В седьмой лекции (стр. 47) қы показали, что дифференциальные уравнения системы, связанной условными уравнениями
\[
\varphi=0, \quad \psi=0, \quad \tilde{\omega}=0, \ldots
\]

могут быть приведены к виду:
\[
\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=X_{i}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}+v \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}+\ldots \\
m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=Y_{i}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}}+
u \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial y_{i}}+\ldots \\
m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial z_{i}}+
u \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial z_{i}}+\ldots
\end{array}
\]

где множители $\lambda, \mu,
u, \ldots$, как это было замечено там же, определяются при посредстве двукратного дифференцирования уравнений $\varphi=0, \psi=0$, $\tilde{\omega}=0$. Если мы определим таким образом величины $\lambda, \mu,
u, \ldots$, то найдем, как это сейчае будет видно, что эти величины не независимы от $x^{\prime}, y^{\prime}$, $z^{\prime}$, вследствие чего здесь нельзя положить множитель $M$ равным единцце, а надо для его определения обратиться к уравнению (4) пятнадцатой лекции (стр. 105). На основании этого уравнения множитель $M$ для системы дифференциальных уравнений
\[
\frac{d^{m} x}{d t^{m}}=A ; \quad \frac{d^{n} y}{d t^{n}}=B ; \quad \frac{d^{p} z}{d t^{p}}=C
\]

определится из уравнения
\[
0=\frac{d \operatorname{Ig} M}{d t}+\frac{\partial A}{\partial x^{(n-1)}}+\frac{\partial B}{\partial y^{(n-1)}}+\frac{\partial C}{\partial z^{(p-1)}} ;
\]

отсюда получится для рассматриваемого случая:
\[
\begin{array}{l}
-\frac{d \lg M}{d t}=\sum_{i} \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}{ }^{\prime}}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \frac{\partial \lambda}{\partial y_{i}{ }^{\prime}}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \frac{\partial \lambda}{\partial z_{i}{ }^{\prime}}\right)+ \\
+\sum_{i} \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \mu}{\partial x_{i}{ }^{\prime}}+\frac{\partial \psi}{\partial y_{i}} \frac{\partial \mu}{\partial y_{i}{ }^{\prime}}+\frac{\partial \psi}{\partial z_{i}} \frac{\partial \mu}{\partial z_{i}{ }^{\prime}}\right)+ \\
+ \text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

где в прэвой части каждому из множителей $\lambda$,, . . . соответствует некоторая сума. Для применения теории множителя $M$ необходимо, чтобы правая часть этого равенства была полным дифференциалом. Чтобы исследовать, имеет ли место этот случай, должны быть найдены $\lambda, \mu,
u, \ldots$ или по крайней мере их производные, взятые по величинам $x_{i}{ }^{\prime}, y_{i}{ }^{\prime}, z_{i}{ }^{\prime}$. Для определения этих значений продифференцируем по $t$ одно из условных уравнений, например $\varphi=0$, два раза, один за другим. Первое дифференцирование дает:
\[
\sum\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} x_{i}{ }^{\prime}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} y_{i}{ }^{\prime}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} z_{i}{ }^{\prime}\right)=0
\]

второе дифференцирование приводит к уравнению:
\[
\boldsymbol{\sum}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} x_{i}{ }^{\prime \prime}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} y_{i}{ }^{\prime \prime}+\frac{\partial_{\rho}}{\partial z_{i}} z_{i}^{\prime \prime}\right)+u=0,
\]

где $u$ обозначает ту часть результата, которая происходит от дифференцирования нножителей
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}, \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}, \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}
\]

и представляет однородную функцию второго порядка от $3 n$ величин $x_{i}$, $y_{i}{ }^{\prime}, z_{i}{ }^{\prime}$. Если обовначим комшлекс всех $3 n$ координат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ посредством ряда $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{3 n}$, то функции $u$ можно придать форму:
\[
u=\sum \frac{\partial^{2} p}{\partial p_{i}{ }^{2}} p_{i}{ }^{\prime 2}+2 \sum \sum \frac{\partial^{2} \varphi_{p}}{\partial p_{i} \partial p_{k}} p_{i}{ }^{\prime} p_{k}{ }^{\prime},
\]

