После того как мы свели механические задачи и интегрированию одного нелинейного уравнения в частных производны первого порядка, мы должны заняться ивтегрированием этого уравненя, т. е. разысканием его полного ренения.

В третьей части Интегрального иечисления Эйлера встречаютея прекрасные исследования относительно интегрирования уравнений в частных производных.

Хотя он рассматривает всегда только частные елучаи, но он их подбирает так удачно, что позже найденный общий метод по больщей части прио́авляет к его результатам очень мало чли ничего. Работы Эйлера имеют вообще ту большую заслугу, что им везде ириведены по возможнфсти все случаи, в которых задачи могут быть репены полностью с помощью данных способов и средств. Поэтому его принеры дают всегда полное содержание его метода согласно тогдаинему состоянию науки и, как правило, когда удается к примерам Эйлера присоединить какой-нибудь новый прияер, то это являетея обогащениен науки, так как от него редко ускользал елучай, разрешимый при помощи его способов.

Лагранж дал свой общий метод интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, являющийся совершенно новой иыслью в иітегральном исчислении, в одной статье, помещенной в трудах берлинекой академии в 1772 году. В этой статье содержится приведение нелинейных уравнений в частных производных первого порядка к линейным; устанав.ииваютея понятия полных и общих репений, причем последние выводятея и: первых, и даютея методы для нахождения полных решений. Но всё ограииqивается только случаем трех переменных, из которых две не зависят друг от друга. Метод Лагранжа заключается в следующем:
Пусть дано уравнение в частных производных первого порядка
\[
\Psi(x, y, z, p, q)=0,
\]

где $x$ и $y$ независимые переменные, $z$ зависимая и
\[
\boldsymbol{p}=\frac{\partial z}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial z}{\partial y} .
\]

так что между дифференцилами трех переменных существует соотношение
\[
d z=p d x+q d y .
\]

Пусть предложенное дифференцильное травнение, будучи решено относительно $q$, дает
\[
y=\psi(x, y, z, p)
\]

тогда имеем:
\[
d z=p d u+\chi(x, y, z, p) d y .
\]

Чтобы найти полное решение $z$, т. е. решение, содержащее две произвольные постоянные, очевидно необходимо только найти значение $p=\tilde{\omega}(x, y, z, a)$, которое, будучи подетавлено в внражение $p d x+\chi d y$, обращает его в по.тный дифференцил, после чего остается определить $z$ из уравнения $d z=p d x+q d y$. Последняя операция требует интегрирования одного обыкновенного дифференциального уравнения нервого поряцка, благодаря чему в $z$ войдет, кроме $a$, вторая постоянная $b$. Эначит все дело состоит в определении $p$ как функции $\tilde{\omega}$ от $x, y, z$ и от произвольной постоянной $a$ таким образом, чтобы выражение $p d x+\chi(x, y, z, p) d y$ было полным дифференциалом. Для этого необходимо, чтобы при дифференцировании $p$ по $y$ получалось то же значение, что и при дифференцировании $\%$ по $x$, т. е. должно быть выполнено уравнение
\[
\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial p}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial \chi}{\partial x}+\frac{\partial \chi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial \chi}{\partial \boldsymbol{p}}\left(\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}\right)
\]
и.าи
\[
\frac{\partial \boldsymbol{\chi}}{\partial x}+\frac{\partial \%}{\partial z} p=-\frac{\partial \chi}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial y}+\left(\%-\frac{\partial \chi}{\partial p} p\right) \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial z} .
\]

Так как $\%$ есть известная функция от $x, y, z, p$, то это есть линейнос гравнение в частных пропзводных относительно $p$, содержащее три независимых переменных $x, y$, $z$; таким образом предложенная задача сводится к тому, чтобы найти для этого линейного уравнения с частными производными одно решение $p=\bar{\omega}(x, y, z, a)$ с одной произвольной постоянвой $a$. То обстоятельство, что требуетея знать только одно такое решение, было отмечено Тагранжем.

