Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Чтобы показать шрножения теории множителя, ны рассиория сначала случай, в котором, в отличие от всех остальных примеров, к которым относится это исследование, $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ будут не только функциями от координат, но будут также содержать скорости, где таким обравом $M$ не будет постоянной. Это будет случай планеты, которая движется вокруг солнца в сопротивляющейся среде. Если не ириннмать во внимание сопротивлення, то уравнения движения планеты, вак иввестно, будут: где $x, y, z$ обозначают гелиоцентрическе координаты панеты, $r$-ее расстояние от солнца и $k^{2}$ — притяжение, которое солнце оказывает на расстоянин, равноз единице. Если $v=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}$ есть скорость панеты в направлении касательной к ее траектории и $V$-сопротивление в том же направленив, то составляющие сопротивления по осян $x, y$ и г будут соответственно: Эти велкчины надо присоединнть к правой части дифференциальных уравнений с тем же знаком, воторый нмеют члены, происходящие от прнтяження. Таким образох уравнения двияения будут: Предположня, что сопротивление пропорционально $n$-ой стеденн скоростк где $f$ есть постоянняя; тогда ниеем дифференцианые уравнения: Сравнение этой систены с общим вндом (1) и (3) предыдущей лекции дает $m=n=p=2$; таким образом получаем по формуле (4) той же лекцни для множителя $M$ снстены (1) уравнение: нли, если вместо $A, B, C^{\prime}$ подставить их значения, уравнение: Но мы нмеем так что и следовательно Для $n=-2$ было бы поэтому $M=$ const. Но этот случай в природе ве уожет встретиться, так как иначе сопротивление должно было бы быть тем меньше, чех быстрее двигается пданета. Подтому мы будем исследовать, можно ли, без этого предноложения относительно $n$, превратить $v^{n-1}$ тагже в полную проивводную. Теорема живой силы и теорема площадей для этой задачи не имеют больпе места; исследуем однако, какую форму здесь прннимают соответствующие им уравнения. Чтобы получить уравненне, аналогичное уравнению живой силы, мы должны три уравнения (1) умножнть соответственно ва $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ н сложнть; тогда получитея: Но мы имеем тat что нли и Хота то тоже замечате.ьныї резубтат, но нан нужен Чтобы получить уравнения, соответствующие теоремам пощацей, хы до:жны из уравнений (1) образовать величины и после интегрирования: эти уравнения ноказывают, что величины находятся в постояннок отношении-результат, который можно было бы предвидеть. Дейетвительно, в виду того, что шланета, находяцаяея в сопротивляющейся среде, не может прекратить своего движения в плосьоети, упочянутые величины, которые после учножения на $d t$ изображают проекцни эленента поверхности, ошисываемого гелиоцентрическим радиусом вектором, по известной теореме относятея друг к другу как косинуеы углов, которые образует нормаль в орбите планеты с тремя координатными осязи. так что нли, ото́расывая постоянную $\gamma^{n+2}$, Мы можем теперь и самом деле применить принци последнего множители исключения $t$ получим приведенную систему пятого порядка. Между тем, так как движение происходит в плоскости, одну из координатных плоскостей, например плоскость $x, y$, можно совместить с плоскостью орбиты; тогда надо положить $z=0$, вследствие чего последнее уравнение (1) выпадет и останется система четвертого порядка, а после исключения $t$ получится приведенная система третьего порядка. Но для этой последней нам не дано ни одного интеграла, так как на месте всех теорем площадей существует только одна и та не есть интегральное уравнение, а только дает для $\int v^{n-1} d t$ третье из выражений формулы (3). Если теперь для системы третьего порядка, о которой идет речь, найдены два интеграла с двумя произвольными постоянными $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, так что $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ могут быть выражены как функции от $x$ и $y$, и поэтому остаетея проинтегрировать еще только дифференциальное уравнепие первого порядка то множителем этого последнего будет выражение: В качестве второго примера применения последнего множителя возьмем такой случай, когда мы не будем получать множителя некоторого неизвестного дифференциального уравнения, но сможем провести вполне все интегрирования; именно возьмем движение планеты вокруг солнца в среде, не оказывающей сопротивления. Мы легко убедимся, что движение должно происходить в одной плоскости и что поэтому мы получим только еистему четвертого порядка или, после исключения $t$, третьего порядка. Іринципы живой силы и площадей дают для этой системы два интеграла, а принцип последнего множителя дает третий. В этой задаче, как мы видим a priori, интегрирования могут быть проведены полностью. Система дифференциальных уравнений, которую надо проинтегрировать, будет, как мы уже выше видели, следующая: гце $k^{2}$ обозначает притяжение, оказываемое солнцем на расстоянии, равном единице. Пусть оба интеграла, которые получаютея на основании принциа живой силы и площадей, будут: тде $f_{1}$ и $f_{2}$ функции от $x, y, x^{\prime}$ и $y^{\prime}$; тогда найдем, как последний множитель дифференциального уравнения, связывающего $x$ и $y$, выражение: где $M$ есть множитель системы (5). Но так как здесь мы имеем дело с совершенно свободным движением, то на основании предыдущей лекции $M=$ const.; таким образом можно положить $M=1$, и тогда в качестве последнего множителя получится выражение: Предположим теперь, что $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ выражены посредством уравнений $f_{1}=$ ж и $f_{2}=\beta$ через $x$ и $y$ и подставлены в дифференциальное уравнение тогда это есть уравнение, множителем которого должно быть выражение (6). Мы покажем это, произведя выкладки. Умнсжая уравнения (5) соответственно на $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ п затем складывая, получим теоречу живой силы; действительно, сначала получаем откуда после итегрирования находим: Путем игтегрирования выводим из уравнения принцип площадей: Ктаг наши оба интеграла будут: откуда получится: Таким образом множителем (7) на основании (6) будет выражение: следовательно выражение будет полным дифференциалом. Мы докажем это, определяя $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ из уравнеьий (8) и (9). Нольжим для сокращения тогда для определения $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ будем иметь уравнения: Второе из этих уравневий уже линейно относителью $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$; звачит всё дело в лоя, ұтсбы ьаменить первое из них иным, также линейғым. Это дучше всего сделать при помощи известной тождественной формулы: Подставим в нее вместо $x^{2}+y^{\prime 2}$ и $x y^{\prime}-y x^{\prime}$ их значения; тсгда получим: Таким обравом имеем уравнения а отсюда получится: Если разделим оба уравнения на то подучим: и если эти значения подставим в (10), то будем иметь: Ho далее, если мы подставим вместо $\lambda$ его значение, то получим где $R$ есть функция только от $r$; тогда Первый член правой части есть полный дифференциал, так как он равен $d r$, умноженному на некоторую функцю от $r$. Второй член имеет упомянутую уже в пятой лекции (стр. 30) форму произведения $x d y-y d x$ на однородную функцию-2-го порядка от $x$ и $y$, а это произведение всегда может быть представлено как гроизведение некоторой функции от отношения $\frac{y}{x}$ на его дифференциал и поэтоиу есть полный дифференциал. В рассматриваемом случае имеем: Выражение $\frac{x^{\prime} d y-y^{\prime} d x}{x x^{\prime}+y y^{\prime}}$ есть таким образом полный дифференциал, что и требовалось доказать. Мы переӥдем теперь к дифференциальным уравнениям движения несвободной системы.
|
1 |
Оглавление
|