hогда в динамике применяют теорию вариации постоянных и к характеристической функции $H$ присоединяетея возмущающая функция $Q$, которая. кроме переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, может также содержать явно время $t$, то систсма дифференциальных уравнений движения изменяетея и эти лифференцильные уравнения превращаютея в следующие:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}+\frac{\partial Q}{\partial p_{i}}, \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}-\frac{\partial Q}{\partial q_{i}} .
\]

Есци 9 очень мала сравнитеньно с $H$, то можно значения $p_{1}$ и $q_{1}$ в „невозаущенной“ задаче (для $\mathrm{Q}=0$ ) принять за их приближенные значения в „возмуценной“ задаче и новые значения $p_{i}$ и $q_{i}$ представить так, что они сохранят прежнюю аналитическую форму, но на место прежних произвольных постоянных (или элементов, говоря на языке астрономов) теперь войдут фунццип времени. Вместо того чтобы рассматривать величины $p_{i}$ и $q_{i}$ как искомые переменные, кағ ато делается в „невозмџщенной“ задаче, мы ищем в \”возмущенної \” те функции, которые становятея на место прежних произвольных ностолнных или әлементов, т. е. возмущенные элементы становятся переменными новой задачи. Это дает ту выгоду, что ды шолучаем как цервое приближение не функции времени, содержащие постоянные величины, а сами постоянные – лементы \”невозмущенной“ задачи.

Дело сводитея тешерь $і$ тому, чтобы составить дифференцпальные уравнения возмущенных элементов. Вспомним прежде всего гамилтонову форму интегралов \”невозмуценной“ задачи, т. е. рассмотренную в проплой лекции систему:
\[
\left.\begin{array}{l}
H=h, \quad H_{1}=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1} \\
H^{\prime}=h^{\prime}+t, H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

и обозначим какой-вибудь независящий от $t$ интеграл „невозмущенної\” затхачи через
\[
\because=a,
\]

гес ‘? есть функия оп переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, \ldots p_{n}$, на готорую произвольные шостоянные не оказали возмущающего действия, и а есть произвольная постоянная, так что 9 может быть представлена как функция $2 n-1$ переменных $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ и $a$-как та же самая функция от $2 n-1$ постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$. В ${ }_{n}^{\text {возму- }}$ щенной\” задаче а уже не явиятся бопые постоянной, поэтому $\frac{d a}{d t}$ не будет
больше нулеи, и при помоци дифференциальвог уравнения (1) для $\frac{d a}{d t}$ иолучитея выражение
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a}{d t}=\sum_{i=1}^{i=n}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{d p_{i}}{d t}\right)=\sum_{i=1}^{i=n}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+ \\
+\sum_{i=1}^{i=n}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \frac{\partial Q}{\partial p_{i}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{\partial Q}{\partial q_{i}}\right)
\end{array}
\]

или, что то же,
\[
\frac{d a}{d t}=(H, \varphi)+(\Omega, \varphi) .
\]

Так как $\varphi==a$ ест независящий от $t$ интеграл \”невозмущенвой “ задачи, то ? удовлетворяет линейному уравнению в чаетных производных $(H, \varphi)=0$ и выражение $\frac{d a}{d t}$ приведетея к такому:
\[
\frac{d a}{d t}=(\mathcal{Q}, \varphi) .
\]

Іравая часть этого равенства содержит кроме $t$, явно входящего в $Q$, еще $2 n$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2} \ldots p_{n}$, вхесто которых мы однако введем как новые переменные $2 n$ фунқций от них $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$. Введение в $Q$ ноных переменных дает дия $(Q, \varphi)$ преобразовапие:
\[
(\varphi, \varphi)=\sum_{k=0}^{k=1} \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial H_{k}}\left(H_{k}, \varphi\right)+\sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{\partial Q}{\partial H_{k}^{\prime}}\left(H_{k}{ }^{\prime}, \varphi\right) \text {. }
\]