Рассмотрим теперь только тот случаӥ, когда $\Psi$, а потому также и \% не содержат самого $z$, т. е. когда предгоженное уравнение в частных производных имеет более простую форму:
\[
\Psi(x, y, p, q)=0 .
\]
$\mathrm{B}$ птом стучае монно опредетит $p$ также как функци от $x, y, a$ без $z$, так что выражение $p d x+\% d$ б будет полным дифференцилом. Так как теперь иечезают как $\frac{\partial \%}{\partial z}$, так и $\frac{\partial / \gamma}{\partial z}$, то линейное уравнение в частных производнюх для $p$ приводитея к следующему:
\[
\frac{\partial \chi}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial \ell}{\partial x}=0 .
\]

Но вместо того, чтобы предшолагать данное уравнение в частих производных (1) решенным относительно $q$, мы будем в дальнейших въчислениях обычно брать его в его первоначальном виде.

Представия себе далее, что травнение $p=\tilde{0}(x, y, a)$ решено не отосительно $p$, но относительно $a$, т. е. приведено к виду
\[
f(x, y, p)=a \text {; }
\]

тогда мы должны будем воспользоваться формулами:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \gamma}{\partial x}=\frac{\partial q}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial \Psi}{\partial \Psi}}{\frac{\partial \Psi}{\partial q}}, \frac{\partial \gamma}{\partial y}=\frac{\partial q}{\partial p}=-\frac{\frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol{p}}}{\frac{\partial \Psi}{\partial q}}, \\
\frac{\partial p}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial p}} ; \frac{\partial p}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial p}} .
\end{array}
\]

Если мы -подставим эти значения в вышенаписанное линейное уравнение в чаетных производных для $p$, то оно преобразуется в следующее линейное уравнение в частных производных для $f$ :
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial p} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial \Psi}{\partial q} \frac{\partial f}{\partial i}-\frac{\partial \Psi}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial p}=0 .
\]

Если для этого уравнения известно одно решение $f$, не содержащее постоянной величины, то в рассматривавмом случае для определения полного решения $z$ уравнения (1) не требуется никакого интегрирования дифференциального уравнения. В самом деле, если это решение $f$ положить равным произвольной постоянной $a$ и определить из уравнения
\[
f(x, y, p)=a \text {, }
\]

в сюединении с предложенным дифференциальным уравнением
\[
\Psi(x, y, p, q)=0,
\]
p) и $q$ как фунцции от $x$ и $y$, то эти фушнци будут обладать тем евойотвом что $p d x+q d y$ будет полным дифференциалом, так как требуемое для этого условие (2) выполнено и ыы получаем поэтому $z$ простой квадратурой из формулы
\[
z=\int(p d x+q d y)
\]

таким образом вторал произвольная постоянная, содержащаяся в полном решении $z$, связана с $z$ аддитивно, что можно было предвидеть, так как в уравнении (1) отеутетвует само $z$.

Итак всё сводится только к тому, чтобы найти одно репение линейного уравнения в частных производных (2), в котором частные производные $\frac{\partial \Psi}{\partial p}$, $\frac{\partial \Psi}{\partial q}, \frac{\partial \Psi}{\partial x}$ предполагаются выраженными при посредетве уравнения (1) как функции от $x, y$ и $p$, без $q$. Но, каг известно, это линейное уравнение в частных производных (2) есть не что иное, *) как уравнение, определяющее те функции $f$ от $x, y, p$, которые, будучи приравнены постоянной $a$, дают интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
\[
d x: d y: d p=\frac{\partial \Psi}{\partial p}: \frac{\partial \Psi}{\partial q}:-\frac{\partial \Psi}{\partial x} .
\]

Веё исследование таким образом сводится к тому, чтобы найти один интеграл системы обывновенных дифференциальных уравнений (3).
*) См. десятую лекцию, етр. 66.

