Рассмотрим сначала свободную снстему материальных точек; мы называем ее системой, так как предполагаем, что точки подвержены действию внешних сил не независимо друг от друга, когда каждая точка рассчатриваетея самостоятельно, а что они воздействуют друг на друга так, что нельзя рассматривать одну отдельно от других. Іредположим, что эта система будет свободной, т. е. такой, в которой точки подчиняютея действию сил бев сопротивлення. Іусть какая-нибудь точка системы имеет массу $m$, прямоугольные ее координаты в момент времени $t$ пусть будут $x, y, z$, а составляющие силы, на нее действующей, $-X, Y, Z$; тогда, как известно, существуют следующие уравнения движения:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z,
\]

и подобные же уравнения имеют место для всех точек системы. Величины $X, Y, Z$ зависят от координат всех $n$ точек и могут также содержать их произвдные по времени $t$, что в частности всегда имеет место в том случае, когда в расчет принимается сошротивление.

Вышеприведенные дифференциальные уравнения движения могут быть представлены в чрезвычайно выгодной символической форме, для чего каждое из них, после приведения правой части к пулю, умножаетея на произвольный множитель и полученные произведения скадываются. Получается таким образом уравнение:
\[
\left(m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-X\right) \lambda+\left(m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-Y\right) u+\left(m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-Z\right)
u+\text { и т. д. }=0 .
\]

Если теперь потребовать, чтобы это уравнение имело место для всех значений величин $\lambda, \mu, v, \ldots$, то оно будет ваменять собою всю вышеприведенную систему дифференциальных уравнений. Для наглядности мы заменим множители $\dot{\lambda}, \mu,
u . \ldots$ через $\delta x, \delta y, \delta z$, где $x, y, z$ надо рассматривать просто как зпачки. Напе символическое уравнение тогда будет
\[
\sum\left\{\left(m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-X\right) \delta x+\left(m-\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-Y\right) \delta y+\left(m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-\chi\right) \delta z\right\}=0,
\]

где сумма относится ко всем точкам системы. Таким образом это уравнение должно иметь место для всех значений $\delta x, \delta y, \delta z, \ldots$ Символическне обозначения в нем имеют очень важное значение: именно, часто случаетея, что символ рассматривают, как величину и над ним гроивводят выкладки и операции так, как это вообще делают с величинами; позже мы будем иметь цример этого рода.

Особого рассмотрения требует случай, когда принимаютея во внимапие только притяжения к неподвижным центрам или взаимные притяжения точек. В этои случае составляющие $X, Y, Z, \ldots$ могут быть представлены как частные производные одной и той же величины. Иагранж сделал важное замечание, что если нешодвижную точку соединит с подвнжной, то косинусы углов, которые эта линия образует с тремя координат ными осями, будут частными проивводными одной и той же величины расстояния между обеими точками. Пусть неподвижная точка имеет координаты $a, b, c$, подвижная – координаты $x, y, z$; радиус вектор; соединяющий обе точки, пүсть будет $r$. Іроведеи через неподвижную точку $(a, b, c)$ три прямые, параллельные координатным осям, притом направленные в их положительные стороны; углы, которые радиус вектор образует с этими пряхыми пусть будут $\alpha, \beta, \gamma$. Тогда имеем следүющие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\left.\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x-a}{r}=\cos \alpha ; \quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y-b}{r}=\cos \beta ; \quad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z-c}{r}=\cos \gamma \cdot{ }^{*}\right)
\end{array}
\]

Если теперь $R$ есть снла, с которой точка ( $x, y, z$ ) притягивается точкой $(a, b, c)$, то составляющие, денствующие на точку $(x, y, z)$ в положнтельном направлении координат, будут:
\[
-R \frac{\partial r}{\partial x}, \quad-R \frac{\partial r}{\partial y}, \quad-R \frac{\partial r}{\partial z}
\]

мли, если мы положнм
\[
\int R d r=P
\]

эти составляющие будут:
\[
-\frac{\partial P}{\partial x},-\frac{\partial P}{\partial y},-\frac{\partial P}{\partial z} .
\]

