Мы дадим сейчас приложение полученной теоремы относительно вариации определителя г системе дифференциальных уравнений.
Іусть дана следующая система:
\[
\frac{d x_{1}}{d x}=X_{1}, \frac{d x_{2}}{d x}=X_{2}, \ldots \frac{d x_{i}}{d x}=X_{i}, \ldots \frac{d x_{n}}{d x}=X_{n}
\]

и пусть эта система, в которой $X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n}$ могут быть произвольными функцияи от $x, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, интегрируется при помощи системы уравнений:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=f_{1}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
x_{2}=f_{2}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
\left.\cdots \cdots \alpha_{n}\right) .
\end{array}
\]

Если эти значения $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ подставим в $X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n}$ и определим производные $\frac{d x_{1}}{d x}, \frac{d x_{2}}{d x}, \ldots \frac{d x_{n}}{d x}$ так же, кав фунцции от $x$ и $n$ пропзвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$, то при этих значениях система (1) будет выполняться тождественно, т. е. уравнения (1) имеют место для всех значений переменной $x$ и произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$; поэтому их можно дифференцировать по каждой из этих $n$ постоянных. Каждое из уравнений (1) образует таким образом $n$ уравнений, всего $n$ систем по $n$ уравнений в каждой спстеме, т. е. $n^{2}$ уравнений, которые все имеют вид:
\[
\frac{d \frac{\partial x_{i}}{\partial \alpha_{k}}}{d x}=\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{k}}+\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{2}} \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{k}}+\ldots+\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{n}} \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{k}} .
\]

Система, следующая из первого уравнения $\frac{d x_{1}}{d x}=X_{1}$, будет:
\[
\text { 1) } \begin{aligned}
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}}{d x} \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}}{d x} \\
\cdots \cdots \cdots \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}}}{d x} .
\end{aligned}
\]

Систеиы, следующие из остальных уравнений (1), будут:
2)
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}-\ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{n}}=\frac{d}{\partial x}, \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}} \partial X_{2}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}} \cdot \ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}}{d x}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}}}{d x}
\end{array}
\]
aI T. I.
Наконец
\[
\begin{array}{l}
\text { п) } \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}}{d x} \text {, } \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{2}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial x_{n 2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}}}{d x}, \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}}{d x} . \\
\end{array}
\]

Если сравним эти системы с теми, которые были установлены в 4 шредыдущей лекции цри рассмотрении теоремы о вариации определителя, то найхем, что те систещы переходят в эти при следующих претоложения:
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}, b_{1}=\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}}, \ldots p_{1}=\frac{\partial x_{n_{2}}}{\partial \alpha_{1}}, \\
a_{2}=\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}, \quad b_{2}=\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}, \ldots p_{2}=\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . } \\
u_{n}=\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}}, b_{n}=\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}}, \ldots p_{n}=\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}, \\
h=\Sigma \pm a_{1} b_{2} \ldots p_{n}=\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}, \\
x_{1}{ }^{\prime}=\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}, x_{2}{ }^{\prime}=\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}, \ldots x_{n}{ }^{\prime}=\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{n}}, \\
x_{1}{ }^{\prime \prime}=\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}, x_{2}{ }^{\prime \prime}=\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}, \ldots x_{n}{ }^{\prime \prime}=\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{n}}, \\
x_{1}{ }^{(n)}=\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{1}}, x_{2}{ }^{(n)}=\frac{\partial \dot{X}_{n}}{\partial x_{2}}, \ldots x_{n}{ }^{(n)}=\frac{\partial \dot{X}_{n}}{\partial x_{n}}, \\
\delta=\frac{d}{d x} \text {. } \\
\end{array}
\]

Позтому подную производную по $x$ от $\lg R$ можно представить в с.өдующей яанечательной форме:
\[
\frac{d \lg R}{d x}=\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}},
\]

rде
\[
K=\Sigma \pm \frac{\partial r_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} .
\]

Такня образом, по вышолнении интегрнрования системы (1), найдем $R$ из уравнения (2) посредством квадратуры по $x$. Но существуют стччаи, в которых определитель $R$ может быть дан до проивводства каких-либо интегрирований, именно когда сумма $\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}$ мжет быть преобразована с помощью системы (1) в полную производную но $x$ ил, то представляет еще более простой случай, когда $X_{1}$ не содержит $x_{1}, X_{2}$ не содержит $x_{2}, \ldots, \mathrm{X}_{n}$ не содержнт $x_{n}$. Тогда $\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial r_{n}}=0$; потому
\[
\frac{d \lg R}{d x}=0, R=\text { const. }
\]

