Мы можем теперь дальнейшее иселедование для случая $n-1$ шереженных вести точно так же, как это было сделано в десятой леьции для трех переменных. Раскрывая уравнение в частных проияводных для множителя $M$, получаем:
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial M}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial M}{\partial x_{n}}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right\} M=0 .
\]

Ксли это дифференциальное уравнение удовлетворяетея другой величитой $\lambda$, то имеем:
\[
X \frac{\partial N}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial N}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial N}{\partial x_{n}}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial \Lambda_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right\} N=0 .
\]

умножим второе из этих уравнений на $\frac{1}{M}$, первое-на $\frac{N}{M^{2}}$ и пычтем одео нз хругого; тогда нолучим:
\[
X \frac{M \frac{\partial N}{\partial x}-N \frac{\partial M}{\partial x}}{M^{2}}+X_{1} \frac{M \frac{\partial N}{\partial x_{1}}-N \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{1}}}{M^{2}}+\ldots+\mathrm{X}_{n} \frac{M \frac{\partial N}{\partial x_{n}}-N M^{2}}{M^{2}}=0
\]

и:ги
\[
x \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial x}+x_{1} \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial x_{1}}+\ldots+x_{n} \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial x_{n}}=0,
\]
т. е. $\frac{N}{M}$ есть решение уравнения
\[
X \frac{\partial f}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial f^{\prime}}{\partial x_{n}}=0 .
\]

Для полного интегрирования такого уравнения необходиио званве $n$ мруг от друга независимых решений $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{w}$, т. е. $n$ функций $f_{1}$, $f_{2}, \ldots f_{n}$, удовлетворяющих уравнениям
\[
\begin{array}{l}
X \frac{\partial f_{1}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}=0 \\
X \frac{\partial f_{2}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}=0 \\
\cdot \cdot \frac{\partial f_{n}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial \dot{f}_{n}}{\partial x_{n}}=0
\end{array}
\]

причем нв одна из этих и функций не будет фупкцией от остальных. Если. такне $n$ функций известны, то самое общее решение будет:
\[
F\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right) \text {. }
\]

Это доказываем, умножая вышестояцие н уравнений соответственно па $\frac{\partial F^{\prime}}{\partial f_{1}}$ $\frac{\partial F}{\partial f_{2}}, \ldots \frac{\partial f^{\prime}}{\partial t_{n}}$ и затем складывая их. Что касаетея $u+1$-го ренения $t_{n^{\prime}+1}$, независимого ол остальных $n$, то его не существует; действительно, прецноюжим, что такое ренение есть, тогда, согласно только-что прииененному способу заключения, юледует, тто всякая фунция от тти $n+1$ решений
\[
\stackrel{\rightharpoonup}{*}\left(f_{1}^{*}, f_{2}^{\prime}, \ldots t_{n}^{\prime}, t_{n+1}^{+}\right)
\]

тоже будет ренением. Но так как $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}, t_{n+1}$ преднолагаются взаимно независизыми, то их можно взять за новые геременные вместо $x, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, а потому шронзвольная функция от $f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime}, \ldots f_{n}^{\prime}, f_{n+1}^{\prime}$ равнозначаща с пронзвольной функцией от $x, x_{1}, \ldots x_{n}$. Ноэтому рассматриваемому дифференциальному уравненню для $f$ удовлетворяла бы всякая произвольная фунцция от $x, x_{n}, \ldots x_{n}$, что невозможно. Итак могут еуңествовать только $n$ пруг от друга независимих решений $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}^{*}$.

Әти $n$ решений уравпений в частных иронзводных (2) имеют свойство юбрацаться в постоянше величины велететвие интегральы уравнений системы обыкновенных дифферепцильны үравнениї
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n}=X: X_{1}: \ldots: X_{n} .
\]

Цейьтительно, в виду того, что эти интегральные уравнения делают величини $X, X_{1}, \ldots X_{n}$ пропорцинальными дифференциалам $d x, d x_{1}, \ldots d x_{n}$ ножно в уравнении с частными пропзвогпнми
\[
X \frac{\partial f_{i}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{n}}=0,
\]
пропорциональными им дифференциалами $d x, d x_{1}, \ldots d x_{n}$, и тогда получится
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial x} d x+\frac{\partial f_{i}}{\partial r_{1}} d x_{1}+\ldots-\frac{\partial f_{i}}{\partial r_{n}} d r_{n}=0
\]