Таким образом, составляющие являются частными производным одной м той же величины -P. Это же имеет место при взанмно притнжении двух точек $p$ и $p_{1}$. Пусть их координаты будут $x, y, z$ и $x_{1}, y_{1}, z_{1}$, их вваимное расстояние пусть будет $r$, так что
\[
r^{2}=\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2},
\]
$R$ пусть будет сила притяжения между $p$ и $p_{1}$; тогда составдяющие, дейетвующие на $p$, будут:
\[
-R \frac{\partial r}{\partial x}, \quad-R \frac{\partial r}{\partial y}, \quad-R \frac{\partial r}{\partial z}
\]

й составляющие, действующие на $\boldsymbol{p}_{1}$ :
\[
-R \frac{\partial r}{\partial x_{1}},-R \frac{\partial r}{\partial y_{1}},-R \frac{\partial r}{\partial z_{1}} .
\]

Они соответственно равны и противоподожны по знаку, так как
\[
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x-x_{1}}{r}, \frac{\partial r}{\partial x_{1}}=-\frac{x-x_{1}}{r},
\]

так тто
\[
\frac{\partial r}{\partial x_{1}}=-\frac{\partial r}{\partial x}
\]

н также
\[
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y_{1}}=-\frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial z_{1}}=-\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial z} .
\]
*) В последующем всегда для частных пронзводных будет унетребляться энак $\partial$, для полных – знак $d$.

Если снова ввести
\[
y=\int R d r \text {. }
\]

то еоставлнющие, действующие на $p$, будут
\[
-\frac{\partial P}{\partial x}, \quad-\frac{\partial P}{\partial y} . \quad-\frac{\partial P}{\partial z},
\]

а еоставляющи, действующие на $p_{1}$
\[
-\frac{\partial P}{\partial x_{1}}, \quad-\frac{\partial P}{\partial y_{1}}, \quad-\frac{\partial P}{\partial z_{1}} .
\]

Рассмотрим тешерь $n$ точек, которые взаимно притягиваются. Их масеы пусть будут $m_{1}, m_{2}, \ldots m_{n}$, их координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1} ; x_{2}, y_{2}, z_{2} ; \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$, расстояние от $m_{1}$ до $m_{2}$ пусть будет обозначено через $r_{1,2}$, интеграл той функции от $r_{1,2}$, которая выражает притяжение, действующее между обеими точкамн, пуст, будет обозначен через $P_{1,2}$, причем произведение масс $m_{1}, m_{2}$ подразучевается входящим как множитель (например, для закона Ньютона $\left.\Gamma_{1,2}=-\frac{m_{1} m_{2}}{r_{1,2}}\right)$. В этом предиоложении составляющая силы, действуюцей ва точву $m_{1}$ в награвленин оси $x$, будет:
\[
-\frac{\partial\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+P_{1, n}\right)}{\partial x_{1}}
\]

н аналогичше для двух других составляющих.
Поэтому имеем для точкі $m_{1}$ :
\[
\begin{aligned}
m_{1} \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} & =-\frac{\partial\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+P_{1, n}\right)}{\partial x_{1}}, \\
m_{1} \frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}} & =-\frac{\partial\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+P_{1, n}\right)}{\partial y_{1}}, \\
m_{1} \frac{d^{2} z_{1}}{d t^{2}} & =-\frac{\partial\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+P_{1, n}\right)}{\partial z_{1}} .
\end{aligned}
\]

Іодобные же уравнения получаютя для остальных точев системы; нащример, для точки $m_{2}$ заключенная в скобки величина, производная от которой берется, равна $P_{2,1}+P_{2,3}+\ldots+P_{2, n}$. Но величнны $P$ имеют то свойство, что каждая из них зависит от координат только тех двух точек, значқи которых у ней проставлены; потому при дифференцировании по $x_{1}, y_{1}$ или $z_{1}$ уничтожаются производные от $P_{2,3}, P_{2,4}, \ldots, P_{2, n}, P_{3,4}, \ldots, P_{n-1, n}$, н остаютея только производные от $P_{1,2}, \stackrel{P}{P}_{1,3}, \ldots, P_{1, n}$. Поэтому дифференциальные уравнения, относящиеся к первой точке, останутся соверпенно без нзменения, если в правой части в скобках к сумме $P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+$ $+P_{1, n}$ прибавить еще сумму всех остальных $P$. Подобное же изменение можно пронзвести в других уравнениях с величиной, стоящей в скобках, н тогда цолучатся во всех дифференциальных уравнениях системы производные одной и той же величины:
\[
U=-\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+P_{1, n}+P_{2,3}+\ldots+P_{2, n}+\ldots+P_{n-1, n}\right) .
\]

