Оиределители, имеющие форму
$$\mathrm{\Sigma }+\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\dots \frac{\partial f_{11}}{\partial x_n},$$

названы жною функцинальными определителями; Копи, который дал в Comptes rendus Парижской академии некоторые теоремы относнтельно :тих определителей, назвал их \»fonetions différentielles alternćes\». Эти функциональне определители образуются из $n^2$ частных производных $\frac{\partial t_i}{\partial x_k}$ от $н$ функцнй $f_1^{\prime },f_2,\dots f_n$, каждая из которых завнсит от $n$ величин $x_1,x_i,\dots x_n$.

Д опубликовал в 22-й тетради журнала Крелля статью относительно функциональных ошределителей, в которой уетановил, что между фунцциональными определителями в задачах со многими переменными и производныии в задачах с одной переменной суцествует определенная аналогия. Эта аналогия выражается в доказанных там следующих теоремах:
1. Если $f$ есть функция от $\phi$, а $\phi$ есть функция от $x$, то $\frac{df}{dx}=\frac{df}{d\phi }\frac{d\phi }{dx}$. Этому соответствет в случае $n$ переменных теорема: ние — функиит от $x_1,x_2,\dots x_n$, mо
$$\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial f_1}{\partial x_1}\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\dots \frac{\partial f_n}{\partial x_n}=(\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial f_1}{\partial {\phi }_1}\frac{\partial f_2^{\prime }}{\partial {\phi }_2}\dots \frac{\partial f_n^{\prime }}{\partial {\phi }_n})(\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_1}\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_2}\dots \frac{\partial {\phi }_n}{\partial x_n}).$$
2. Это может быть выражено в другой форме так: Если $f$ и $\cdots$ фуннцих ot $x$, тo
$$\frac{df}{d\phi }=\frac{\frac{df}{dx}}{\frac{d\phi }{dx}}.$$

Аналогнчная теорема для случая и неременных будет: Eсли $f_1,f_2,\dots f_{n}u$. ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots {\phi }_n-\varphi$ никин от $x_1,x_2,\dots x_n$, mo
$$\mathrm{\Sigma }\pm \frac{\partial f_1}{\partial {\phi }_1}\frac{\partial f_2}{\partial {\phi }_2}\cdots \frac{\partial f_n}{\partial {\phi }_n}=\frac{\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial f_1}{\partial x_1}\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\cdots \frac{\partial f_n}{\partial x_n}}{\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_1}\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_2}\cdots \frac{\partial {\phi }_n}{\partial x_n}}$$

поэтому, если положить $f_1^{\prime }=x_1,f_2=x_2,\dots f_n=x_n$, то

$$\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial x_1}{\partial {\phi }_1}\frac{\partial x_2}{\partial {\rho }_2}\cdots \frac{\partial x_n}{\partial {\rho }_n}=\frac{1}{\sum \pm \frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_1}\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_2}\dots \frac{\partial {\phi }_n}{\partial x_n}}.$$
3. Из уравнения П $(x,y)=0$ получаетея:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial x}}{\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial y}}$$
$$\begin{array}{l}{\mathrm{I}}_1(y_1,y_2,\dots y_n,x_1,x_2,\dots x_n)=0\\ {\mathrm{II}}_2(y_1,y_2,\dots y_n,x_1,x_2,\dots x_n)=0\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot x_n,x_1,x_2,\dots x_n)=0\\ {\mathrm{I}}_n(y_1,y_2,\dots y_2\end{array}$$
no.ny\»utnes:
$$(-1{)}^n\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial y_1}{\partial x_1}\frac{\partial y_2}{\partial x_2}\dots \frac{\partial y_n}{\partial x_n}=\frac{\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial {\mathrm{II}}_1}{\partial x_1}\frac{\partial {\mathrm{II}}_2}{\partial x_2}\dots \frac{\partial {\mathrm{II}}_n}{\partial x_n}}{\mathbf{\Sigma }\pm \frac{\partial {\mathrm{I}}_1}{\partial y_1}\frac{\partial {\mathrm{I}}_2}{\partial y_2}\cdots \frac{\partial {\mathrm{I}}_n}{\partial y_n}}.$$
4. Чтобы уравнение $F^{\prime }(x)=0$ няело два равных корня, необходимо, чтобы и $F^{\prime }(x)=0$. К этому имеет место следующая аналогия: Чмобы эразнения
$$F_1(x_1,x_2,\dots x_n)=0;F_2(x_1,x_2,\dots x_n)=0;\dots F_n(x_1,x_2,\dots x_n)=0$$
зреленно
$$\mathrm{\Sigma }\pm \frac{\partial V_1}{\partial x_1}\frac{\partial F_2^{\prime }}{\partial x_2}\dots \frac{\partial F_n^{\prime }}{\partial x_n}=0.$$
г. Ели для всех значеший $x$ производиая $\frac{\partial F}{\partial x}$ равна нулю, то отсюда еледует, что $F=$ const. К этому имеен аналогию: Ecли для всед знаненнй $x_1,{\dot{x}}_2,\dots x_n$ инест место равенстео
$$\sum -\frac{\partial F_1}{\partial x_1}\frac{\partial F_2}{\partial r_2}\cdots \frac{\partial F_{H_1}}{\partial x_n}=0,$$
II $(F_1,F_2,\dots F_n)=0$, в которое переменные $x_1,x_2,\dots x_n$ sено не входян. В самом деле, в случае $n=1$ это дает II $\left(F^{\prime }\right)=0$, следовательно $F^{\prime }=$ const, как это и должно быть.