เ.นห
\[
d f_{i}=0
\]

эедовательно
\[
t_{i}=\text { const. }
\]

Іредполагая, что постояные, которым толжны быть равны $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{i}$. цредставляют собою $n$ друг от друга невависииых шроизвольных ностоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$, нолучим самое общее интегрирование, которое возможно для дифференциалых уравпений (3), и таки образом выражения
\[
i_{1}=\alpha_{1} ; \quad f_{2}=\alpha_{2} ; \ldots t_{i}=\alpha_{i} ; \ldots f_{n}=\alpha_{n}
\]

образуют нолную систему нтегралов этих дифференциальных уравненвй, репенную относнтельно пропввольных постоннных. Обратно, если полное интегрирование дифференциальны уравнений (3) будет произведено посредстояндыия, т. е. при понощн $n$ уравпений, обладающи свойством, что из них невозможно вывести результат иежючения, свободный от всех $n$ но’тоянных, и если решение этих и уравнений относительно постояншы дает дая этих носледиих вначення
\[
f_{1}=\alpha_{1} ; \quad f_{2}=\alpha_{2} ; \ldots f_{i}^{\prime}=\alpha_{i} ; \ldots f_{n}=\alpha_{n},
\]
g:

то, пифференцируя, получия:
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial x} d x+\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\ldots+\frac{\partial f_{i}^{\prime}}{\partial x_{n}} d x_{n}=0 .
\]

Но так как $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{n}=\alpha_{n}$ образуют полную систему интегралов дифференциальных уравнений (3), то дифференцилы $d x, d x_{1}, \ldots d x_{n}$ цронорциональны величивам $X, X_{1}, \ldots X_{n}$, так что
\[
X-\frac{\partial f_{i}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n}-\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{n}}=0,
\]
т. е. $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$ являютея решениями уравнения (2).

Таким образом совершенно одно и то же, сказать ли: $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$ представляют собою $n$ друг от друга независимых решений уравнения в частных производных (2), нли скавать: $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{n} \leftrightharpoons \alpha_{n}$ образуют полную систему инлегралов дифференцильных уравнений (3).
Палее, мы видели, что
\[
I\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}\right)
\]

есть самое общее решение уравнения (2) и что $\frac{N}{M}$ удовлетворяет этому же ұравнению. Отсюда следует, что если $M$ есть некоторое определенное решение уравнения (1) и $N$ – аакое-нибудь другое решение, то $\frac{N}{M}$ должно быть функциё̈ от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$. Это дает:
\[
N=M F\left(f_{1}, f_{2}^{\prime}, \ldots f_{n}^{\prime}\right)
\]
т. е., если $M$ есть оин из множителей, то выражение
\[
M F\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}\right)
\]

есть общая форча, в которой содержатея все множители. Но при посресстве интегральных уравнений системы (3) получим $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{n}=\alpha_{n}$; таким образом при иепользовании ннтегральных уравнений ьтот общий вид отличается от $M$ толью постоянным нножителем. Для отличия иы будем обозначать определенное зпачение множителя $M$ через $\boldsymbol{M}_{0}$, общее-терез $M$; далее, через $\frac{1}{\tilde{\omega}}$ обозначим функцию от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$, на которую надо уиножить $I_{0}$, чтобы получить $M$, так что $M=M_{0} \frac{\mathrm{I}}{\tilde{\omega}}$. Тогда уравнения
\[
M X^{\prime}=A, M X_{1}=A_{1}, \ldots M X_{n}=A_{n},
\]

встречающиеся в конце предыдущей лекции, можно написать так:
\[
M_{0} X=A \tilde{\omega}, M_{0} X_{1}=A_{1} \tilde{\omega}, \ldots M_{0} X_{n}=A_{n} \tilde{\boldsymbol{\omega}} .
\]

Iри помощи системы днфференциальных уравнений (з) можно иреобразовать найдевное для $M$ уравнение в частных производных (1). Иуенно уравнение
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial M}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial M}{\partial x_{n}}+M\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)=0
\]

чли, что то же,
\[
X\left(\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{X_{1}}{X} \frac{\partial M}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{X_{n}}{X} \frac{\partial M}{\partial x_{n}}\right)+M\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)=0
\]

герезодит, если принать во вничание уравнение (3), в
\[
X^{\frac{d M}{d r}}+M\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)=0
\]

или в
\[
\mathrm{x} \frac{d \lg M}{d x}+\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0 .
\]

ђо уравнение вполне тождественно с уравнением (1), так кақ для величин $x$, $x_{1}, \ldots x_{n}$ имеют место дифференциальные уравнения (3); посредством (3) можно сделать нереход от (1) к (5), тақже кақ и обратный переход.