Содернащанся в уравнешии (2) теорема была установлена вшервые .Іиувилдем и притом в этой же форме (Lionville Jourmal, t. II, p. 348): переменными $x$, а эти последние заменены функцияи $f$ от перемениых $x$, эта теорема ветречаетея в одной из моих статей (Crelle Journal, Bd. 22, p. 336). Тиувиль не извлек из этой теоремы той польы, которую ова доетавляет да интегрирования. Раньне чем перейти п этому ириоженик, ирндадим полученному резултату нескомко более общую фориу, произвеля в нем некоторое изменение, которое хотя и не кажетея очепь суцественны, но без которого, тем не менее, применение этого резултата былы бы горазо более ограниченным.
Напипем систему (1) в форме пропорции:
\[
d x: d r_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{n}=1: X_{1}: X_{2}: \ldots: X_{n} ;
\]

уиножая правую часть на шроиволтую ветнчину $X$ п заненя в то же время $X_{1}, \quad X_{2}, \ldots X_{n}$ соответетвево частный $\frac{X_{1}}{X^{\prime}}, \frac{X_{2}}{X^{\prime}} \ldots X_{n}$, чи можем придать еіі ранее рассмотрепный вих:
\[
d x: d r_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{n}=X: X_{1}: X_{2}: \ldots: X_{n} .
\]

Іри таком нзменении уравнение (2) переходнт в еледующее:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \lg R}{d x}=\frac{\partial\left(\frac{X_{1}}{X}\right)}{\partial x_{1}}+\frac{\partial\left(\frac{X_{2}}{X^{2}}\right)}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial\left(\frac{X_{n}}{X}\right)}{\partial x_{n}}= \\
=\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)-\frac{1}{X^{2}}\left(X_{1} \frac{\partial X}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial X}{\partial x_{2}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial \lambda}{\partial x_{n}}\right) .
\end{array}
\]
\[
\frac{X_{1}}{X}=\frac{d x_{1}}{d x} ; \quad \frac{X_{2}}{X}=\frac{d x_{2}}{d x} ; \ldots \quad X_{n}=\frac{d x_{n}}{d x},
\]

приведен к форме:

\[
-\frac{1}{X} \cdot\left(\frac{d X}{d x}-\frac{\partial X}{\partial x}\right) .
\]

Если это последнее выражение подставить в формулу дая $\frac{d \lg P}{d x}$, то получитея
\[
\frac{d \lg R}{d x}=\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)-\frac{1}{X}\left(\frac{d X}{d x}-\frac{\partial X}{\partial x}\right)
\]

ห:1и
\[
\frac{d \operatorname{Ig}(X R)}{d x}=\frac{1}{\mathrm{X}}\left(\frac{\partial \mathrm{X}}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{X}_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \mathrm{X}_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right) .
\]

Мы можем, таким образом, определить $R$ по всех интегрирований, если величина $\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)$ при помощи данной системы (3) может быт преобразована в полную пронзводую но $x$ или если $\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0$.
В последнем случае ихеем
\[
X R=\text { const, }
\]

так что
\[
R=\frac{\text { const. }}{X}
\]

тде, кан прежде,
\[
R=\sum \pm \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \cdot \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} .
\]

Предиодожин теперь, что система (3) в самом деле обладает тем свойством, что $R$ может быть определено до всех интегрирований, и предположия, что $n$– 1 интегралов уже найдено, а $n$-го еще недостает; тогда можно $n-1$ интегральны уравнений представить в форме
\[
\begin{array}{l}
r_{2}=p_{2}\left(x_{1}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}\right) \\
x_{3}=c_{3}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{3}\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . } \\
x_{n}=?_{n}\left(x, x_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots \alpha_{n}\right), \\
\end{array}
\]

юоле чего остаетея еще проинтегрновать уравнение
\[
\Lambda d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]

интеграл которого можно представить в виде
\[
x_{1}=\rho_{1}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) .
\]

Нз сравнения с вышешриведенной полной системої ннтегралов днфференциальных уравнений (1) следует, кроме того, что функция, обовначенная тешерь через $q_{1}$, есть та, которая была обозначена выше через $f_{1}$, и что функции $\varphi_{2}, \varphi_{0}, \ldots \varphi_{n}$ переходят соответственно в $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$, если вместо $x_{1}$ нодставлено его значение $\varphi_{1}$.