Кса мы введем новые переменные также и в ч и пимем во внимание, это $\varphi$ не зависит от одной из них, именно от $H^{\prime}$, и такии образои $\frac{\partial \varphi}{\partial H^{\prime}}$ обращаетея в нуль, то мы пояучим для ныражений $\left(H_{k}, \varphi\right),\left(H_{k}{ }^{\prime}, \fallingdotseq\right)$ елепующие преобразования:
\[
\begin{array}{c}
\left(H_{h}, \varphi\right)=\sum_{s=0}^{s \cdot n-1} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}}\left(H_{k}, H_{s}\right)+\sum_{s=1}^{s=1} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{s}^{\prime}}\left(H_{k}, H_{s}^{\prime}\right), \\
\left(H_{k}^{\prime}, \vartheta\right)=\sum_{s=0}^{n-1} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{s}}\left(H_{k}^{\prime}, H_{s}\right)+\sum_{s=1}^{n-1} \frac{\partial^{\varphi}}{\partial H_{s}^{\prime}}\left(H_{k}^{\prime}, H_{s^{\prime}}\right) .
\end{array}
\]

Но по теореме, қоказанной в прошлой лекции, все выражения ( $H_{h}, H_{s}$ ). $\left(H_{k}, H_{s}^{\prime}\right),\left(H_{k}{ }^{\prime}, H_{s}\right),\left(H_{k}{ }^{\prime}, H_{s}{ }^{\prime}\right)$ обращаютея в пуи, за исключением тех $\left(H_{k}, H_{s}^{\prime}\right),\left(H_{k}^{\prime}, H_{s}\right)$, в которых $k$ и $s$ имеют одинаковые значения и ия тих выражений первые равны положительной единице, вторые отрицательной. Іоэтому выражения ( $\left.H_{k}, \varphi\right),\left(H_{k}^{\prime}, \varphi\right)$ приобретают следующий простой вид:
\[
\begin{array}{c}
\left(H_{k}, \varphi\right)=\frac{\partial \varphi}{\partial H_{l}^{\prime}} \\
\left(H_{l_{i}^{\prime}}^{\prime}, \varphi\right)=-\frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}} .
\end{array}
\]

Веледетвие этого равенство (4) переходит в такое:
\[
(Q, \rho)=\sum_{k=1}^{k=n-1} \frac{\partial Q}{\partial H_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}^{\prime}}-\sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{\partial Q}{\partial H_{k}}, \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}}
\]

и уравнение ( $\left.3^{*}\right)$, дает для $\frac{d a}{d t}$ окончательно слелующее значение:
\[
\frac{d a}{d t}=\sum_{k=1}^{k=1} \frac{\partial \Omega}{\partial H_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}^{\prime}}-\sum_{k=0}^{k=n} \frac{\partial Q}{\partial H_{k}^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}} .
\]
и – $\frac{\partial p}{\partial H_{k}}$, т. е. на выражения, не содержацие явно $t$, так как $t$ не входит в ч. В этом и состоит знаменитал теорема Iуассона.

Еели мы придадим форнуле (5) специальный вид, подетавдяя вместо \” величины $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ и одновременно вместо $a$-соответственно величины $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}, h_{1}^{\prime} \ldots h_{n \rightarrow 1}^{\prime}$, то получим при $k=0,1, \ldots n-1$ формуны:
\[
\frac{d h_{k}}{d t}=-\frac{\partial Q}{\partial H_{k^{\prime}}},
\]

и пан $l_{i}=1,2, \ldots n-1$
\[
\frac{d h_{k}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial Q}{\partial H_{k}} .
\]
задачи, через которыӥ вводится время, т. е. интеграл
\[
H^{\prime}=h^{\prime}-+t .
\]
ние (3) преврацаетея в спедующее:
\[
\frac{d h^{\prime}}{d t}+1=\left(H, H^{\prime}\right)+\left(Q, H^{\prime}\right),
\]

я так как имеет место равенетво $\left(H, H^{\prime}\right)=1$, то мы получаем:
\[
\frac{d h^{\prime}}{d i}=\left(\Omega, H^{\prime}\right) .
\]
†то уравнение в точности вида (3*), тольно на место $а$ и $\varphi$ входят $h^{\prime}$ и $H^{\prime}$. Если в равенство (4) подставит также $H^{\prime}$ на место , то выражение $\left(9, H^{\prime}\right)$ становится равным частноӥ производной $\frac{\partial Q}{\partial H}$ и мы поэтому оконтательно поиччаеи:
\[
\frac{d h^{\prime}}{d t}=\frac{d S}{\partial H},
\]
т. е. равенство ( 7 ) имеет место также для $k=0$.

