения (5) не входит явно времи $t$, то вводим вместо $t$ п $l$ повые переценные $\alpha$ и іI посредством уравнениі
\[
\frac{\partial \mathrm{V}^{r}}{\partial t}=\alpha, \quad V-t \frac{\partial V^{r}}{\partial t}=H^{r}
\]

и преоразивнае таким путем (5) в уравнение

Ноеле интегрирования :того уравнения находия $V$ пз уравнения
\[
V-t \frac{\partial V}{\partial t}=W
\]

ноторе, после того кан в пего подставлено
\[
\frac{\partial V}{\partial t}=\alpha, \quad t=-\frac{\partial \amalg}{\partial \alpha}
\]

превранаете в уравнение
\[
r=W-\alpha \frac{\partial I^{-}}{\partial x} .
\]

В $l$, кроме того, снова, должно оыть введено $t$ вместо $\alpha$ п притом посредsтвом уравнения
\[
\frac{\partial W}{\partial \alpha}=-t,
\]

љоторое должно быть решено относительно $\alpha$.
На первый взгляд кажется, что :тим путем пз полного решения $W$ уравнения (6) еще пельзя получить полного репения $V$ уравнения (5). Действительно, так как в $W$ число постоянных есть $\mu$, то в выведенном репении $V$ должно заключаться тоже $\mu$ постоянных. Но, если $V$ есть полное решение, то оно должно содержать $џ+1$ постоянную. Однако эту недостающую постоянную легко ввести. В самом деле, так как в уравнение (5) не входит само $t$, i) тольк $\frac{\partial V}{\partial t}$, то ренение $V$ уравнения (5) не перестает быть таковым, если $t$ увеличивается или уменьшается на произвольную постоянную, т. е. если на место $t$ ставитея $t$ – Т. Тогда формула преобразования $W=V-t \frac{\partial V}{\partial t}$, связывающая $V$ и ${ }^{r}$, превращается в следующую:
\[
W^{*}=V-(t-\tau) \frac{\partial V}{\partial t}=V-\alpha(t-\tau),
\]

и $t$ вводитея уже не при посредстве уравнения $\frac{\partial W}{\partial \alpha}=-t$, но при посредстве уравнения
\[
\frac{\partial W}{\partial \alpha}=\tau-t .
\]

Тогда $V$ содержнх достаточное число $\mu+1$ постоянных, именно $\mu-1$ постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{y-1}$, входящих в $W$ номимо аддитивной постоянной, саму адлитивнґю постоянную и связанную с $t$ пстоянную г. Поэтому интегральные уравнения изопериметрических дифференџальных уравнений буңдтт следүющие:
\[
\frac{\partial V}{\partial \alpha_{1}}=\beta_{1}, \frac{\partial V}{\partial \alpha_{2}}=\beta_{2}, \ldots \frac{\partial V}{\partial \alpha_{\mu-1}}=\beta_{\mu-1} \quad \text { п } \frac{\partial V}{c \alpha}=\text { const. }
\]

Так как $\tau$ входит тодько в соединенип $t-\tau$, то
\[
\frac{\partial V}{\partial \tau}=-\frac{\partial V}{\partial t}
\]

поэтому последнее из $\mu$ интегральнх уравнений может быть заменено слепующим:
\[
\frac{\partial V}{\partial t}=\text { const. }
\]

Отсюда следует, что уравнение $\frac{\partial V}{\partial t}=\alpha$, носредством которого мы вместо / вводили $\alpha$, есть интеграл п что $\alpha$ должна о́ыть рассматриваема как постоянная. Как мы видим, оба уравнения $\frac{\partial V}{\partial t}=\alpha$ и $\frac{\partial W}{\partial \alpha}=\tau-t$ равнозначны и, кроме того, частные производные $\frac{\partial V}{\partial \alpha_{i}}$ и $\frac{\partial W}{\partial \alpha_{i}}$, где $i$ обовначает одно из чисел от 1 до $\mu-1$, равны друг другу; таким образом можно, не прибегая к помоци $V$, выразить интегральные уравнения также непосредственно через $W$ и получить их в виде:
\[
\frac{\partial W}{\partial \alpha_{1}}=\beta_{1}, \quad \frac{\partial W}{\partial \alpha_{2}}=\beta_{2}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial \alpha_{\mu-1}}=\beta_{\mu-1}, \quad \frac{\partial W}{\partial \alpha}=\tau-1 .
\]

Также можем систему первых интегражьных уравнений
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=p_{1}, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots, \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}=p_{\mu}
\]

выразить через $W$, и так как $\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=\frac{\partial W}{\partial q_{i}}$, получить ее в форме:
\[
\frac{\partial W}{\partial q_{1}}=p_{1}, \quad \frac{\partial W}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial q_{\mu}}=p_{\mu} .
\]

В случае задачи механики $\psi=T-U$; поәтому мы ихеем теоремұ:
Пусть силовая функция $U$ не содержит явно времени $t$, так »то имеет место теорема живой силы. Выразим половину живой силы $T$ через всличины $q_{i}$ и $p_{i}=\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}$ иоложия после этого в уравнении живой силы
\[
0=\alpha+\psi=\alpha+T-U
\]

на место $p_{i}$ выражение $\frac{\partial W}{\partial q_{i}}$, так что это уравнение переінет в уравнение в частных производных для $W$. Если мы знаем полное решение этого последнего уравнения, содержащее кроме постоянной, соединенной с $\mathrm{W}$ аддитивно, $\mu-1$ постоянную $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu-1}$, по выражения
\[
\frac{\partial W}{\partial \alpha_{1}}=\beta_{1}, \frac{\partial W}{\partial \alpha_{2}}=\beta_{2}, \ldots \frac{\partial W}{i \alpha_{\mu-1}}=\beta_{\mu-1}, \quad \frac{\partial W}{\partial \alpha}=\tau-t
\]

являются интегральным уравнениями дифференциальны уравнений движения, $\approx$ копорым можно еще присосдинить уравнения
\[
\frac{\partial W}{\partial q_{1}}=p_{1}, \quad \frac{\partial W}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots, \quad \frac{\partial W}{\partial q_{\mu-1}}=p_{\mu-1}, \quad \frac{\partial W}{\partial q_{\mu}}=p_{\mu},
\]

кал систему первых интегральных уравнений.
2. постоянных, содержащихся в интегральных уравнениях, будут:
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu-1}, \alpha ; \\
\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{\mu-1}, \tau .
\end{array}
\]

В сәчта совершенно свободной системы $u=3 n$; в то же вреия на место величин $p_{l}$ входят величины
\[
m_{i} x_{i}^{\prime}, \quad m_{i} y_{i}{ }^{\prime}, \quad m_{i} z^{\prime}{ }^{\prime} ;
\]

тогія
\[
T=\frac{1}{2} \sum \frac{1}{m_{i}}\left\{\left(m_{i} x_{i}^{\prime}\right)^{2}+\left(m_{i} y_{i}^{\prime}\right)^{2}+\left(m_{i} z_{i}^{\prime}\right)^{2}\right\},
\]

и уравневие в частных ироизводных привимает форму:
\[
\frac{1}{2} \sum \frac{1}{m_{i}}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial y_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial z_{i}}\right)^{2}\right\}=U-\alpha .
\]