Если производные величин $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$, поскольку мы их рассматриваем как функции от $x, x_{1}, x_{2}, \alpha_{3}, \ldots x_{n}$, заключим в скобви для отличия от , по сих пор рассхатриваемых производпых, то шолучим
\[
6^{*} \quad \frac{\partial x_{t}}{\partial \alpha_{k}}=\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial \alpha_{k}}\right)+\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{h}},
\]

где $i$ и 7 ногут принимать все значения от 2 до $n$ включительн. Для $k=1$ имеем
\[
\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{1}}=\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}
\]
:то уравнение тоже можно включить в обцую формулу, если принать во внимание, что
\[
\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}}\right)=\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial x_{1}}\right)=\ldots=\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right)=0 .
\]

Отсюда вытекает формула
\[
\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{k}}=\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{k}}\right)+\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{k}},
\]

где $i$ изненяетея от $i=2$ до $i=n$ п $k-$ от $k=1$ до $k=n$. Іоэтом
\[
\begin{array}{l}
K=\sum \pm \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}\left\{\left(\begin{array}{c}
\partial x_{2} \\
\partial x_{2}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
\partial x_{2} \\
\partial x_{1}
\end{array}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{2}}\right\}\left\{\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial x_{3}}\right)+\right. \\
\left.+\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{3}}\right\} \ldots\left\{\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{n}}\right)+\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{n}}\right\}, \\
\end{array}
\]
т. е. $T$ оудет определителем, составленным пз величнн
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}, & \left(\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}}\right)+\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}, \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}}\right)+\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}} \\
\partial x_{1} \\
\partial \alpha_{2} & \left(\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}\right)+\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}, \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{2}}\right)+\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{2}} \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}\right)+\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{n}} .
\end{array}
\]

Обозначим через $R_{1}$ п $R_{2}$ определители, которие получатея из $I_{1}$, если мы только их первыми членами, а для $R_{2}$ – их вторыми членами, так тто $h$. как линейная однородная функция тех и величнн, будет равняться сумме $R_{1}$ и $R_{2}$. Но $R_{2}$ имеет общиӥ множитель $\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}}\right)$, и если мы его вынесем, то величины, стояцие в цервом и во втором вертикальных рядах, совнадут. т. е. $R_{2}$, па основании п. 1 предыдущей лекции, окажется равным ную, а $R$-равшым $R_{1}$; таким образом ошределитель $R$ остается без изменения. если величины второго вертикального ряда заменить их шервыми члевами. То же самое имеет место и для величин третьего, четвертого, …n-rо вертикальных рядов, и тақим образом $R$ оқазывается равным определителю из величин
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}, \quad\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}}\right),\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial \alpha_{1}}\right), \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}}\right) \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}},\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}\right),\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial \alpha_{2}}\right), \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{2}}\right) \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}\right) .
\end{array}
\]

Если тешерь представить этот ощределитель кақ линейную фунццию величин шервого горизонтального ряда п шринять во внимание, что, на основании (5), все этн величин, за исключением $\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}$, нсчезают, то $h$ по жучаетея как произведение $\frac{\partial x_{1}}{\partial \gamma_{1}}$ на $\frac{\partial R}{\partial x_{1}}$, т. е. как проивведение $\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}$ ва онределитель
\[
\varphi=\sum \pm\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{2}}\right)\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial \alpha_{3}}\right), \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{n}}\right),
\]

лементы которого те же самые, что и те, которые получатся из носледней таблицы, если в ней отбросить первый горизонтальный ряд и шервый вертикальный ряд. Таким образом пмеем окончательно:
\[
R=\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} Q .
\]

Это уравнение имеет величайшую важность. Именно, тақ кан по вапему предподожению $h$ п данной системы (3) можно найти а priori, без всяких интегрирований, п так как, талее, $Q$ при посредстве $n-1$ уже произведенного интегрирования известно, то уравнение (7), как это мы тотчас увидим, дает возможность выполнить еще недостающеө $n$-ое интегрирование, так как оно определяет интегрирующий множитель для дифференциального уравнения
\[
X d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]