Мы можем еще дополнить эту систему, разыскав при помощи уравнения $\Psi=0$ величину, которой пропорционален $d q$. Дифференцирование уравнения $\Psi=0$ дает:
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial x} d x+\frac{\partial \Psi}{\partial y} d y+\frac{\partial \Psi}{\partial p} d p+\frac{\partial \Psi}{\partial q} d q=0 ;
\]

що из дифференциальных уравнений (3) мы имеем пропорцию
\[
d x: d p=\frac{\partial \Psi}{\partial p}:-\frac{\partial \Psi}{\partial x},
\]

так что $\frac{\partial \Psi}{\partial x} d x+\frac{\partial \Psi}{\partial p} d p$ само шо себе обращается в нуль; поэтому должно также само по себе обращаться в нуль выражение $\frac{\partial \Psi}{\partial y} d y+\frac{\partial \Psi}{\partial q} d q$, п мы получин:
\[
d y: d q=\frac{\partial \Psi}{\partial q}:-\frac{\partial \Psi}{\partial y} .
\]

Шоэтом написанная полностью система (3) имеет вид:
\[
d x: d y: d p: d q=\frac{\partial \Psi}{\partial p}: \frac{\partial \Psi}{\partial q}:-\frac{\partial \Psi}{\partial x}:-\frac{\partial \Psi}{\partial y} .
\]

Этот результат симметричен с одной стороны относительно $x$ и $p$, с другой стороны, – относительно $y$ и $q$, откуда вытекает справедливость произведенного вычисления. Эта система становится на место системы (3), если мы обобщим метод интегрирования, введя в функцию $f$ также $q$. Действительно, мы можем рассматривать уравнение $f(x, y, p)=a$ как результат исключения $q$ из двух уравнений:
\[
F(x, y, p, q)=a
\]

и
\[
\Psi(x, y, p, q)=0,
\]

так что, еели, как прежде, $\%$ обовначает значение $q$, получающееся как решение уравнения $\Psi=0$, то вышолняется тождественно равенство:
\[
F(x, y, p, \chi)=f(x, y, p) .
\]

Поэтому $F(x, y, \boldsymbol{p}, \%)$ доджно удовлетворять линейному уравнению в частных производных (2), что веде́т для $F$ к дифференциальному уравнению:
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial \Psi}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial \Psi}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial p}+\frac{\partial F}{\partial \chi}\left(\frac{\partial \Psi}{\partial p} \frac{\partial \chi}{\partial x}+\frac{\partial \Psi}{\partial q} \frac{\partial \chi}{\partial y}-\frac{\partial \Psi}{\partial x} \frac{\partial \chi}{\partial p}\right)=0 .
\]

Но так как $\%$ удовлетворяет тождественно уравнению $\Psi(x, y, p, y)=0$, то мы имеем:
\[
\frac{\partial \%}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial \Psi}{\partial x}}{\frac{\partial \Psi}{\partial \%}}, \quad \frac{\partial \%}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial \Psi}{\partial \Psi}}{\frac{\partial \Psi}{\partial \gamma}}, \quad \frac{\partial \%}{\partial p}=-\frac{\frac{\partial \Psi}{\partial \Psi}}{\frac{\partial \Psi}{\partial \gamma}}
\]

Благодаря этому выражение, на ьоторое в левий части шрелытгщего ура внения множится $\frac{\partial \%}{\partial \%}$, нревращаетея в – $\frac{\partial \psi}{\partial y}$, и мы иотчаем уравнение
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial \Psi}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial \Psi}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial p}-\frac{\partial \Psi}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial q}=0 \text {, }
\]

откуда вытекает, что выражение $F=a$ на самом неле будет пнтегра.ом результат исключения $q$ из уравнений $F(x, y, p, q)=a$ и ч’ $(x, y, p, q)=0$, то из уравнений $F(x, y, p, q)=a$ и $\Psi(x, y, p, q)=0$ следуют те же значения. для $p$ и $q$, как и из уравнений $f(x, y, p)=a$ и $\Psi(x, y, p, q)=0$. Если. кроме того, принять во внимание, что $\Psi^{\prime}=0$ есть интеграл дифференцильных чравнений (4), притом общий при условии, что в функии ‘І содержится постоянная, входящая в нее аддитивпо, и частный в противном случае, то нолученные результаты ножно соединить в следующую теорему:
IIусть дано уравнекие в частиых производных
\[
\Psi(\alpha, y, p, q)=0,
\]
енений:
\[
d x: d y: d p: d q=\frac{\partial \Psi}{\partial p}: \frac{\partial \Psi}{\partial q}:-\frac{\partial \Psi}{\partial x}:-\frac{\partial \Psi}{{ }^{\prime \prime} y} .
\]