Из уравнения (б) часто можно определить множитель $M$. Если $\frac{\partial X}{\partial x}+$ $+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0$, то находим $M=$ const. В других случаях выражение
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)
\]

может быть преобразовано при помощи дифференциальных уравнений (3) в полнүю производную но $x$; конечно, зто преобразование часто еще требует очень искусных аналитических приемов. Если таковое возможно, то $M$ получится тавже из уравнения (5).

Если вакин-нибудь путем найдено одно значение $M_{0}$ множителя $M$, то польза, которую можно отсюда извлечь для интегрирования системы (3), заключается в том, что посредством $M_{0}$ можно дать интегрирующий множнтель того дифференциального уравнения, которое остаетея еще проинтегрировать после того, как найдены $n-1$ интегралов. Веледствие первого уравнения (4) имеем
\[
M_{0} X=A \bar{\omega},
\]
қап догазано, функция $n$ интегралов спстемы (3). Предноложим тегерь, что $n-1$ из этих интегралов известны, именно $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$, так что остаетея найти тодько $f_{1}$; тогда мы вводим вместо $n$ – 1 независимых церехенных, именно вместо $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$, величины $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$ и всё выражаем через $x, x_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots f_{u}$. Исследуен, какое ивменение это вызовет в определителе
\[
A=\Sigma \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \cdots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} .
\]

Нагнщен его в виде линейной функции от частных цроизводных функции $f_{1}$ :
\[
A=\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} B_{1}+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} B_{2}+\ldots+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} B_{n} ;
\]

тогда, ва основании основных свойств оиределителей, имеют место уравненин:
\[
\begin{array}{l}
0=\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} B_{1}+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} B_{2}+\ldots+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} B_{n} \\
0=\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}} B_{1}+\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}} B_{2}+\cdots+\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{n}} B_{n} \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} B_{n} .
\end{array}
\]

Представня себе тенерь, тто вместо $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$ введены $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$, таг что $f_{\mathrm{t}}$ представится в форме
\[
f_{1}=\Phi\left(x, x_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}\right)
\]

Il зак.нин образованные при такой гинотезе пронзводные от $f_{1}$ в скоби; тorya
\[
\begin{array}{l}
\partial f_{1}=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{2}}\right) \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}+\cdots \cdot\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} \\
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{2}}\right) \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{3}}\right) \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}}+\cdots+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{2}} \\
\left.\cdots \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}, \\
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{2}}\right) \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}+\cdots \cdot
\end{array}
\]

а отеюла, привимая во вннмание прежние уравнения, получаен
\[
A=\left(\begin{array}{c}
\partial f_{1} \\
\partial x_{1}
\end{array}\right) B_{1}
\]
rie
\[
B_{1}=\sum+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} .
\]

Если это значение $A$ подставим в уравнение
\[
M_{0} \mathrm{X}=\mathrm{A}^{\mathrm{\omega}},
\]

то получнм:
\[
M_{0} X=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right) B_{1} \tilde{\omega} .
\]

Так как $f_{1}$ есть искомый интеграл еще остающегося днференцильного уравнения
\[
X d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]

в котором из $X$ и $X_{1}$ посредством известых $n-1$ ннтегралов искличены переменные $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$, то это дифференциальне уравневие должно при помощи нсвомого интегрирующего множителя перећти в
\[
d f_{1}=0
\]
П.н. $\mathrm{B}$
\[
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right) d x_{1}+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x}\right) d x=0
\]

следовательно некожый ннтегрирующий нножнтель будет
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)
\]

ини, на освовании (),
\[
\frac{H_{0}}{B_{1} \tilde{\omega}},
\]

ๆ. е. имеем тождественно:
\[
\frac{M_{0}}{B_{1}^{(1)}}\left(X d x_{1}-X_{1} d x\right)=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right) d x_{1}+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x}\right) d x=d f_{1}^{\prime}
\]

или
\[
\frac{M_{0}}{B_{1}}\left(X d x_{1}-X_{1} d x\right)=\tilde{\omega} d f_{1}
\]
3десь $\omega$ есть пропзвольная фунцция от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$ между тем, при помощи найденных $n-1$ интегралов, $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$ обратятся в гостоянные; таким образом б будет функцией только от $f_{1}$, а $\tilde{\omega} d f_{1}$ будет полным дифференциалом так же, кав сам $d f_{1}$. Поэтому ножно в делителе оторосить $\tilde{\omega}$, и тогда получим $\frac{H_{0}}{B_{1}}$ кав множитель дифференцильного уравнения
\[
x d x_{1}-X_{1} d x=0 .
\]