К этим шримерам упомянутой аналогии ножно присоединить многие другие, которые можно найти частью в указанной статье, частью в статье \»De binis quibuslibet functionibus homogeneis etc.\», появивнейся в 12-0м томе кћрнала Крелля.

Исходя из расмотрения функцональых определителей, мы достнгаем того, что можем обосновать теорию можнтеля системы дифференциальны уравнений для общего случая $n+1$ переменных иначе, чем это сделано в қвенадцатой лекции, а именго тем самым путем, на который мы встуиии в десятой лекции для случая трех переменных.
Пусть спстема
$$dx:d{x}_1:d{x}_2:\dots :d{x}_n=X:X_1:X_2:\dots :X_n$$

интегрируется уравнениями
$$f_1={\alpha }_1,f_2=a_2,\dots f_n={\alpha }_n,$$

в которых ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n$ обозначают произвольные постоянные. Их непосредственные дифференциалы будут
$$\begin{array}{l}\frac{\partial f_1}{\partial x}dx+\frac{\partial f_1}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}d{x}_2+\cdots +\frac{\partial f_1}{\partial x_n}d{x}_n=0\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}dx+\frac{\partial f_2}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}d{x}_2+\cdots +\frac{\partial f_2}{\partial x_n}d{x}_n=0\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial f_n}{\partial x_n}d{x}_n=0\end{array}$$

причем они должны быть тождественны с данной системой, так как произвольные ностоянные исчезают при дифференцировании. Еели к этия $n$ уравнениям, линейным относительно $d{x}_1,d{x}_2,\dots d{x}_n$, присоединим, как $n+1$-ое, тождество
$$\frac{\partial f}{\partial r}dx+\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}d{x}_2+\dots +\frac{\partial f}{\partial x_n}d{x}_n=df$$

где $f$ обозначает проиввольную функцию от $x,x_1,\dots x_n$, и применим к этим $n+1$ уравнениям формулы, данные в 을 3 одиннадцатой лекции для решения иинейных уравнений, то шолучии для $dx,d{x}_1,\dots d{x}_n$ значения:
$$Rdx=Adf;Rd{x}_1=A_{1}df;\dots Rd{x}_n=A_{n}df$$
l’дe
$$\begin{array}{c}R=\mathrm{\Sigma }\pm \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\dots \frac{\partial f_n}{\partial x_n}=A\frac{\partial f}{\partial x}+A_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots +A_n\frac{\partial f}{\partial x_n}\\ A=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x}};A_1=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_1}};\dots A_n=\frac{\partial R}{\partial -\frac{\partial f}{\partial x_n}}\end{array}$$