Таким образом, мы имеем для какой-нибудь точки системы уравнения:
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}} .
\]

Это замечание, что можно во все уравнения ввести одну и ту же величину $L$, важется очень простым и однако то, что Эйлер проглядел это обстоятельство, было единственной іричиной, помешавшей ему достигнуть общности результатов Лагранжа. Әйлер знал принцип сохранения живой силы тольо для цритяжений к неподвижным центрам. В конце \”Nova methodus inveniendi curvas maximi minimive proprietate gaudentes\” Эйлер в \”Appendix de motu projectorum\” удовольствовался очень несовершенными выражениями дифференциальных уравнений пля взаимного притяжения. Впервые Даниил Бернулли отметил это в сочинении, представленном им в философский класе берлинской академии *) и, таким образом, придал гринципу сохранения живой силы его истинное значение. После этого Јагранж применил это замечание в задачам, поставленным Эйлером в мемуаре \”de motu projectorum\”, и таким путем пришел к своим главным результатам.

Выражение $U$ названо Гамильтоном силовой функцией. Частная производная этого выражения по какой-нибудь координате одной из рассматриваемых $n$ масс дает силу, цействующую в направлении әтой координаты, силу, с которой эта масса цритягиваетея всеми грочими.
Для притяжения по закону Ньютона силовая функция будет
\[
U=\sum \frac{m_{i} m_{i_{1}}}{r_{i, i_{1}}}
\]

и тавим образом, в случае трех тел
\[
U=\frac{m_{1} m_{2}}{r_{1,2}}+\frac{m_{1} m_{3}}{r_{1,3}}+\frac{m_{2} m_{3}}{r_{2,3}} .
\]

В теории приведения дифференциальных уравнений движения к одному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядкі всегда имеют дело с силовой функцией, поэтому введение ее имеет чрезвычайно большую важность. Предварительно мы сможем очень хоропо ее использовать для сокращенного изображения уравнений.

Интересно выяснить, — на сколько можно расширить границы рассматриваемых механических задач, не отказываясь от введения силовой функции.

При взаимном притяжении точек нет необходимости преднолагат что закон, по которому две точки ваапно притягиваются, будет один и тот же для любых двух точек системы; напротив, можно делать в этом отношении любое допущение, предшолагая только, что притяжение зависит исключительно от расстояния и что какая-нибудь масса $m_{i}$ притягивается другою массою $m_{i_{1}}$ с той же самой силой, с какой $m_{i_{1}}$ притягивается $m_{i}$. Отмеченное обобщение не беснолезно; так, например, Бессель высказал сомнение в том, тто в мировой системе между любыми двумя телами имеет место один и тот же закон притяжения. Он высказал гипотеву, в которой вопрос рассматривалея не с той точки зрения, что в законе меняется функция расстояния, а е той, что тело солнечной системы, например, само солнце, прияягивает Сатурна другой массой, чем Урана. Эта гишотеза не помепает введению силовой функции. Но кроме взаимных гритяжений масс могут также присоединиться притяжения к неподвижным центрам. Можно даже предположить, что, конечно, является только математической фиццией, что каждый из ненодвижных
*) Mém. de l’acad. de Berlin, 1748.

центров действует не на все массы, а только на одну или на некоторое определенное число их. Например, если масса $m_{1}$ притягивается неподвижным центром, масса которого $k$ и гоординаты которого $a, b, c$, то к силовой фунцци, если имеет место закон Ньютона, присоединится еще член:
\[
\frac{k m_{1}}{\sqrt{\left(x_{1}-a\right)^{2}+\left(y_{1}-b\right)^{2}+\left(z_{1}-c\right)^{2}}} ;
\]

подобные же члены получатся и от остальных масс, если неподвижный центр $k$ действует также и на них. Наконец, могут присоединяться еще постоянные параллельные силы, которые тоже могут действовать не на все массы. Если, например, на точку $m_{1}$ действует постоянная сила (как, например, сила тяжести), составляющие которой по направлению координатных осей обозначим через $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \Gamma$, то к силовой функции $U$ присоединится член:
\[
\mathrm{A} x_{1}+\mathrm{B} y_{1}+\mathrm{\Gamma} z_{1}
\]