Равенства (2), которые для \”невозиущенної\” задачп ивображают систему ее интегражов, дая „возмущенной“ являютея толью уравнениями. опреде.іющими новые переменнье $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}, h^{\prime}, h_{1}^{\prime} \ldots h_{n-1}^{\prime}$ и служат дли того, чтобы выражать старые иеремениые $q_{1}, q_{2} \ldots q_{n}, p_{1}, \ldots p_{n}$ или их функции $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ через човые перезенные. Ксли вить в ней $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ черев $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}, h^{\prime}+t$, $h_{1}{ }^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$, так что $Q$ будет фуницией от $2 n+1$ переменных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$, $h^{\prime}, h_{1}{ }^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$ х $t$, то проивводные $\frac{\partial Q}{\partial H_{k}}, \frac{\partial Q}{\partial H_{k}^{\prime}}$ переходят в $\frac{\partial Q}{\partial h_{k}}, \frac{\partial Q}{\partial h_{k}^{\prime}}$, и мы подучаем для переменных, которые входят в „возмущенную“ задачу, на иесто шостоянных \”невозмущенной\”, схедұющие дифференцильные урамнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d h}{d t}=-\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial h^{\prime}}, \frac{d h_{1}}{d t}=\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial h_{1}^{\prime}}, \ldots \frac{d h_{n-1}}{d t}=-\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial h_{n \cdots 1}^{\prime}}, \\
\frac{d h^{\prime}}{d t}=\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial h}, \frac{d h_{1}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial \underline{L}}{\partial h_{\mathrm{t}}}, \ldots \frac{d h^{\prime}{ }_{n-1}}{d t}=\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial h_{n \cdots 1}} .
\end{array}\right\}
\]

ута система инеет ту же саную форму, что и дифференциальные уравнения движения \”невозмущенной\” задачи, только на место переменных $q_{1}$, $q_{2} ; \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и нх функции $H$ входят переменные $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$. $h^{\prime}$; $h_{1}^{\prime} \ldots h_{n-1}^{\prime}$ и функция – $Q$, из которых постедняя содержит еще кроме того явно время $t$. Поэтому интегрирование этой системы, согласно прежнит общим рассмотрениям, 1 равнозначно с определением полного ретения уравнения в частных производных
\[
\frac{\partial S}{\partial t}-\underline{0}=0,
\]

которое, носле того как переменные $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$ будут заменепы иро-

установленные здесь дифференциальные уравнения „возмущений \” яадачи согласуютея с дифференциальним уравнениями, дапными Јагранжеи и Лапласом, в топ, что возмущевные элементы являютея искомыми переменными и что правые части дифференциальных уравпений выражаютея через производные от возмущающей функции ио возмущепным эдементам. Но здесь вообще входят в каждое дифференциалное уравнение все шроизводнюе возмущающей функции, и коффициентами при них являютея выражения вида ( $\psi, \psi$ ); образование которых очень затруднительно. Boлее подробное изложение этого можно найти в аналитической эеханике Лагранжа, в которой с огромным искусетвом сокрацена растянутость необходимых вычислений, а также в астропомичесном ежегоднике ђнке за 1837 год. В пролнть 15 выражений вида (?, ф). задачи вак раз в форме, которую дает метод Тамильона, мы смогли так ушростить дифференциальные уравнения, что в каждое из них входит тодько гдна производная от возмущающей фупкции и что коэффициент при этой производной приводитея к положительной или отрицательной едивице. Этот выбор элементов имеет огромню важность; поэтому при определении движения планет ио методу Гамильтона мы подробно выясни:и геометрическое значение введенных там произвольных постоянных.

Вместо того чтобы вводить переченные $h_{k}$ и $h_{k}{ }^{\prime}$ внесто первоначальных переменных $p_{i}$ и $q_{i}$ в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и, такия образом, окольни путем приходить, г уравнению в частных
1 См. двадцатую лекцию, стр. 137.