в котором $X$ п $X_{1}$ предетавлены как функии от $x$ и $x_{1}$. Пусть полный интеграл этого уравнения будет
\[
\text { F }\left(x, x_{1}\right)=a_{1} \text {. }
\]

Отеюда получаем, решая относительно $x_{1}$, то же самое выражение, которое мы раньше обовначили через
\[
x_{1}=\varphi_{1}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots a_{n}\right) .
\]
11одстановка этого выраження вместо $x_{1}$ превращает (8) в тождество; поэтому нолучаем дифференцированием по $\alpha_{1}$
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}=1 \text {. }
\]

Отсюда, принимая во внимание, что, на основании равенства (7),
\[
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}=\frac{R}{Q},
\]

имеем:
\[
\frac{\partial F^{\prime}}{\partial x_{1}}=\frac{Q}{R} .
\]

Обозначии черев $\mathrm{N}$ интегрнрующий множитель выражения $\mathrm{X} d x_{1}-\mathrm{X}_{2} d x$; тогда
\[
\mathrm{NX}=\frac{\partial F}{\partial x_{1}}, \quad-N X_{1}=\frac{\partial F}{\partial x},
\]

так что из первого из этих уравнений следует, что
\[
N=\frac{1}{X} \frac{\partial F}{\partial x_{1}}=\frac{Q}{X R} ;
\]

таким образом $N=\frac{Q}{R X}$ есть интегрирующий множнтель уравнения $X d x_{1}-$ $-X_{1} d x=0$. Итак, имеем теорему:
Если в системе дифференчиальжых уравнений

выраненияе
\[
\begin{array}{c}
d x: d x_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{n}=X: X_{1}: X_{2}: \ldots: X_{n} \\
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)
\end{array}
\]

есть полная производная по $x$; если известны $n-1$ интеграл данной системы и из этих ижтегралов можно определить персменные $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$, как функиии от $x, x_{1} u$ n-1 произвольных постоянных интегрирования. в виде
\[
\begin{array}{c}
x_{2}=\varphi_{2}\left(x, x_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) ; \\
x_{3}=\varphi_{3}\left(x, x_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) ; \ldots x_{n}=\varphi_{n}\left(x, x_{1}, \alpha_{2} \ldots \alpha_{n}\right)
\end{array}
\]
\” если поэтому остаетея только проинтегрировать дифферениильнон уравнение
\[
X d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]

то выракение
\[
N=\frac{Q}{X T}
\]
\[
X R=e^{\int \frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\cdots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right) d x}
\]
u
\[
Q=\Sigma \pm \frac{\partial x_{2}}{\partial x_{i 2}} \frac{\partial x_{8}}{\partial \alpha_{3}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} .
\]

ј.ли $\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0$, то $X R=$ const, и в том случае сам определитель $Q$ есть птегрирующий множитель дифференциалного уравнения $X d x_{1}-X_{1} d x=0$.

Если уравнение (4) этой лекци сошоставить с уравнением (11) десятой лекции, то окавыватоя, что то дифференцильное уравнение, которому удовлетворяет $-\lg X R$, будет для $n+1$ переменных совнадать с тен уравнепием, которое мы тогда (для систехы двух дифференццильных уравнений с тремя переменными) получили для $\lg$. . Поэтому можно положтть
\[
\lg M=-\lg \mathrm{X} R
\]

или
\[
M=\frac{1}{\mathrm{X} l},
\]

и, при предшоложениях тольк-что изложенной теоремы, $M Q$ будет интегрирующим иножителем последнего дифферевциального уравнения $X d x_{1}$ $-X_{1} d x=0$, где $M$ определяется из уравнения
\[
X \frac{d \lg M}{d x}+\frac{\partial X^{x}}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0 .
\]

