Принцип последнего множителн повволяет во всех случаях, когда еистема дифференциальых уравнений движения приведена к дифференциальному уравнению шервого порядка с двумя переменными, проитатегрировать это последнее путем залания его множителя. Iри этом преднолагается, что действующие силы $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ зависят только от гоординат и от времени.

Если чы в первоначальной системе дифференциальных уравнений движения введем производные $\frac{d x_{i}}{d t} ; \frac{d y_{i}}{d t}, \frac{d z_{i}}{d t}$ гак новые переменные $x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}$ $z_{i}^{\prime}$, то она примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d x_{i}^{\prime}}{d t}=X_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial x_{i}}+\ldots ; \frac{d x_{i}}{d t}=x_{i}^{\prime} \\
m_{i} \frac{d y_{i}^{\prime}}{d t}=Y_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial y_{i}}+\ldots ; \frac{d y_{i}}{d t}=y_{i}^{\prime} \\
m_{i} \frac{d z_{i}^{\prime}}{d t}=Z_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z_{i}^{\prime}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial z_{i}}+\ldots ; \frac{d z_{i}}{d t}=z_{i}^{\prime} .
\end{array}
\]

Вдесь $6 n$ дифференциальных уравнений; но между входящими в них 6* переменными $x_{i}, y_{i}, z_{i}, x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime} \ldots$, зависящими от $t$, имеют место уже 2 мп соотношения, именно:
\[
\begin{aligned}
f & =0, \quad \omega=0, \ldots \\
\sum\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i}^{\prime}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} y_{i}^{\prime}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} z_{i}^{\prime}\right) & =0 ; \sum\left(\frac{\partial \omega}{\partial x_{i}} x_{i}^{\prime}+\frac{\partial \omega}{\partial y_{i}} y_{i}^{\prime}+\frac{\partial \omega}{\partial z_{i}} z_{i}^{\prime}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Если в $f, \omega, \ldots$ входит явно $t$, то к девым тастям последних $m$ уравнений надо присоединить соютветственно члены $\frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial \omega}{\partial t}, \ldots$ Таким образом, надо найти еще $6 n-2 m$ интегральных уравнений.

IIредшоложим сначала, что $t$ не входит явно ви в $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$, ни в $f$; ю, …; тогда можно нри номощи одного из $6 n$ уравнений, хотя бы при помощи уравнения $\frac{d x_{1}}{d t}=x_{1}^{\prime}$ или $d t=\frac{d x_{1}}{x_{1}^{\prime}}$, псключить из остальных уравнений время и тогқа получить систему $6 n-1$ дифференциальных уравнений, пля полного интегрировэния которой надо найти $6 n-2 m-1$ интегралов. IIредположим, что это интегрирование произведено; тогда мөжно 6 n
величин $x_{i}, y_{i}, z_{i}, x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime} \ldots$ выразить через одну из них, наприцер через $x_{1}$. Если представить себе, таким образом, что $x_{1}^{\prime}$ выражено как функция от $x_{1}$, то уравнение $d l=\frac{d r_{1}}{x_{1}^{\prime}}$ дает после иптегрирования:
\[
t+\text { const }=\int \frac{d x_{1}}{x_{1}^{\prime}} .
\]

Таким образом, если время не входит явно, то последнее интегрирование сводитея к простой квадратуре, п тогда время всегда складываетея с произвольной постоянной; это имеет место например при эллиптическом движении планет. Но если мы предцоложим, что система из $6 n-1$ дифференциальных уравпений, полученных после исключения врехени, проинтегрирована не полностью, нехватает еще одного интегрирования, так что найдено не $6 n-2 m-1$ интегралов, а $6 n-2 m-2$, то пельзя все переменные выразить через одну из них, например через $x_{1}$, но можно выразить через две, папример через $x_{1}$ и $y_{1}$. В этом случае остаетея еще проинтегрировать дифференциальное уравнение, связываюцее $x_{1}$ и $y_{1}$; пменно, если из $\frac{d y}{d t}=y_{1}{ }^{\prime}$ исключить диф.ререниал времени при цомоци соотношения $d t=\frac{d x_{1}}{r_{1}^{\prime}}$, то получитея
\[
d x_{1}: d y_{1}=x_{1}{ }^{\prime}: y_{1}{ }^{\prime},
\]

где $x_{1}^{\prime}$ и $y_{1}^{\prime}$ квляютея но нанему предиожожению функциями от $x_{1}$ и $y_{1}$. Устаповленный мною прищип дает множитсль этого дифференциального уравнения. Іропнтегрировав его при пимощи этого нножителя, найдем, как уже занечено выше, время посредством простой квадратуры. Таким образом, если время не входит явно, то надо проиввести только $6 n-2 m-2$ интегрирования, чмбы два последние интегрирования получились уже без всякого затруднения.