производных $\frac{\partial S}{\partial t}-Q=0$, мы поставим себе в почледүющем задачу осуществить введение новых переменных непосредственно в уравнение в частых ироизводных
\[
\frac{\partial V}{\partial d}-H+Q=0,
\]

которое относитея к задаче вовущения, выраженной в ее первоначальны нереженных.
Предиодагая, чхо дыя уравнения в частных производных
\[
\frac{\partial V_{0}}{\partial t}+H=0,
\]

принадлжащего \”невозмущенной“ задаче, известно полное решение $V_{0}$, требующееся для определения новых переменных $h_{k}$ и $h_{k}{ }^{\prime}$, мы перейдем от уравнения в частных проияводных (9) непосредетвенно к уравнению в чаетных производных
\[
\frac{\partial S}{\partial t}-Q=0 .
\]

Уравнение в частных производных (9), в котором величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ заменены частными троизводными $\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}$, равновначно с уравнениен в полных цифференциалах
\[
d V=-(H+Q) d t+p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots-p_{n} d q_{n},
\]

гие в $H$ и снова на несте $\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}$ етоят $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$.
Вводи, как новые перененные, функии, которые в „невозмуценной“ задаче обращаются в произвольные постоянные, мы должны осуществить подетановку той же природы, как рассмотренная в дадцать первой лекци, но более общую, тем та. В рассматриваемом случае, так же, как и там, не тодко надо ввести вмеото независимых переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, $t$ и вместо искомой их фунқции $V$ новые перененине, но новые переменные доджны проме того зависеть от $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, т. е. от взятых по $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ производных функций $V$. Преобразование, о котором идет речь, гроизводитея слегүющцим образом:

Дия \”невозмущенноі\” задачи мы имеем уравнение в частнх ироизводных
\[
\frac{\partial V_{0}}{\partial t}+H=0
\]

которое в ,цвацать первой лекции 1 подстановкой
\[
V_{0}=W . h t
\]

мы привели і уравнению
\[
H=h \text {. }
\]

Нолое решение $W$ этого уравнения в частных проивводных есть функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, содержапая кроме $h$ еще $n-1$ произвоињны постоянных
1 Cтp. 144.

$h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n-1}$. Если мы его напли, то система интегральных уравнений \”невозмущенной\” задачи будет иметь внд:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial W}{\partial q_{1}}=p_{1}, & \frac{\partial W}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots \frac{\partial W}{\partial q_{n}}=p_{n} \\
\frac{\partial W}{\partial h}=t+h^{\prime}, & \frac{\partial W}{\partial h_{1}}=h_{1}^{\prime}, \ldots \frac{\partial W}{\partial h_{n-1}}=h_{n-1}^{\prime}
\end{array}
\]
\”Так как в \”невознущенной\” задаче $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ являютен постоянныик, то $W$ удовлетворяет уравнению в полных дифференциалах
\[
d W=p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n} .
\]

В задаче возмуцения напротив на место ироизвольных постоянных входят функци времени; $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ делаются переменними, и к полному дифференцилу $W$ присоединяетея сумма
\[
\begin{array}{c}
\partial W d h+\frac{\partial W}{\partial h} d h_{1}+\ldots+\frac{\partial W}{\partial h_{n-1}} d h_{n-1}=\left(l+h^{\prime}\right) d h+ \\
+h_{1}^{\prime} d h_{1}+h_{2}^{\prime} d h_{2}+\ldots+h_{n-1}^{\prime} d h_{n-1} .
\end{array}
\]

Таким образом в задаче возмуцения имеем
\[
\begin{array}{c}
d W=p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}+\left(t+h^{\prime}\right) d h+ \\
-h_{1}^{\prime} d h_{1}+h_{2}^{\prime} d h_{2}+\ldots+h_{n-1}^{\prime} d h_{n-1} .
\end{array}
\]

Это уравнение удовлетворяете тождествнно интегральыи уравнениями, если рассматривать прежние постоянные как переменные, т. е. если это будут интегральние уравнения задачи возмущения, а не \”не возмущенной“ задачи. Итак, в этом елучае рассматриваемое уравнение будет тождеством, Поэтому уравнение в полных дифференциалах (12) для $d V$ не изменится, если мы из него вычтем равенство (13) для $d W$. Если мы возъмем разность с обратным знаком, то получим:
\[
\begin{array}{c}
d(W-V)=(H+Q) d t+\left(t+h^{\prime}\right) d h+h_{1}^{\prime} d h_{1}+ \\
+h_{2}^{\prime} d h_{2}+\ldots+h_{n-1}^{\prime} d h_{n-1} .
\end{array}
\]