Хотя это огределенне величин $A,A_1,\dots A_n$ из разложения $R$ но частным производным функции $f^{\prime }$ как раз и есть то, которым мы будем пользоваться в дальнеӥшем, но интересно тажже вывести величины $\dot{A}$ одну из цругой, не прибегая ж помощи $R,-\mathrm{в}$ особенности для того, чтобы проследить аналогию с данным в десятой лекции случаем трех переменных. IIрежде всего
$$A=\sum \pm \frac{\partial f_1}{\partial x_1}\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\dots \frac{\partial f_n}{\partial x_n}.$$

Из $A$ получаем, на основапии 추 2 одннадцатой лекции, $A_1$, для чего переставляем между собой дифференцирования по $x$ и но $x_1$ и меняем знак. Это правпло получения $A_1$ нз $A$ можно заменить следующим равнозначащим. Телаем циклическую перестановку пропзводных, взятых по всем $n+1$ перененным $r$, а именно: на место производных, взятых но $x,x_1,x_2\dots x_{n-1},x_n$, ставич соответственно производные по $x_1,x_2,x_3,\dots x_n,x$ и, кроме того, меняем знак или оставляем его, смотря по тому, будет ли число переменных, т. е. $n+1$, четным или нечетным; тогда $A$ превращается в $A_1$. Посдеднее правило имеет то пренмущество, что простым повторением той же операции $A_1$ превращается в $A_2,A_2$ в $A_3$ и т. д.
Исключив из полученных для $dx,d{x}_1,\dots d{x}_{\text{» }}$ значений $df$, имеем:
$$dx:d{x}_1:\dots :d{x}_n=A:A_1:\dots :A_n,$$

тто должно согласоваться с данной системой
$$dx:d{x}_1:\dots :d{x}^t=\mathrm{X}:X_1:\dots :X_n.$$

Таким образом должна иметь место пропорция
$$A:A_1:\dots :A_n=X:X_1:\dots :X_n,$$
т. е. должен сущеотвовать множитель $M$, обладающий тем свойством, что
$$M\mathrm{X}=A,M{\mathrm{X}}_1=A_1,\dots M{X}_n=A_n.$$

Теперь дело сводится к тому, чтобы толдество, которому удовлетворяют величины $A$, уже доказанное для $n=2$ в десятой лекции, распространит на общий случай, т. е. догазать, что имеет место уравнение
$$\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial A_1}{\partial x_1}+\dots +\frac{\partial A_n}{\partial x_n}=0.$$

Ксли принять во внимание закон составления величин $A,A_1,\dots A_n$, то легко увидеть, что в левую часть этого уравнения могут входить только шервые и ворые производвые величин $f_1,f_2,\dots f_{\text{* }}^{\prime }$ п притом последние только линейно, т. е. никогда не будет входить проивведения цвух производных второго порядк. Lалее, так как в $A$ не входят производные, взятые по $x$, в $A_1$ — взятые по $x_1,\dots$, в $A_n$ — взятые по $x_n$, то в виражение
$$\frac{\partial \mathit{A}}{\partial x}+\frac{\partial A_1}{\partial x_1}+\dots +\frac{\partial A_n}{\partial x_n}$$

ве входят ироизводные вида $\frac{{\partial }^2{f}_8}{\partial x_i}$, а тольно вида $\frac{{\partial }^2{f}_s}{\partial x_i\partial x_k}$, где $i$ отлино от $k$. ‘аким образом рассматриваемое выражение $\sum \frac{\partial A_i}{\partial x_i}$ можно предетавить как сумиу членов вида
$$F_{ik}^{(s)}\frac{{\partial }^2{f}_s}{\partial x_i\partial x_k}.$$
:冫начение $F_{ik}^{(s)}$ вычисляется при помоци формул
$$\begin{array}{c}R=\sum +\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\dots \frac{\partial f_n}{\partial x_n}=A\frac{\partial f}{\partial x}+A_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots +A_n\frac{\partial f}{\partial x_n},\\ {\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_i}},{\mathrm{\Lambda }}_k=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_k}},\end{array}$$