Таким образом мы приходим в следующей теореме:
Пусть дана система дифференчиальных уравнений
\[
d x: d x_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{n}=\mathrm{X}: \mathrm{X}_{1}: X_{2}: \ldots: \mathrm{X}_{n}
\]

и изестин ер $n-1$ интегралов
\[
f_{2}=\alpha_{2}, f_{3}=\tau_{3}, \ldots f_{n}=x_{n} ;
\]

далее, пусть извстно одно решение М. дифферениялного \”равнения
\[
\mathrm{X} \frac{d \lg M}{d x}+\frac{\partial \mathrm{X}}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{X}_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial \mathrm{X}_{n}}{\partial x_{n}}=0 ;
\]

ссли ири иомоии этих $n-1$ ннтегралов данная система сведена $n$ дифференцильному уравнению первого порядка с двума переменными
\[
\mathrm{X} d x_{1}-\mathrm{X}_{1} d x=0,
\]

по инигориручий множитель этого уравнекия будет:
\[
\frac{M}{\Sigma \pm \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{3}} \cdots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}} .
\]

Это та же самая теорема, которая была установлена в двенадцатой легцин. Там мы напли для множителя выражение
\[
\mu \Sigma \pm \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial x_{3}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} ;
\]

но тах $\operatorname{~\operatorname {tan}} f_{2}=\alpha_{2}, f_{3}=\alpha_{3}, \ldots f_{n}=\alpha_{n}$, то, на основанин теоремы отоснтельно функцональных определителей (стр. 89 п 90 ․ㅡㄹ 2), нмеех:
\[
\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial x_{3}}{\partial \alpha_{3}} \cdots \frac{\partial x_{n}}{\partial x_{n}}=\frac{1}{\Sigma \pm \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}
\]

так что оба множитедя тождественны.
Название „множитель\”, принадлежаций системе дифференщианных уравнений (3), которое мы присваиваем величине $M$, определенной уравнеиием (1) или (5), целесообразно потому, что, в случае двух переменны $x$ и $x_{1}$, эта величина совладает с мнонтелем Эйлера или интегрирующим инонителен.

До сих пор мы показали, что в том случае, когда при помощи $n-1$ ннтегралов систена сводится в однону дпфференцильному уравнению с двум переменными, множнтель этого дифференцильного уравнения может быть выведен из множителя системы. Но это тольо частий случай общей теоремы; именно, если известны не $n-1$ интегралов, но меньнее их число, хотя бы $n-k$, таг что данную систеиу с $n+1$ переменныи эожно привести к системе с $k+1$ переменныи, то, как мы тотчас увидия, из множителя данной системы можно получить множитель приведенной систелы. Әто обобщение даст нам сейчас же возможность разобрать один вопрос, касаюциїся мнолителя, до сих пор оставшийся незатронутым. Именно ,до сих пор мы преднолагали, что при всяком интегрировании данной системы дифференциальны уравнений присоединяется новая произвольная постоянная. Но необходимо ответить на вопрос-может ли быть нетод посдеднего множителя распространен также на случай, когда шроизвольные постоянные иринимают частные значения и где поэту в конце концов не гриходят ґ щолному интегрированию данной системы дифференциальных уравнений. Чтобы показать, как из множителя данной системы шолучить можитель шриведенной снетемы какого-либо порядка, поступаем следующи образом. Мы предполагаем сначала заданным одно интегральное уравнение $f_{n}=\alpha_{n}$, что позволяет понизить цорядок системы на одиу единицу, и ищем нножитель таким образом приведенной системы:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n}=X: X_{1}: \ldots: X_{n} ;
\]

атот множитель $M$ определится. дифференциалным уравнением (1) или (5). Если же мы предположим известным все интегралы системы, то болыпе нет натобности в решении жифференциального уравнения, и мы можем найти $M$ нешосредственно и притом из каждого из уравнений
\[
M X^{*}=\tilde{\omega} A ; M X_{1}=\tilde{\omega} A_{1} ; \ldots M X_{n}=\tilde{\omega} A_{n},
\]
ras