Но при посредетве ингегральнх уравнений задачи возмущения будет также тождественио $H=h$, следовательно члены $H d t+t d h$, стоящие в правой части, соединятея в один члеп $d(h t)$. Перенеся эту величину в левую част, мы получим
\[
d(W-h t-V)=Q d t+h^{\prime} d h+h_{1}^{\prime} d h_{1}+\ldots h_{n-1}^{\prime} d h_{n \ldots 1},
\]

и если мы положим
\[
W-h t-V=V_{0}-V=s,
\]

To
\[
d s=0 d t+h^{\prime} d h+h_{1}^{\prime} d h_{1}+\ldots+h^{\prime}{ }_{n-1} d h_{n-1},
\]

и это уравнение в полных дифференцилах равновначно е выненолученным уравнением в тастных ироизводных
\[
\frac{\partial S}{\partial t}-Q=0
\]

в котором величины $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$ доджны быт заменены ироизводным $\frac{\partial S}{\partial h}, \frac{\partial S}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{\partial S}{\partial h_{n \cdots 1}}$. Наконең уравнение в частих пропвводных (11) өсть то, в поторому приводится система обыкновенных дифференциальных уравнений (8). Итак, мы пришли кратчайпим путем к той же системе дифференциальных уравнений
\[
\begin{aligned}
\frac{d h}{d t} & =-\frac{\partial Q}{\partial h^{\prime}}, \quad \frac{d h_{1}}{d t}=-\frac{\partial Q}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{d h_{n-1}}{d t}=-\frac{\partial Q}{\partial h_{n-1}^{\prime}}, \\
d h^{\prime} & =\frac{\partial \Omega}{\partial h}, \frac{d h_{1}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial Q}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{d h_{n-1}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial Q}{\partial h_{n-1}},
\end{aligned}
\]

ко’торую мы раныше нашли другим способом.
Эта система дифференциальных уравнений обладает тем преимущеэтвом, что первую поправку элементов мы находим простыми ввадратурами. Она получится, если рассматривать в $\Omega$ элементы вак постоянные н придавать им те значения, которые они имели в „невозиущенной“ задаче. Тогда $Q$ будет функцией тольк от времени $t$ и исправленные элементы шолучатся простыми квадратурами. Определение высших поправок является трудной задачей, которой мы здесь не можем касаться.

Существует еще другая замечательная система формул, которая получается также при введении в качестве жементов постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$, $h^{\prime}, h_{1}{ }^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}{ }_{n-1}$ Дз двух главных форм, в которых можно цредставить интегральные уравнения, мы рассматривали до сих пор ту формч
\[
\begin{array}{c}
H=h, H_{1}=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}, \\
H^{\prime}=h^{\prime}+t, H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime},
\end{array}
\]

в которой уравнения репены относительно цроиввольных постоянных $h_{k}$ и $h_{k t}{ }^{\prime}$, а величины $H_{k}$ и $H_{k}{ }^{\prime}$ являются функциями только переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$. Вторая главная форма та, в которой $2 n$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ представляютея как фунқции от $t$ и от постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$. $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n \ldots 1}^{\prime}$. Смотря по тому, выбираем ли мы ту или другую форму, мы имеем в теории возмущения дело либо с частными производными величин $H_{k}$ и $H_{k}^{\prime}$ по переменным $q_{i}$ и $p_{t}$, либо с производными переменных $q_{i}$ и $p_{t}$ по произвольным постоянным $h_{k}$ и $h_{k}{ }^{\prime}$, т. е. мы должны либо, как это делал Іуассон, брать шроизводные по переменным от функций, которым равны элементы, либо, как это делал Лагранж, брать производные от переменных по элементам. В каждом случае приходится соэтавлять систему $4 n^{2}$ производшых. Постоянные $h_{k}$ и $h_{k}^{\prime}$, которые мы получаем благодаря предетавлению интегральных уравнений в форме Гамильто, кроме уже указанных замечательных свойств, имеют теперь еще то свойство, что обе системы производных будут либо равны, либо противоположны по знаку.
В самом дете, по терреме, доказанной в прошой лекции, мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(H_{i}, H\right)=0, \quad\left(H_{i}, H_{1}\right)=0 \ldots\left(H_{i}, H_{i-1}\right)=0 \\
\left(H_{i}, H_{i}\right)=0,\left(H_{i}, H_{i+1}\right)=0 \ldots\left(H_{i}, H_{n-1}\right)=0, \\
\left(H_{i}, H^{\prime}\right)=0, \quad\left(H_{i}, H_{1}^{\prime}\right)=0 \ldots\left(H_{i}, H_{i-1}^{\prime}\right)=0 \\
\left(H_{i}, H_{i}^{\prime}\right)=1, \quad\left(H_{i}, H_{i+1}^{\prime}\right)=0 \ldots\left(H_{i}, H_{n-1}^{\prime}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