цодобные же члены шрисоединятся и от других масс системы, если на них цействуют постоянные силы А, В, Г или иные. В случае неподвижных центров надо еще заметить, что когда они действуют на все входящие в задачу массы, что, конечно, всегда имеет место в природе, то тогда их можно рассматривать как подвижные массы. Благодаря этому, правда, войдут в силовую функцию лишние члены, именно те, которые выражают вваимное притяжение неподвижных центров, но эти члены являются постоянными и шри дифференцировании вышадают.

Символическая форма, к которой мы привели дифференциальные уравнения движения, была:
\[
\sum\left\{\left(m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}-X_{i}\right) \delta x_{i}+\left(m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}-Y_{i}\right) \delta y_{i}+\left(m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}-Z_{i}\right) \delta z_{i}\right\}=0 ;
\]

то уравнение мы герепишем лучше так:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{l}}{d t^{2}} \delta y_{l}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\sum\left\{X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right\} .
\]

В случае, когда можно ввести силовую функцию, имеем:
\[
X_{i}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad Y_{i}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad Z_{i}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}} .
\]

Поэтому
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\sum\left\{\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta Z_{i}\right\} .
\]

В этом уравнении, как и в предыдущем, надо рассматривать $\delta x_{t}, \ldots$ как произвольные множители, могущие принимать всевозможные значения, а $x_{i}, \ldots$. как их значки. Но, если на одно мгновение рассматривать $\dot{~} x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ как бесконечно малые приращения $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, то по правилам дифференциального исчисления правая часть поеледнего уравнения будет:
\[
\sum\left\{\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right\}=\delta U .
\]

сдедовательно, имеем:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{l}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\delta U .
\]

Здесь предварительно надо рассматривать $\delta U$ только как сокращенное обозначение для суммы (А), которое совнадает с ней только в том случае, еслі $\delta$ рассматривать вак бесконечно малие прирацения. Хотя это обовначение тольо тогда имеет смысл, когда существует снловая фунвция, но его с уснехом применяют в нных случаях даже и в более общему уравненно (1), чтобы сделать вывладки более удобными. Однако, тах поступать можно только е условием, что в разложении $\delta U$ частная проивводная $\frac{\partial U}{\partial x_{t}}$ будет заменена черев $X_{i}$. Таким образом, вак правило, приходят к верным результатам, вогда пмеют дедо с линейными подстановками. Этот смелый путь проложил Лагранж в своих туринских мемуарах, вравда пе обосновав еғо должным образом. Обозначение $\delta U$ также очень подезно, когда вместо коордннат $x_{1}, y_{1}, z_{1}$; $x_{2}, y_{2}, z_{2} ; \ldots ; x_{n}, y_{n}, z_{n}$ вводятся новые $3 n$ переменных $q_{1}, q_{3}, \ldots, q_{\mathbf{s}_{n}}$. Тогда нужно тодько подставить эти новые переменные в $U$ и раскрыть по правияам днфференциального исчпсления:
\[
\delta U=\frac{\partial U}{\partial q_{1}} \delta q_{1}+\frac{\partial U}{\partial q_{2}} \delta q_{2}+\ldots+\frac{\partial U}{\partial q_{3 n}} \delta q_{3_{k}} ;
\]

в то же время надо подставить вместо $\delta x_{i}$ :
\[
\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} \delta q_{1}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} \delta q_{2}+\ldots+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{3 n}} \delta q_{3 n}=\sum_{s} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \delta q_{s} .
\]

Справедливость этого утверждения можно доказать следующим образоц.
$3 n$ днфференциальных уравнений двнжения имеют вид:
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}},
\]

где $i$ принимает все значения от 1 до $n$ включительно. Представим себе. что эти $3 n$ уравнений помножены соответственно на $\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}, \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{k}}, \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{k}}$ и сложены; тогда получитея:
\[
\sum_{i} m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{k}}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{k}}\right\}=\frac{\partial U}{\partial q_{k}} .
\]