Если для этой системы, кроме данного а ргіогі интеграла $\Psi=0$ : известен еще второй интеграл
\[
F^{\prime}(x, y, p, q)=a,
\]
детея простой гвадратурой фо форуле
\[
z=\int(p d x+q d y) \text {. }
\]

Уравнения (4) имеют ту же форму, кақ и дифференциатьные уравнения движения, только на месте величин $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}, \psi+\alpha$, $W$ зесь стоят величины $x, y, p, q, \Psi, z$. Следовательно мы получим новое интегральное уравнение для системы (4), если продифференцируем $z$ по входящей в него цроиввольной постоянной и результат положим равным другой пронзвольной постоянпой. Такой входящей в $z$ постоянной являетея $a$, ноэточу уравнение
\[
\frac{\partial z}{\partial a}=\int\left(\frac{\partial p}{\partial a} d x+\frac{\partial q}{\partial a} d y\right)=b
\]

есть третий интеграт системы (4). То обстоятельство, что мы прини к этом интегралу путем простой квадратуры, предетавляет значптельню выгоду; вытекающую из приведения системы обыкновенных дифференциалыных уравнений (4) к уравшению в частных шронзводных (1). Если мы, чтобы полностю провести аналогию с пифференциалыим уравнениями цвижения. присоединим к пропорции (4) с левой стороны $d t$, а с праної 1. то $t$, как мь видели в предыдущей лекци, огределтся из уравнения
\[
\frac{\partial z}{\partial \alpha}=\int\left(\frac{\partial p}{\partial \alpha} d x+\frac{\partial q}{\partial \alpha} d_{!}\right)=-\cdots,
\]

Носле того как Гамильтон привел дифференциальные уравнения динамики к уравнению в частных пропзводных первого порядка, достаточно было применить $к$ этому последнему методы, известные уже 65 лет, чтибы получить важный резултат для всех задач механики, содержащих толью две искомые величины $q_{1}$ и $q_{2}$.

Если для рассатриваемых механических задач имеет место теорема живой сиыы, то функция $џ$ в $у$ равнении $0=\Psi=\alpha-\zeta$ имеет значение
\[
\psi=\%-l ;
\]

уравнение
\[
T=L-\alpha,
\]

выражающее теорему живой силы, в котором $U$ есть фунция только от $q_{1}$, $q_{2 s}$ а $T$-функция от $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}$, переходит, после подстановки значений $r_{1}=\frac{\partial W}{\partial q_{1}}, p_{2}=\frac{\partial W}{\partial q_{2}}$, в гравнение в частных производных для $W$, и дифференцианьне уравнения движения бухут:
\[
d t: d q_{1}: d q_{2}: d p_{1}: d p_{2}=1: \frac{\partial \Psi}{\partial p_{1}}: \frac{\partial p_{1}}{\partial p_{2}}:-\frac{\partial \Psi}{\partial q_{1}}:-\frac{\partial \psi}{\partial q_{2}} .
\]

Іччеть второй свободный от $t$ интеграл этого уравнения, необходимый для орределения полного решения ${ }^{1}$, будет
\[
f^{\prime}\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, \mu_{2}\right)=a
\]

тигла имеем:
\[
W=\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}\right) .
\]

Третий свободный от $t$ интеграл дифферевциальных уравнений движения есть
\[
\frac{\partial W}{\partial a}=b,
\]

п $t$ вводится при помощи уравнения
\[
\frac{\partial J}{\partial \alpha}=\tau-t .
\]

ђтот резуытат ножно выразить независимо от теории уравнений в частны производных следующим образом:

Если для некоторой задачи механики, содержащей только две искомые не.ични $q_{1}$ \” $q_{2}$ имеет: место теорема живой силь $T=U-\alpha$ известен кроме того ене один интеграл $\boldsymbol{F}\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=$ c, где $p_{1}=\frac{\partial T}{\partial q_{1}{ }^{\prime}}, p_{2}=\frac{\partial T}{\partial q_{2}{ }^{\prime}}$,
\[
\begin{array}{l}
\int\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial a} d q_{1}+\frac{\partial p_{2}}{\partial a} d q_{2}\right)=b ; \\
\int\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial \alpha} d q_{1}+\frac{\partial p_{2}}{\partial \alpha} d q_{2}\right)=\tau-t,
\end{array}
\]
онфференцильных уравнений движния, п. е. системь то совеен новые формулы: они ичеют место напричер для движения тоцк на плоскости или на кривой поверхности, если осуществляется теорена живой силы.

Для евободного движения на плоскости мы имеем, если маса толки будет положена равной единице, уравнения
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{\partial L^{2}}{\partial r}: \frac{d^{2} y}{d l^{2}}=\frac{\partial U}{\partial !}: T=\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right) .
\]

и теорема живой силы согержится в интеграле
\[
\frac{1}{2}\left(y^{\prime 2}-y^{\prime 2}\right)=i-\% .
\]

Еели мы знаем второй интеграл. т. е. второе уравнение. согласно которсму некоторая функция от $x, y, x^{\prime}, y^{\prime}$ равна произвольной постоянной величине $a$, и если эы определим из обоих уравнениї $r^{\prime}$ ч $y^{\prime}$ как функци ő $r, \alpha, \alpha$, то ураввение траектории будет
\[
\int\left(\frac{\partial r^{\prime}}{\partial a} d r+\frac{\partial y^{\prime}}{\partial a} d y\right)=b
\]

а время выразится при помощи уравнения
\[
\int\left(\frac{\partial x^{\prime}}{\partial x} d x+\frac{\partial y^{\prime}}{\partial x} d y\right)=-1 .
\]

Эти формулы я сооб́щил уже в 1836 году парижской академии как щростейний результат приведения механических задач к уравнениям в частных производных. Они заслуживают быть помещенными в учебника по механике. в виду того интереса, который они вызывают, а также потому, что они относятея і самым элементарным случаям механики. В политехническх нколах они вопли уже в курс обучения. Іуассон дал в журнале Тпувиля *) их доказательетво или скорее их проверку.

Второй случай, заключащиїея в вышешриведенных формулах. есть тor, когда точка двигаетея по данной поверхности только под влиянием начального толча. Такая точка описывает кратчайшую линию, онределение которой зависит от дифференциального уравнения второго порядка. Из предыдүщих рассуждений вытекает, что если мы знаещ один интеграл этого дифференциального уравнения, то мы можем простой квадратурой вывести отсюда уравнение траекторпи, связывающее чежду собой только координаты. Так taк в этом слччае силовая функци $L^{r}$ обращаетея в нуль, то уравнение в частных производных о́удет
\[
T+\alpha=0 \text {. }
\]

Ееии $x, y . z$-координаты движущейся точки, то
\[
2 T=\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}=\frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{d t^{2}} .
\]

Расемотрим $x, y$ как искомые величины, выше обозначенные через $q_{1} \cdot q_{2}$ : тогда мы должны подетавить в приведенное равенство значение
\[
d z=p d x+q d y .
\]

получаемое из уравнения поверхности, после чего найдем:
\[
2 T=\frac{d x^{2}-d y^{2}+(p d x+q d y)^{2}}{d t^{2}}
\]
*) Bi. 2, crp. 335 .

man
\[
2 T=x^{2}+y^{2}+i y^{\prime}+y^{\prime} y^{2} .
\]

Ilyen $t, 6$,
llosara
\[
x^{2}=1+p^{2}+p^{2}
\]
\[
2 r=\frac{\partial r}{\partial r^{\prime}} x^{\prime}+\frac{\partial r}{\partial r^{\prime}} y^{\prime}-t r^{\prime}+v^{\prime} .
\]
sumincorte. xe peayantry.