В этих $2 n$ уравнениях содержатся линейно $2 n$ частных пронзводных or $H_{i}$ :
\[
\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}, \quad \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{2}}, \cdots \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}}, \quad \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}}, \quad \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}},
\]

воторые мы рассматриваем как неизвестные для этой системы. Коэффициентами этих $2 n$ ненввестных в уравнениях (14) являютея $2 n$ величин
\[
-\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \quad-\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots-\frac{\partial H}{\partial p_{n}}, \quad \frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \frac{\partial H}{\partial g_{2}}, \ldots \frac{\partial H}{\partial q_{n}}
\]

и соответствующие величины, получаемые при дифференцировании функций $H_{1}$, $H_{2}, \ldots H_{n-1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{i-1}^{\prime}, H_{i}^{\prime}, H_{i+1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$. В правой части уравнений (14) везде стоит нуль, с единственным исключением того уравнения, коэффициентами которого являются проивводные от $H_{l}^{\prime}$ и у которого правая часть равна единице.

Такую же самую систему линейных уравнений, т. е. систему, в поторой воэффициенты и правые части те же самые, мы получим для производных от $-p_{1},-p_{2}, \ldots-p_{n}, \quad q_{1}, \quad q_{2}, \ldots q_{n}$, взятых по $h_{i}^{\prime}$. Действительно интегралы
\[
\begin{array}{ll}
H=h, & H_{1}=h_{1}, \quad H_{2}=h_{2}, \ldots H_{i}=h_{i}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1} \\
H^{\prime}=t+h^{\prime}, & H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime}, \quad H_{2}^{\prime}=h_{2}^{\prime}, \ldots H_{i}^{\prime}=h_{i}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime}
\end{array}
\]

еганут тождествами, если мы предшоложим подставленными в них вместо переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ их выражения через $t$ и $2 n$ производьных постоянных. Поэтому от них можно брать частные производные по саждой проиввольной постоянной, и после дифференцирования по $h_{i}^{\prime}$ получится система уравнений
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial H_{1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \ldots \frac{\partial H_{i,-1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial H_{i}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial H_{i+1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \ldots \frac{\partial H_{n-1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial H_{1}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \ldots \frac{\partial H_{i-1}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=1, \quad \frac{\partial H_{i+1}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \ldots \frac{\partial H_{n-1}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0,
\end{array}\right\}
\]

в которых первое, например, в раскрытой форме выглядит так:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+\frac{\partial H}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+\ldots+\frac{\partial H}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{n}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+\frac{\partial H}{\partial q_{1}} \frac{\partial q_{1}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+ \\
+\frac{\partial H}{\partial q_{2}} \frac{\partial q_{2}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+\cdots+\frac{\partial H}{\partial q_{n}} \frac{\partial q_{n}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}=0 .
\end{array}
\]

Эта еистема отличается от системы (14) только тем, что на месте прежних ненввестных
\[
\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}, \frac{\partial H_{4}}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}}, \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}}, \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{n}}
\]