причем для этого надо исследовать только обе производные $\frac{\partial A_i}{\partial x_i}$ и $\frac{\partial {\mathcal{A}}_k}{\partial x_k}$, так как в остальные $\frac{{\partial }^2{f}_k}{\partial x_i\partial x_k}$ очевидно не входит., Далее, так как величины $A_i$ и $A_l$ сами представляют определители, то они могут быть выражены так:
$$\begin{array}{l}{\mathit{A}}_i=\frac{\partial A_i}{\partial \frac{\partial f_1}{\partial x_k}}\frac{\partial f_1}{\partial x_k}+\frac{\partial A_i}{\partial \frac{\partial f_2}{\partial x_k}}\frac{\partial f_2}{\partial x_k}+\cdots +\frac{\partial A_i}{\partial \frac{\partial f_s}{\partial x_k}}\frac{\partial f_{s_{-}}}{\partial x_k}+\dots +\frac{\partial A_i}{\partial \frac{\partial f_n}{\partial x_k}}\frac{\partial f_n}{\partial x_k};\\ A_k=\frac{\partial A_k}{\partial \frac{\partial f_1^{\prime }}{\partial x_i}}\frac{\partial f_1}{\partial x_i}+\frac{\partial A_k}{\partial \frac{\partial f_2}{\partial x_i}}\frac{\partial f_2}{\partial x_i}+\dots +\frac{\partial A_k}{\partial \frac{\partial f_s^{\prime }}{\partial x_i}}\frac{\partial f_s}{\partial x_i}+\dots +\frac{\partial A_k}{\partial \frac{\partial f_n}{\partial x_i}}\frac{\partial f_n}{\partial x_i}.\end{array}$$

Отсюда получатоя, как дополнение к рассматриваемому выраженню $\sum \frac{\partial A_i}{\partial x_i}$, два члена, умноженные на $\frac{{\partial }^2{f}_s}{\partial x_i\partial x_k}$. Однн из них цроисходит из $\frac{\partial A_i}{\partial x_i}$ и имеет вид
$$\frac{\partial {\mathit{A}}_i}{\partial \frac{\partial f_s}{\partial x_k}}\frac{{\partial }^2{f}_s}{\partial x_i\partial x_k},$$

другой происходит из $\frac{\partial {\mathit{A}}_k}{\partial x_k}$ и ихеет вид
$$\frac{\partial A_k}{\partial \frac{\partial f_s^{\prime }}{\partial x_i}}\frac{{\partial }^2{f}_s}{\partial x_i\partial x_k};$$

следовательно будем иметн:
$$F_{i,k}{}^{(s)}=\frac{\partial {\mathit{A}}_i}{\partial \frac{\partial f_s}{\partial x_k}}+\frac{\partial {\mathit{A}}_k}{\partial \frac{\partial f_s}{\partial x_i}}=\frac{{\partial }^{2}l}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_i}\partial \frac{\partial f_s}{\partial x_k}}+\frac{{\partial }^{2}R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_k}\partial \frac{\partial f_s}{\partial r_i}}.$$

Формула
$$\frac{{\partial }^{2}R}{\partial a_i\partial b_k}=-\frac{{\partial }^{2}h}{\partial a_k\partial b_i}\text{ или }\frac{{\partial }^{2}H}{\partial a_i\partial b_k}+\frac{{\partial }^{2}H}{\partial a_k\partial b_i}=0,$$

содержащаяся в 으 2 одиннадцатой лекции, дает в рассматриваемом случае:
$$\frac{{\partial }^{2}R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_i}\partial \frac{\partial f_s}{\partial x_k}}+\frac{{\partial }^{2}R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_k}\partial \frac{\partial f_s}{\partial x_i}}=0,$$

тав что
$$F_{i,k}{}^{(s)}=0.$$

Таким образом в общем случае доказано токдество
$$\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial A_1}{\partial x_1}+\dots +\frac{\partial A_n}{\partial x_n}=0.$$

Но мы имели
$$A=MX;A_1=M{X}_1,\dots A_n=M{X}_n,$$

поэтому получится уравнение:
$$\frac{\partial (MX)}{\partial x}+\frac{\partial \left(M{X}_1\right)}{\partial x_1}+\dots +\frac{\partial \left(M{X}_n\right)}{\partial x_n}=0,$$

воторое представляет собою дифференциальное уравнение в частных производных для множителя $M$.