Расемотренный перед этим определитель $Q$ можно образовать равличныии способами. Простейшее представление есть в форме произведения. Именво, қак только мы исключим посредством $x_{1}$ из переменных $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{*}$ поотоянную $\alpha_{1}$ и после этого представим определитель $l$ как произведение $\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}$ на определитель $Q$, порядов которого на единицу ниже, чем порядок $R$, то мы сможем снова исключить посредством $x_{2}$ из геременных $x_{3}, x_{4}, \ldots x_{n}$ шостоннную $\alpha_{2}$ и представить тогда $Q$ как произведение $\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}$ на определитель $P=\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial x_{3}}{\partial \alpha_{3}} \frac{\partial x_{4}}{\partial x_{4}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}$. Таким же образом можно продолжать дальше: исключаем посредством $x_{3}$ постоянную $\alpha_{3}$ ив $x_{4}, x_{5}, \ldots x_{n}$, посредетвом $x_{4}$ – постоянную $\alpha_{4}$ нз $x_{5}, x_{6}, \ldots x_{n}$ и т. д. Таким образом получаем еледұющее представление интегральных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=F_{1}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \ldots \alpha_{n-1}, \alpha_{n}\right) \\
l_{2}=F_{2}\left(x, x_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, x_{4} \ldots \alpha_{n-1}, \alpha_{n}\right) \\
r_{3}=I_{3}\left(x, x_{1}, x_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \ldots \alpha_{n \rightarrow 1}, \alpha_{n}\right) \\
x_{1}=F_{4}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \alpha_{4} \ldots \alpha_{n \ldots 1}, \alpha_{n}\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . } \\
x_{n}=V_{n}^{\prime}\left(x, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n-1}, \alpha_{n}\right) ; \\
\end{array}
\]

отсюда
\[
I=\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial x_{3}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial x_{n}},
\]

где вместо величин $x_{1}$ до $x_{n}$ надо подетавить выражения $F_{1}$ до $F_{n}$. Для ұтого же способа изображения интегральных уравнений имеем:
\[
Q=\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial x_{3}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} .
\]

Іреобравование, которым мы здесь воспользвались, состоит таким образом в следующем:

Если $n$ величин $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ даны кал функции и дтугих величин $x_{1}, \alpha_{2}, \ldots x_{n}$. mas «mo
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
x_{2}=f_{2}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\dot{x}_{n}=f_{n}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right),
\end{array}
\]
4 еели представия пџпем последовательного исключения величин $x_{1}$, $x_{2}, \ldots x_{*}$ следуючин оорразом
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=F_{1}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots x_{n-1}, \alpha_{n}\right) \\
x_{2}=F_{2}\left(x_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots x_{n-1}, \alpha_{n}\right) \\
x_{3}=F_{3}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \alpha_{n-1}, \alpha_{n}\right) \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot x_{n-1} \cdot \alpha_{n}\right),
\end{array}
\]

mо будем н.мети.
\[
\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}^{\prime}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \cdot f_{n}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} \cdot \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial F_{n}^{\prime}}{\partial \alpha_{n}} ;
\]
лучи.и:

џорма (F) для интегральных уравнений есть та, которую они иривихают сами собой в случае одного дифференциалного уравнения высшего порадка ири последовательном интегрировапии. Последовательное интегрнрование уравнения
\[
y^{(n+1)}=f\left(y^{(n)}, y^{(n-1)}, y^{(n \cdot 2)}, \ldots y^{\prime \prime}, y^{\prime}, y, x\right)
\]
taet
\[
\begin{array}{l}
y^{(n)} \quad=f_{1}\left(\alpha_{n}, y^{(n-1)}, y l^{(n-\cdots)}, \ldots l^{\prime \prime}, y^{\prime}, l /, x\right) \\
y^{(n-1)}=f_{2}^{\prime}\left(x_{n}, x_{1 b-1}, y^{(n-2)}, \ldots y^{\prime \prime}, y^{\prime}, y, x^{\prime}\right) \\
\cdot \cdot \cdot f_{n-1}^{\prime \prime}\left(\alpha_{n}, \alpha_{n-1}, \ldots \cdot \alpha_{2}, y^{\prime}, y, x\right) \\
!^{\prime}=t_{n}^{\prime}\left(\alpha_{n}, \alpha_{n-1}, \ldots \alpha_{2,}, \alpha_{1}, y, x\right) \text {. } \\
\end{array}
\]
для которых мионтель $M$ может быт определен а priori, то мя пифферевциального уравнения первого порядка
\[
y^{\prime}=i_{n}
\]

интегрирующий множнтель будет
\[
H(t)
\]
r, re
\[
Q=\frac{\partial y_{n}}{d \boldsymbol{x}_{h}} \frac{\partial y_{n-1}}{\partial x_{n-1}} \ldots \frac{\partial y^{\prime \prime}}{\partial x_{2}} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial \alpha_{1}} .
\]