где последню сумму надо распространить только на отличные друг от друга значения $i$ и $k$. Таким же образом выведем из других условных уравнений двукратным дифференцированием уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\sum\left(\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} x_{i}^{\prime \prime}+\frac{\partial \psi}{\partial y_{i}} y_{i}^{\prime \prime}+\frac{\partial \psi}{\partial z_{i}} z_{i}^{\prime \prime}\right)+v=0, \\
\sum\left(\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} x_{i}^{\prime \prime}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial y_{i}} y_{i}^{\prime \prime}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial z_{i}} z_{i}^{\prime \prime}\right)+w=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . , }
\end{array}
\]

где, согласно выше введенному обозначению координат, фунқции $v, w$, . . имеют значения:
\[
\begin{array}{l}
v=\sum \frac{\partial^{2} \psi_{i}}{\partial p_{i}{ }^{2}} p_{i}{ }^{2}+2 \sum \sum \frac{\partial^{2}}{\partial p_{i} \partial p_{k}} p_{i}{ }^{\prime} p_{k}{ }^{\prime}, \\
w=\sum \frac{\partial^{2} \tilde{\omega}}{\partial p_{i}{ }^{2}} p_{i}{ }^{2}+2 \sum \sum \frac{\partial^{2} \tilde{\omega}}{\partial p_{i} \partial p_{k}} p_{i}{ }^{\prime} p_{k}{ }^{\prime}, \\
\end{array}
\]

Чтобы получить теперь $\lambda, \mu,
u, \ldots$. , надо в эти уравнения подставить значения $x_{i}^{\prime \prime}, y_{i}^{\prime \prime}, z_{i}^{\prime \prime}$, выведенные из предложенной системы. Так двукратным дифференцированием выводим из
\[
\left.\begin{array}{l}
u+\sum \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{1}{m_{i}}\left\{X_{i}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \Psi}{\partial x_{i}}+
u \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}+\cdots\right\} \\
+\sum \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \frac{1}{m_{i}}\left\{Y_{i}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}}+
u \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial y_{i}}+\cdots\right\} \\
+\sum \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \frac{1}{m_{i}}\left\{Z_{i}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \Psi}{\partial z_{i}}+
u \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial z_{i}}+\cdots\right\}
\end{array}\right\}=0 ;
\]

если здесь положить
\[
\begin{array}{l}
b=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \cdot}{\partial x_{i}}-\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial \omega_{i}}{\partial y_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}}+\frac{\partial \cdot}{\partial z_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial z_{i}}\right), \\
c=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \stackrel{\rho}{\rho}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial \rho}{\partial y_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial y_{i}}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial z_{i}}\right), \\
u_{1}=u+\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} X_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} Y_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} Z_{i}\right) \text {, } \\
\end{array}
\]

то получитея:
\[
u_{1}+a \lambda+b \mu+c
u+\cdots=0 .
\]

Такое линейное уравнение, связывающее величины $\lambda, \mu,
u, \ldots$, получаем для каждого отдельного условного уравнения
\[
\varphi=0, \quad \psi=0, \quad \tilde{\omega}=0 \ldots
\]

Введем теперь, как мы это делали в седьмой лекции (стр. 49), обозначение:
\[
(F, \Phi)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial F}{\partial x_{i}} \frac{\partial \Phi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial F}{\partial y_{i}} \frac{\partial \Phi}{\partial y_{i}}+\frac{\partial F}{\partial z_{i}} \frac{\partial \Phi}{\partial z_{i}}\right),
\]

так что будем иметь
\[
\left(r^{\prime}, \Phi\right)=\left(\Phi, F^{\prime}\right)
\]