теперь стоят величины
\[
-\frac{\partial p_{1}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}},-\frac{\partial p_{2}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}, \ldots-\frac{\partial p_{n}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}, \frac{\partial q_{1}}{\partial \bar{h}_{i}^{\prime}}, \frac{\partial q_{2}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}, \ldots \frac{\partial q_{n}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}} .
\]

Но, еели в двух системах динейных уравнений коэффициенты и постоянные qлены соответственно равны между собой, то равны также и неиввестные, если только определитель системы, т. е. в расматриваемом случае выражение
\[
\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial H}{\partial q_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{n-1}}{\partial q_{n}} \frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{1}^{\prime}}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{n-1}^{\prime}}{\partial p_{n}}
\]

не обращается в нуль. Но такой случай не может иметь места, так как иначе $2 n$ величин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ не были бы независимыми друг от друга функциями $2 n$ переменных $\dot{q}_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и система интегралов была бы недостаточна для определения этих $2 n$ переменпых как функций от $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}, h^{\prime}+t, h_{1}^{\prime} \ldots h_{n-1}^{\prime}$. Поэтому обе системы пеизвестных равны между собой, т. е. мы имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial q_{1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}}, \quad \frac{\partial q_{2}}{\partial h_{i}^{\prime}}=\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}}, \cdots \frac{\partial q_{n}}{\partial h_{i}^{\prime}}=\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}}, \\
\frac{\partial p_{1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=-\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}, \quad \frac{\partial p_{2}}{\partial h_{i}^{\prime}}=-\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial p_{n}}{\partial h_{i}^{\prime}}=-\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}} .
\end{array}\right\}
\]

С этой системой формул, происходящей от сравнения систем (14) и (15), можно сопоставить другую, выводимую из нее простой перестановкой. В самом деле, системы (14) и (15) дают снова верные системы уравиений, если для всех значений значка $i$ подсгавить вместо величин без птриха $H_{i}, h_{i}$ соответствующие взятые с отрицательным знаком величины с одним штрихом – $H_{i}^{\prime}$, 一 $h_{i}^{\prime}$ к, напротив, на место величин с одним штрихом $H_{i}^{\prime}, h_{i}^{\prime}$ поставить соответствующие. взятые с положительным знаком величины без птриха $H_{i}, h_{i}$. Этот способ перестановки должен быть поэтому прпменим также к системе (16), и мы получаем из нее новую систему формул:
\[
\left.\begin{array}{rlrl}
\frac{\partial q_{1}}{\partial h_{i}}=-\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial p_{1}}, & \frac{\partial q_{2}}{\partial h_{i}}=-\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{\partial q_{n}}{\partial h_{i}}=-\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial p_{n}}, \\
\frac{\partial p_{1}}{\partial h_{i}}=\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial q_{1}}, & \frac{\partial p_{2}}{\partial h_{i}}=\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial p_{n}}{\partial h_{i}}=\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\}
\]

Мы соедивим системы формул (16) и (17) в следующие четыре уравненни
\[
\frac{\partial q_{k}}{\partial h_{i}^{\prime}}=\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{k}}, \quad \frac{\partial q_{k}}{\partial h_{i}}=-\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial p_{k}} ; \quad \frac{\partial p_{k}}{\partial h_{i}^{\prime}}=-\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{k}^{\prime}}, \quad \frac{\partial p_{k}}{\partial h_{i}}=\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial q_{k}}
\]

и выразим полученный результат следующей теоремой: 1
Допустим, что посредством представленных в гамильтоновой форме снетел интегралов
\[
\begin{array}{c}
H=h, \quad H_{1_{p}}=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}, \\
H^{\prime}=h^{\prime}+t, \quad H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime}
\end{array}
\]

с одной стороны постоянные $h_{k}, h_{k}^{\prime}$ выражены через переменные $p_{i}, q_{i}$ \” время $t$, с другой стороны эти переменные $p_{i}$ п $q_{i}$ выражены из тех жее уравнений через постоянные и время $t$; тогда мастные производные ом постоянных по переменным $p_{i}, q_{i}$, взатые при первом способс выражения, и частные производные от переменных $p_{i}, q_{i}$, взятые по постоянным при последнем способе выражения, попарно равжые между собой, если не мринимать во внимание знака. natsberichte, 1838, стр. 178).
\[