Если вщесто $q_{k}$ подставлять один за другим все $q$, то таких уравнений получится $3 n$. Эти $3 n$ уравнений вполне заменяют первоначальную систем! уравнений, так что одна из этих систем всегда может быть поставлена вместо другой. Если мы умножим последнюю систему на произвольные множители $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{8}, \ldots \delta q_{3 n}$ и сложим, то получим новое символическое уравнение, которое вполне заменяет последнюю систему дифференцильных уравнений, а потому также и прежнюю систему. Это символическое уравнение будет:
\[
\sum_{s} \sum_{i} m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right\} \partial q_{s}=\sum_{s} \frac{\partial U}{\partial q_{s}} \hat{\partial} q_{s},
\]

или, если сумирование в левой части этого уравнепия произвести в обрат-ном порядке
\[
\sum_{i} m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \sum_{s} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \sum \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \sum \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}\right\}=\sum_{i} \frac{\partial U}{\partial q_{s}} \hat{\delta} q_{s^{*}}
\]

Это уравнение – то же самое, в которое переходит (2), если виесто $у U$ под-ставить $\sum_{s} \frac{\partial U}{\partial q_{s}} \delta q_{s}$, а вместо $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ соответетвенно:
\[
\sum_{s} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}, \quad \sum_{s} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{k}} \delta q_{s}, \quad \sum_{s} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}} \hat{\partial} q_{s} .
\]

Такии образом, доказано выше данное правило для подстановки новых перененных. В преобразованном уравнении снова надо рассматривать $\delta q_{s}$ как: независимые друг от друга величины, и тогда преобразованное символическое уравнение распадается на только что данную систему $3 n$ уравнений.

Но не в этих удобствах для вычисления заключаетея важность наших символических уравнений (1) и (2). Истинное значение этого изображения состоит главным образом в том, что оно может быть сохранено также тогда, когда система уже больше не свободна, а имеютея условные уравнения. выражающие связи между точвами. Но тогда вариации нельзя больше рассматривать как совершенно произвольные, но как виртуальные вариации, т. е. такие, которие совместны с уеловиями. Если мы, например, предположнм, что еуществуют три условные уравнения:
\[
f=0, \quad \varphi=0, \quad \psi=0,
\]

то между вариациями существуют соотнопения, которые их делают внртуальными и которые определяются следующими уравненияя:
\[
\text { of }=0, \quad \delta_{\varphi}=0, \quad \delta \psi=0
\]

или в развернутом виде:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\sum}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0, \\
\boldsymbol{\Sigma}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0, \\
\sum\left(\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial \psi}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial \psi}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0 .
\end{array}
\]

Каждое условное уравнение дает, таким образом, линейное соотношение между $3 n$ вариациями … $x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i} \ldots$ Если имеютея $m$ условных уравнений, следовательно, также $m$ соотношений между вариацияи, то можно вее вариации выразить через $3 n-m$ из них и получить через их подстановку наше енмволическое уравнение свободным от $m$ вариаций. Одпако, это исключение $m$ вариаций крайне сложно. Лагранж, введя систему множителей, нашел средство избежать эту трудность.

Вышеприведенное раепространепие нашего символического уравнения на систему, ограниченную условиями, само собой разумеется не доказано, но приведено только как историческое утверждение. Отметить это обстоятельство являетея, как кажетея, необходимым, так как хотя Лаплас в Небесной механике это распространение и не доказал, а рассматривал также как историческое, подобно тому, как это сделано и здесь, тем не менее все же это ечитали за іоказательство. Пуансо написал статью *) против этого мнения и говорит в ней очень справедливо, что математиков часто вводит в зао́луждение очень длинный путь, пройденный ими, но иногда также и очень короткий. Длинный путь вводит их в заблуждение, когда они после долгих выкладок приходят наконец к тождеству и принимают его за теорему. Iрриер шротивоположного дает наш случай.

Доказывать это распространение ии в коей мере не являетея напей задачей, скорей мы хотим его рассматривать как принци, доказывать который не нужно. Таков взгляд многих математиков, в частности Гаусеа. **)
\”) Liouvilles Journal, vol. 3, p. 244.
*: Вероятно Гаусс сообщал об этом Якойи устно; ничего написанного Гоңс, cом по этому поводу не найдено; так по крайней мере любезно сообщаст $г$-н профессор ПІеринд. (Прим. К,ебиа.)