положим
\[
\begin{array}{l}
a=(\varphi, \varphi), \quad b=(\varphi, \psi) \quad c=(\varphi, \tilde{\omega}), \ldots . \\
a^{\prime}=(\psi, \varphi), b^{\prime}=(\psi, \psi), \quad c^{\prime}=(\psi, \tilde{\omega}), \ldots \\
a^{\prime \prime}=(\tilde{\omega}, \varphi), b^{\prime \prime}=(\tilde{\omega}, \psi), \quad c^{\prime \prime}=(\tilde{\omega}, \tilde{\omega}), \ldots \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . , } \\
\end{array}
\]

так что между этими величинами существуют соотношения
\[
a^{\prime}=b, \quad a^{\prime \prime}=c, \quad b^{\prime \prime}=c^{\prime}, \ldots ;
\]

положим далее, что
\[
\begin{array}{l}
u_{1}=u+\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} X_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} Y_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} Z_{i}\right), \\
v_{1}=v+\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \Psi}{\partial x_{i}} X_{i}+\frac{\partial \Psi}{\partial y_{i}} Y_{i}+\frac{\partial \Psi}{\partial z_{i}} Z_{i}\right), \\
w_{1}=v+\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} X_{i}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial y_{i}} Y_{i}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \tilde{z}_{i}} Z_{i}\right) ;
\end{array}
\]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
тогда для определения $\lambda, \mu,
u, \ldots$ будем иметь уравнения:
\[
\begin{array}{c}
u_{1}+a \lambda+b \mu+c
u+\ldots=0 \\
v_{1}+a^{\prime} \lambda+b^{\prime} \mu+c^{\prime}
u+\ldots=0 \\
w_{1}+a^{\prime \prime} \lambda+b^{\prime \prime} \mu+c^{\prime \prime}
u+\ldots=0 \\
. \cdots . \cdots . \cdot .
\end{array}
\]

Вместо того, чтобы решать эти уравнения относительно $\lambda, \mu,
u, \ldots$ и из полученных таким образом значений выводить дифференцированием производные $\frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}, \frac{\partial \mu}{\partial x_{i}^{\prime}}, \ldots$, лучше непосредственно взять частные производныө от полученных линейных уравнений, что значительно упрощает выкладки. Именно величины $a, b, c, \ldots a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$, . . вовсе не содержат производных $x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime}$ п потому расематриваютея при этом дифференцировании кав цостоянные; дялее, величины $u_{1}, v_{1}, v_{1}$, … отличаются соонветственно от $u, v, w, \ldots$ только выржжениями, которые также не содержат производных $x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime}$, и ноэтому пмеют место равенства
\[
\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{i}^{\prime}}=\frac{\partial u}{\partial x_{i}^{\prime}}, \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{i}^{\prime}}=\frac{\partial v}{\partial x_{i}^{\prime}} \text { п т. д.; }
\]

такищ обравом получитея:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial x_{i}^{\prime}}+a \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}+b \frac{\partial u}{\partial x_{i}^{\prime}}+c \frac{\partial v}{\partial x_{i}^{\prime}}+\ldots=0, \\
\frac{\partial v}{\partial x_{i}^{\prime}}+a^{\prime} \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}+b^{\prime} \frac{\partial u}{\partial x_{i}^{\prime}}+c^{\prime} \frac{\partial
u}{\partial x_{i}^{\prime}}+\ldots=0, \\
\frac{\partial w}{\partial x_{i}^{\prime}}+a^{\prime \prime} \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}+b^{\prime \prime} \frac{\partial u}{\partial x_{i}^{\prime}}+c^{\prime \prime} \frac{\partial
u}{\partial x_{i}^{\prime}}+\ldots=0 .
\end{array}
\]

Функция $u$ определяется уравнением
\[
u=\sum \frac{\partial^{2} \varphi_{\varphi}}{\partial p_{i}^{2}} p_{i}{ }^{2}+2 \sum \sum \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial p_{i} \partial p_{k}} p_{i}{ }^{\prime} p_{k}{ }^{\prime},
\]