и т. д. и где о есть функция от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$. Рассмотрия первое из этих уравневий, т. е.
\[
M X=\tilde{\omega}\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}\right) \sum \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \cdot \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial f_{n_{n}}}{\partial x_{n}} .
\]

Іреднодожим, что найден интеграл $f_{n}=\alpha_{n}$ и что в него входит $x_{\mu}$ тогда можно $x_{n}$ выразить через $f_{n}$ и через остальные шеременные $x$. Если уто выражение $x_{n}$ подставить в $f_{1}^{\prime}, f_{2}, \ldots f_{n-1}$, то эли величины будут фунвциями от $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n-1}$ и $f_{n}$. Если производные, взятые при такой гинотезе, заключить в скобки, то дия алементов определителя $A$ получатся следүющие значения:
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}, \ldots\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} \\
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\right)+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{2}}, \cdots\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{2}}\right)+\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{2}}, \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{2}} \\
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n-1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n-1}}, \ldots\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n-1}}, \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n-1}} \\
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}, \ldots \\
\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}, \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} .
\end{array}
\]

Как показано на стр. 84 , здесь можно отбосить те чены первых $n-1$ вертивальных рядов, которые пропорциональны элементам последнего вертивального ряда; при этом исчезают первые $n-1$ элеуентов последнего горивонтального ряда, так что $\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}$ будет иножителем определителя, и помтом получится:
\[
M X=\tilde{\boldsymbol{\omega}}\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n-1}, f_{n}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \Sigma \pm\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\right) \ldots\left(\frac{\partial t_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right)
\]

нан, $\operatorname{tak} \operatorname{\text {tak}} f_{n}=x_{n}$,
\[
\mathcal{H X}=\tilde{\omega}\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n-1}, \alpha_{n}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \boldsymbol{\Sigma} \pm\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\right) \ldots\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right) .
\]

Из данной системы (3) исключены $x_{n}$ и $d x_{n}$ при посредстве нитеграза $f_{n}=\alpha_{n}$, и таким обравом она приведена в системе:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n-1}=X: X_{1}: \ldots: X_{n-1} .
\]

Если $\mu$ есть множитель этой системы, то дая его определения имеех уравнение:
\[
\mu X=F^{\prime} \mathbf{Y} \pm\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\right) \ldots\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right)
\]

где $F$ есть произвольная функция от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n-1}$. Одно из значений ‘. соответствует предположению $F=\tilde{\omega}\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n-1}, \alpha_{n}\right)$; оно определится из уравнення
\[
\mu X=\tilde{\omega}\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n-1}^{*}, \alpha_{n}\right) \Sigma \pm\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\right) \ldots\left(\frac{\partial t_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right) .
\]

Из этого последнего уравнения и из (7) получится делением:
\[
\begin{array}{l}
\frac{M}{\mu}=\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \\
\mu=\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}} .
\end{array}
\]

Таким образом это выражение есть множитель системы (8).
Этим путем можно итти дальпе: если известен один ннтеграл $f_{n-1}=\alpha_{n-1}$ системы (8) и она при помощи этого ннтеграла приведена к системе
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n-2}=\mathrm{X}: X_{1}: \ldots: X_{n-2},
\]

где $x_{n-1}$ исключен, то множителем этой системы будет выражевне
\[
\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right)} \text {. }
\]

Еели при помощи нового ннтеграла ${ }_{n-2}=\alpha_{n \cdots 2}$ исключить перехенную
$x_{n-2}$, то нножителем такия образом образованной системы будет выражевие:
\[
\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}\left(\frac{\partial f_{u-1}}{\partial x_{n-1}}\right)\left(\left(\frac{\partial f_{n-2}}{\partial x_{n-2}}\right)\right)},
\]

где скобки обозначают, что $f_{n-1}$ доджно быть выражено через $f_{n} u x_{1}$, $x_{2}, \ldots x_{n-1}$, а $f_{n-2}$ – через $f_{n}, f_{n-1}$ и $x_{1}, x_{2} \ldots x_{n-2}$. Прододжая тав дальше, ириходим нагонец $\mathrm{k}$ дифференциальному уравнению
\[
d x: d x_{1}=X: X_{1}
\]

ния к уравнению
\[
X d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]

нножителем которого будет выражение
\[
\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}} \cdots \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}},
\]