Но если время входит явно, т. е. пе только под знаком дифференциала, то его нельзя исключить из дифференциальпых уравнений. Однако, если тогда произвести $6 n-2 m-1$ интегрирований, благодаря тем все сведётел к интегрированию дифференциальпого уравнения вида
\[
d x_{1}-x_{1}^{\prime} d t=0,
\]

где $x_{1}{ }^{\prime}$ есть функци от $x_{1}$, и $t$, то последний ннтеграл получится снова 13 принциа последнего множителя.

Теперь, когда мы видия, чти дает принци, о котором ндет речь, мы приступаем к выводу его.

ІІосле того как Эйлер увпдел на многочисленных щримерах, что дифференцильные уравнения первого норяда с двуя переменными можно сделать шри помощи множителей полным дифферешиалами и таким образом проинтегрировать, прошел еще больой промежуток времени, ирежде чем он припел к убеждению, что это есть ойцее свойство этих дифференцианынх уравнений. Это произоило потому, что он был далек от мысли репить интегральне уравнение отшосительно произвольнй постоянной. Будь эта мысль ему ближе, он также не отчаялея бы в возможноэти сводить линейные дифференциальые уравнения е частным шроизводными к обыкновепны дифферешцальным уравнения – задача, которую он считал трудпее, чем задача проиптегрировать, дифферепциальне уравнение второго порядка с двумя шеременными, которал еще и сейчас ве репепа, в то время как приведение линейного дифференциалого уравнения с частыми производпыми к обыкновепному дифферещцанному уравнению считаетея эдементарпой задачей.

дифференциальных уравнений, хотя этот случай трактуетея также просто, если предположить интегральные уравнения решенными относительно произвольных постоянных.

Вовьмем дифференцильное уравнение с цвумя переменными $x$ и $y$, и пусть оно дано в виде пропорции
\[
d x: d y=X: Y,
\]

которая тождественна с уравнением
\[
X d y-Y d x=0 .
\]

Предположим, что днтеграл дан в форме $F=$ const; дифференцируя это равенство, получим уравнение
\[
\frac{\partial F}{\partial y} d y+\frac{\partial F}{\partial x} d x=0,
\]

левая часть которого может отличаться от левой части предыдущего дифференциального уравнения только множителем $M$. Таки образом имеем
\[
M X=\frac{\partial F}{\partial y} ; \quad-M Y=\frac{\partial F}{\partial x},
\]
– откуда получается для определения $M$ уравнение
\[
\frac{\partial(M X)}{\partial x}+\frac{\partial(M Y)}{\partial y}=0 .
\]

Распространим теорию этого множителя $M$ на систему двух совместных дифференциальных уравнений с тремя переменными. Пұсть она дана в форме
\[
d x: d y: d z=X: Y: Z,
\]

и пусть интегральные уравнения, решенные относительно произвольных достоянных, будут
\[
f=\alpha, \quad \varphi=\beta ;
\]

тогда
\[
\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y+\frac{\partial f}{\partial z} d z=0 ; \quad \frac{\partial \varphi}{\partial x} d x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} d y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} d z=0,
\]

а отсюда получитея:
\[
d x: d y: d z=\left(\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial y}\right):\left(\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right):\left(\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) .
\]

Положим
\[
\boldsymbol{A}=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial y} ; \quad B=\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial z} ; \quad C=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial x} ;
\]

тогла
\[
d x: d y: d z=A: B: C,
\]

что́ после сравнения с данной системой (2) ведет к пропорции:
\[
A: B: C=X: Y: Z \text {. }
\]

Таким образом существует множитель $M$, обладающий тем свойствои, что
\[
A=M X ; \quad B=M Y ; \quad C=M Z .
\]

Но величины $A, B, C$ удовлетворяют тождественно равенству
\[
\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}=0 ;
\]

поэтому имеем для $M$ уравнение
\[
\frac{\partial(M X)}{\partial x}+\frac{\partial(M Y)}{\partial y}+\frac{\partial(M Z)}{\partial z}=0,
\]

или
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right\} M=0 .
\]

Так как $f=\alpha$ и $\varphi=\beta$ являютея интегралами данной системы (2), то $d f$ и без обращения к помощи интегральных уравнений. Но мы имеем
\[
d f=\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y+\frac{\partial f}{\partial z} d z ; \quad d \varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x} d x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} d y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} d z,
\]

откуда, шринимая во внимание вистему (2), получим уравнения
\[
X \frac{\partial f}{\partial x}+Y \frac{\partial f}{\partial y}+Z \frac{\partial f}{\partial z}=0 ; \quad X \frac{\partial \varphi}{\partial x}+Y \frac{\partial \varphi}{\partial y}+Z \frac{\partial \varphi}{\partial z}=0,
\]

которые могут быть рассматриваемы как уравнеиия, определяющие интегралы системы (2).