тде величины $p$ обозначают $3 n$ координат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ и где во второй сумме правой части $i$ отлично от $k$. Дифференцированием по $p_{i}^{\prime}$ найдем, тто
\[
\frac{\partial u}{\partial p_{i}^{\prime}}=2 \sum_{k=1}^{k=3 n} \frac{\partial^{2 \cdot s}}{\partial p_{i} \partial p_{k}} p_{k}{ }^{\prime} ;
\]

поставив вместо $p_{i}$ снова $x_{i}$ и вместо величин $p_{k}$ – величины $x_{k}, y_{k}, z_{k}$, ‘получим:
\[
\frac{\partial u}{\partial x_{i}^{\prime}}=2 \sum_{k=1}^{k=n}\left(\frac{\partial^{2 \cdot \rho}}{\partial x_{i} \partial x_{k}} x_{k}{ }^{\prime}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial y_{k}} y_{k}{ }^{\prime}+\frac{\partial^{2} \rho}{\partial x_{i} \partial z_{k}} z_{k}{ }^{\prime}\right) \text {. }
\]

Сумма справа есть полная провзводная от $\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}$ по $t$, так что имеем:
\[
\frac{\partial u}{\partial x_{i}^{\prime}}=2 \frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}}{d t} .
\]

В этом уравнении, как само собой разумеетея, можно писать $y$ или $z$ вместо $x$; далее можно писать $v, v$, … вместо $u$, но тогда надо подставить む, $\tilde{\oplus}, \ldots$ вместо
\[
\frac{\partial u}{\partial x_{i}^{\prime}}=2 \frac{d \frac{\partial \rho_{p}}{\partial x_{i}}}{d t} ; \quad \frac{\partial v}{\partial x_{i}^{\prime}}=2 \frac{d \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}}{d t} ; \quad \frac{\partial w}{\partial x_{i}^{\prime}}=2 \frac{d \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}}{d t}, \ldots
\]

и подобные же уравнения для частных производных, вгятых по $y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime}$. Таким путем вышенаписанные линейные уравнения для величин
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}{ }^{\prime}}, \quad \frac{\partial \mu}{\partial x_{i}{ }^{\prime}}, \quad \frac{\partial
u}{\partial x_{i}{ }^{\prime}} \cdots
\]

превратятся в следующие:
\[
\begin{array}{l}
2 \frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}}{d t}+a \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}+b \frac{\partial \mu}{\partial x_{i}^{\prime}}+c-\frac{\partial
u}{\partial x_{i}^{\prime}}+\ldots=0, \\
2 \frac{d \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}}{d t}+a^{\prime} \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}+b^{\prime} \frac{\partial \mu}{\partial x_{i}^{\prime}}+c^{\prime} \frac{\partial
u}{\partial x_{l}^{\prime}}+\ldots=0, \\
2 \frac{d-\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}}{d t}+a^{\prime \prime} \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}+b^{\prime \prime} \frac{\partial \mu}{\partial x_{i}^{\prime}}+c^{\prime \prime} \frac{\partial
u}{\partial x_{i}^{\prime}}+\ldots=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Чтобы решить эти линейные уравнения надо, как иввестно, составить ошределитель из величин
\[
\begin{array}{c}
a, b, c, \ldots \\
a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}, \ldots \\
a^{\prime \prime}, b^{\prime \prime}, c^{\prime \prime}, \ldots
\end{array}
\]

или, в сокращенных обозначениях, определитель
\[
R=\sum \pm a b^{\prime} c^{\prime \prime} \ldots
\]

тогда для определения $\frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}$ надо умножить вышенаписанные уравнения на
\[
\frac{\partial R}{\partial a}, \frac{\partial R}{\partial a^{\prime}}, \frac{\partial R}{\partial a^{\prime \prime}}, \ldots
\]