где дифференцирования надо понимать так, что функции $f_{n}, f_{n-1}, \ldots f_{2}$ предполагаются представленными в виде:
\[
\begin{array}{c}
f_{n}=\varphi_{n}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3} \ldots x_{n-2}, x_{n-1}, x_{n}\right) \\
f_{n-1}^{\prime}=?_{n-1}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n-2-2}, x_{n-1}, f_{n}\right) \\
f_{n-2}=\varphi_{n-2}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n-2}, f_{n-1}, f_{n}\right) \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot f_{n-2}, f_{n-1}\right) .
\end{array}
\]

Iри таком постешеннои ириведении присоединяющееся каждый раз идтегральное уравнение приженяется дия исключения одной из шеременных. Например первый интеграл $f_{n}=\alpha_{n}$ применяется для того, чтобы $x_{n}$ выразить через $x, x_{1}, \ldots x_{n-1}$ и $\alpha_{n}$ и полученное значение подставить в $X$, $X_{1}, \ldots X_{n-1}$. При этом, хотя мы до сих пор рассматривали $\alpha_{n}$ как пронзвольную постоянную, однако легко видегь, что в рассуждении ничто не изменится, если вместо $\alpha_{n}$ подставить определенное значение $a_{n}$. Только в этом случае приведенная слстема не будет более равнозначаща с давной, а будет соответствовать только частному случаю, когда в интегральном уравнении $f_{n}=\alpha_{n}$ произвольная постоянная $\alpha_{n}$ имеет частное вначение $a_{n}$. Хотя таким образом в течение интегрирования можво дать произвольной постоянной некоторое частное значение и этим путем ввести в выкладки некоторый частный интеграл данной системы, но всё же надо знать полный интеграл $f_{n}=\alpha_{n}$, так как для огределения множителя $\mu$ из $M$ необходимо знание $f_{n}$. Таким образом недостаточно знать частный интеград $x_{n}=\Phi\left(x, x_{1}, \ldots x_{n-1}\right)$ без произвольной постоянной, но надо знать, кав произошел частный интеграл из полного интеграла $f_{n}=\alpha_{n}$ п какое значение дано произвольной цостоянной. В этом заключается распространение принципа последнего множителя, которое можно высказать следующим образом:
Iуспь дана система дифферениальжых уравжении:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n}=\mathrm{X}: \mathrm{X}_{1}: \ldots: \mathrm{X}_{n} ;
\]

пусть известен се интеграл с одной произвольной постоянной, $\boldsymbol{u}$ эот чжтеграя прнведен н өиду $f_{n}=\alpha_{n}=$ const. Придадим эпой постоякной какое-
и подсмави.и это майденное значение в $X, X_{1}, \ldots X_{n-1}$; тогда полуинся первая ирнвденная система дифференциальных уравнении:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n-1}=X: X_{1}: \ldots: X_{n-1},
\]

которал ие имеет однако больше общности предложенной системы, но соответствует полько случаю $\alpha_{n}=a_{n}$. Пусть для первой приведенной сисмены дифференциальных уравнений опять известен иитеграл с одной произвольной постоянной $и$ приведе $n$ виду $f_{n-1}=a_{n-1}=$ const, где $f_{n-1}$ есть функиия от $x, x_{1}, \ldots x_{n-1}$. Постоянной $\alpha_{n-1}$ придаем частное значение $a_{n-1}$, ретаем уравнение $f_{n-1}=a_{n-1}$ относительно $x_{n-1}$ и подставляем полученное для него таким образом значение в величины $X$, џиальных уравнений:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n-2}=X: X_{1}: \ldots: X_{n-2}{ }^{*}
\]

Іродолжаем таним юсе обралом дальие, пока не ириде.н к дифференчиальному уравнению:
\[
d x: d x_{1}=\mathrm{X}: \mathrm{X}_{1} ;
\]

мпога множитель последнего дифференцильного уравнения о́уды:
\[
\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}} \cdots \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}} .
\]

Здесь уже $f_{n}, f_{n-1}, \ldots t_{2}$ не будут больие $n-1$ интегралом предложенной системы, а только $f_{n}=\alpha_{n}$ будет таковын; $f_{n-1}=\alpha_{n-1}$ есть интеграл первой приведенной системы, которая представляет частный случай данной системы, когда $\alpha_{n}=a_{n} ; f_{n-2}=\alpha_{n-2}$ есть интеграл второй приведенной системы, которая предетавляет частный слүчай первой приведенной спстемы для $x_{n-1}=a_{n-1}$ и т. д.

Этим нсчериывается область, на которую можно распространить приндип последнего множителя, и шы переходих тешерь к его применениям.