и сложить, после чего получим:
\[
0=R \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}+2 \frac{\partial R}{\partial a} \frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}}{d t}+2 \frac{\partial R}{\partial a^{\prime}} \frac{d \frac{\partial \Psi}{\partial x_{i}}}{d t}+2 \frac{\partial R}{\partial a^{\prime \prime}} \frac{d \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}}{d t}+\ldots
\]
‘очно тап же получим:
\[
\begin{array}{l}
0=R \frac{\partial \mu}{\partial x_{i}^{\prime}}+2 \frac{\partial R}{\partial b} \frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}}{d t}+2 \frac{\partial R}{\partial b^{\prime}} \frac{d \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}}{d t}+2 \frac{\partial R}{\partial b^{\prime \prime}}-\frac{d \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}}{d t}+\ldots, \\
0=R \frac{\partial
u}{\partial x_{i}^{\prime}}+2 \frac{\partial R}{\partial c} \frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}}{d t}+2 \frac{\partial R}{\partial e^{\prime}} \frac{d \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}}{d t}+2 \frac{\partial R}{\partial c^{\prime \prime}} \frac{d-\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}}{d t}+\ldots,
\end{array}
\]

Подобные же уравнения имеют место для производных от $\lambda, \mu,
u, \ldots$, взятых по $y_{i}^{\prime}$ и $z_{i}^{\prime}$. Значения всех этих производных надо подставить в выше данное выражение для $\frac{d \lg M}{d t}$, которое можно расположить таким образом:
\[
\frac{d \lg M}{d t}=\left\{\begin{array}{l}
-\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}+\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \mu}{\partial x_{i}^{\prime}}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} \frac{\partial v}{\partial x_{i}^{\prime}}+\ldots\right) \\
-\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \frac{\partial \lambda}{\partial y_{i}^{\prime}}+\frac{\partial \psi}{\partial y_{i}} \frac{\partial \mu}{\partial y_{i}^{\prime}}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial y_{i}} \frac{\partial
u}{\partial y_{i}^{\prime}}+\ldots\right) \\
-\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \frac{\partial \lambda}{\partial z_{i}^{\prime}}+\frac{\partial \psi}{\partial z_{i}} \frac{\partial \mu}{\partial z_{i}^{\prime}}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial z_{i}} \frac{\partial
u}{\partial z_{i}^{\prime}}+\ldots .\right)
\end{array}\right.
\]

Тогда мы получим для произведения $R$ на первую из трех сумм правог్ части следующее выражение:
\[
\begin{array}{l}
-R \sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \lambda}{\partial x_{i}^{\prime}}+\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}^{\prime}} \frac{\partial \mu}{\partial x_{i}^{\prime}}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} \frac{\partial v}{\partial x_{i}^{\prime}}+\ldots\right)= \\
=2 \frac{\partial R}{\partial a} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}}{d t}+2 \frac{\partial R}{\partial a^{\prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}}{d t}+ \\
+2 \frac{\partial R}{\partial a^{\prime \prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}}{d t}+\ldots \\
+2 \frac{\partial R}{\partial b} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}}{d t}+2 \frac{\partial R}{\partial b^{\prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \frac{d-\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}}{d t}+ \\
+2 \frac{\partial R}{\partial b^{\prime \prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}}{d t}+\ldots \\
+2 \frac{\partial R}{\partial c} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}}{d t}+2 \frac{\partial R}{\partial c^{\prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}}{d t}+ \\
+2 \frac{\partial R}{\partial c^{\prime \prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}}{d t}+\ldots \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Но элементы определителя $R$, как мы видели, стоят в таком отношении друг в другу, что
\[
b=a^{\prime}, \quad c=a^{\prime \prime}, \quad c^{\prime}=b^{\prime \prime}, \ldots
\]

и отсюда, на основании известной теоремы о решении линейных уравнений, следуют соотношения:
\[
\frac{\partial R}{\partial b}=\frac{\partial R}{\partial a^{\prime}} ; \quad \frac{\partial R}{\partial c}=\frac{\partial R}{\partial a^{\prime \prime}} ; \quad \frac{\partial R}{\partial c^{\prime}}=\frac{\partial R}{\partial b^{\prime \prime}} ; \ldots
\]

Принимая это во внимание, можно правой части вышенаписанного равенствє придать также вид:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial R}{\partial a} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+2 \frac{\partial R}{\partial a^{\prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}+ \\
+2 \frac{\partial R}{\partial a^{\prime \prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}+\ldots \\
+\frac{\partial R}{\partial b^{\prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \Psi}{\partial x_{i}}+2 \frac{\partial R}{\partial b^{\prime \prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}+\ldots \\
+\frac{\partial R}{\partial c^{\prime \prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}+\ldots
\end{array}
\]

или написав снова вместо
\[
2 \frac{\partial R}{\partial a^{\prime}}, 2 \frac{\partial R}{\partial a^{\prime \prime}}, 2-\frac{\partial R}{\partial b^{\prime \prime}}, \ldots
\]

юответственно
\[
\frac{\partial R}{\partial a^{\prime}}+\frac{\partial R}{\partial b} ; \quad \frac{\partial R}{\partial a^{\prime \prime}}+\frac{\partial R}{\partial c} ; \quad \frac{\partial R}{\partial b^{\prime \prime}}+\frac{\partial R}{\partial c^{\prime}} ; \ldots,
\]

гаюй вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial R}{\partial a} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d l} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{\partial ?}{\partial x_{i}}+\frac{\partial R}{\partial a^{\prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t}-\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{i}}+ \\
+\frac{\partial R}{\partial a^{\prime \prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial o}{\partial x_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}+\ldots \\
+\frac{\partial R}{\partial b} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \frac{\partial ?}{\partial x_{i}}+\frac{\partial R}{\partial b^{\prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}+ \\
+\frac{\partial R}{\partial b^{\prime \prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \Psi}{\partial x_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}}+\ldots \\
+\frac{\partial R}{\partial c} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial R}{\partial c^{\prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d l} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}+ \\
+\frac{\partial R}{\partial c^{\prime \prime}} \sum \frac{1}{m_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x_{t}}+\ldots \\
+ \text {. . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Еели подставим аналогичные значения для двух других сумм, входящих в $\frac{d \lg M}{d t}$, и вспомним знатения $a, a^{\prime}, a^{\prime \prime}, \ldots, b, b^{\prime}, b^{\prime \prime}, \ldots, c, c^{\prime}, c^{\prime \prime}, \ldots$, то молучим:
\[
\begin{aligned}
R \frac{d \lg M}{d t} & =\frac{\partial R}{\partial a} \frac{d a}{d t}+\frac{\partial R}{\partial a^{\prime}} \frac{d a^{\prime}}{d t}+\frac{\partial R}{\partial a^{\prime \prime}} \frac{d a^{\prime \prime}}{d t}+\ldots \\
& +\frac{\partial R}{\partial b} \frac{d b}{d t}+\frac{\partial R}{\partial b^{\prime}} \frac{d b^{\prime}}{d t}+\frac{\partial R}{\partial b^{\prime \prime}} \frac{d b^{\prime \prime}}{d t}+\ldots \\
& +\frac{\partial R}{\partial c} \frac{d c}{d t}+\frac{\partial R}{\partial c^{\prime}} \frac{d c^{\prime}}{d t}+\frac{\partial R}{\partial c^{\prime \prime}}-\frac{d c^{\prime \prime}}{d t}+\ldots \\
& +\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot . \cdot . \\
& =\frac{d R}{d t}
\end{aligned}
\]
rak qтo
\[
R \frac{d \lg M}{d t}=\frac{d R}{d t}
\]

отбрасывая постоянный множитель, найдем, что
\[
M=R \text {. }
\]

Из особенностей формы величин $a, a^{\prime}, a^{\prime \prime}, \ldots, b, b^{\prime}, b^{\prime \prime}, \ldots, c, c^{\prime}$, $e^{\prime \prime}, \ldots$ можно вывести замечательное представление их определителя. Выше мы положили
\[
\begin{array}{l}
a=(\varphi, \uparrow) ; \quad a^{\prime}=(\stackrel{\varphi}{\varphi}) ; \quad a^{\prime \prime}=(\varphi, \tilde{\omega}), \ldots \\
b=(\psi, 0) ; \quad b^{\prime}=(\psi, \psi) ; \quad b^{\prime \prime}=(\psi, \tilde{\omega}), \ldots \\
c=(\tilde{\omega}, \wp) ; \quad c^{\prime}=(\tilde{\omega}, \circlearrowright) ; \quad c^{\prime \prime}=(\tilde{\omega}, \tilde{\omega}), \ldots \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

где величины в скобках образованы аналогично выражению
\[
(\stackrel{\oplus}{\psi}, \psi)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial ?}{\partial x_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial ?}{\partial y_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}}+\frac{\partial ?}{\partial z_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial z_{i}}\right) .
\]

Эти суммы можно предетавить несколько проще, ељли, подобно тому как в начале этой лекции (етр. 117), все $3 n$ координат обсзнұчить одной буквой, снабженной $3 n$ значками. Езли мы вмезто самих координат введем пропорциональные им величины и положим
\[
\sqrt{m_{i}} x_{i}=\xi_{3_{i-2}} ; \quad \sqrt{m_{i}} y_{i}=\xi_{3_{i-1}} ; \quad V m_{i} z_{i}=\xi_{3_{i}},
\]

так что $3 n$ величин $\sqrt{m_{i}} x_{i}, \sqrt{m_{i}} y_{i}, \sqrt{m_{i}} z_{i}$, будут тождественны с $3 n$ величинами $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots \xi_{3 n}$, то выракение $(\varphi, \psi)$ представится в форме:
\[
(\varphi, \psi)=\sum \frac{\partial \varphi}{\partial \xi_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial \xi_{i}},
\]

где суммирование проивводится от $i=1$ до $i=3 n$. Определители, элементы которых составлены указанным здесь образом, могут быть предетавлены как сумы квадратов. (См. мою статью: „De formatione et proprietatibus determinantium\”, Crelles Journal, Bd. 22, стр. 285.) Если $m$ ееть чизло мезто для механической задачи, и если образовать все возможные определители вида
\[
\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \stackrel{\rightharpoonup}{\varphi}}{\partial \xi_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial \xi_{i^{\prime}}} \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \xi_{i^{\prime \prime}}} \cdots \frac{\partial \zeta}{\partial \xi_{i}(m-1)},
\]

мде $i, i^{\prime}, i^{\prime \prime}, \ldots i^{(m-1)}$ обозначают $m$ равличных чисел из ряда $1,2, \ldots$ $3 n$, то сума квадратов этих определителей равна $R$. В вышеукаванной статье я дал прекралное применение этой теоремы, вшервые опубликованной Коши, * к методу наименњих квадратов. В случае, когда точка двигается по данной поверхности, уравнение этой поверхности $\emptyset=0$ есть единственное уеловие; поэтому частные определители, из квадратов которых может быть составлен $R$, щриводятся к
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial \xi_{1}}=\frac{1}{\sqrt{m_{1}}} \frac{\partial \varphi}{\partial m_{1}}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial \xi_{2}}=\frac{1}{\sqrt{m_{1}}} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{1}}
\]

и
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial \xi_{3}}=\frac{1}{\sqrt{m_{1}}} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{1}},
\]

так что
\[
R=\frac{1}{m_{1}}\left\{\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z_{1}}\right)^{2}\right\} .
\]

Случай $m=3 n$, который конечно не встречается в механике (так как $m$ – число условных уравнений – самое болышее может быть равно $3 n-1$ ), еэть простейший в отношении теоремы об определителях, так как тогда определи. тель $R$ сводитея к одному единетвенному квадрату.
Уравнение
\[
M=R=\Sigma \pm a b^{\prime} c^{\prime \prime} \ldots
\]

дает нам для системы, связанной какими угодно уеловиями, и для первой лагранжевой формы дифференциальных уравнений множитель этой сиэтемы; вместе с этим, при прецположении, что извезтны все интегралы кроме одного, получаетея также последний множитель.
* Journal de l’école polytechnique, cah. 17.