Пользуясь этим, можно показать, что всякая функция от $f$ и $\varphi$, приравненная постоянной величине, также есть интеграл системы (2). В самом соответственно на $\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial f^{\prime}}$ и $\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \varphi}$ и сложив их, получим
\[
X\left(\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \tilde{f}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+Y\left(\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)+Z\left(\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial z}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=0,
\]

нли
\[
X \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x}+Y \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial y}+Z \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial z}=0,
\]
т. е. е есть интеграл уравневий (2). Обратно, вслкий интеграл уравнепий (2) будет обязателино фунций от $f$ и $\varphi$. В самом деле, предноложим, что существует интеграл $\tilde{\omega}=\gamma$, который не будет фуницей от $f$ и тогда фунцция от $f$, $\varphi$ и о. Умножим уравнения (5) и (6) соответственно на $\frac{\partial \omega}{\partial f}$, $\frac{\partial \omega}{\partial \varphi}$ и $\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{\omega}}$ п сложим; тогда полуини:
\[
X \frac{\partial \omega}{\partial x}+Y \frac{\partial \omega}{\partial y}+Z \frac{\partial \omega}{\partial z}=0 .
\]

Следовательно о также будет интегралом уравнений (2). Но ш еси совершенно произвольная функция от величин $f, \tilde{f}, \tilde{\omega}$, а эти последние независимы друг от друга. Іоэтому можно было бы ввесли $f, \varphi$, $\tilde{\omega}$, как новые перемеьные вместо первовачальны переменных $x, y, z$, и эти первоначальные переменые выразить через $f, \varphi, \tilde{\omega}$. На основании этого можно веяғую функция от $f, \varphi, \widetilde{\oplus}$ равновначна с проияволь ной функцией от $x, y, z$. Таких образом вместо ю можьо подставить либую фунцию от $x, y, z$, т. е. всякая функция от $x, y, z$, приравненная постояной величине, есть интеграл системы (2), что́ невозмолно. Следователино могул существовать только два независимых друг от друга интеграла системы (2), а всякиӥ третий есть функция двух, друг от друга независимых, $f$ и $甲$.

Этим результатом можно воспользоваться для того, чтобы из одного значения множителя $M$ получить все остальные. Пусть $N$ будет вторым значением этого множителя; тогда имеем:
\[
\begin{array}{l}
X \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right\} M=0 \\
X \frac{\partial N}{\partial x}+Y \frac{\partial N}{\partial y}+Z \frac{\partial N}{\partial z}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right\} N=0
\end{array}
\]

Если умножить второе из этих уравнений на $M$, первое на $N$ и ревультаты вычесть один из другого, то получится:
\[
0=X\left\{M \frac{\partial N}{\partial x}-N \frac{\partial M}{\partial x}\right\}+Y\left\{M \frac{\partial N}{\partial y}-N \frac{\partial M}{\partial y}\right\}+Z\left\{M \frac{\partial N}{\partial z}-N \frac{\partial M}{\partial z}\right\}
\]

или после деления на $M^{2}$ :
\[
0=X \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial x}+Y \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial y}+Z \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial z} .
\]

Таким образом $\frac{N}{M}=$ const есть интеграл системы (2) и вместе с этим $\frac{N}{M}$ есть функция от $f$ и $\varphi$, или
\[
N=M F(f, \varphi),
\]
т. е., если $\boldsymbol{\text { I }}$ есть одно значение нножителя, то все прочие значения содержатся в форме $M F(f, \varphi)$. Но по предположению $f=\alpha$ и $=\beta$ являются интегралами системы (2) п следовательно $F(f, \varphi)=$ const. Таким образомя если воспользваться интегральными уравнениями, то различные значени. множителя $M$ будут отличаться друг от друга только постоянным множителем.

Iосмотрим теперь, капие выгоды представляет знание одного значения $M$ ІІри помоци его находят не самый интеграл, как это имеет место для оцного дифференциального уравнения с двуна переменными, но, пользуясь уравнениями $A=M X, B=M Y, C=M^{\prime} C$, находят значения величин
\[
A=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial y} ; \quad B=\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial z} ; \quad C=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial x} .
\]

Выгоду отсюда можно извлечь только тогда, когда одиж интеграл, например $\varphi$, уже известен, а второй $f$ иңется. Вводим вместо одной переменной, например вместо $z$, выражение $\varphi$, так что $z$ предетавится как функция $\varphi$, $x$ и $y$; согласно с этим предположим пскомый интеграл $f$ выраженным через $x, y, \varphi$ и образованные при такой гипотезе частные пропзводные обозначим через $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right),\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right)$; тогда имеем:
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial x} ; \frac{\partial f}{\partial y}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial y} ; \quad \frac{\partial f}{\partial z}=\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial z}
\]

и для величин $A, B, C$ получаем выражения:
\[
A=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial z} ; \quad B=-\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial z} ; \quad C=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial x} .
\]

Из этих последних вытевает, что когда известны интеграл $\rho=\beta$ и одно значение множителя $M$, то можно определить $f$. Действительно, представим себе $f$ выраженным через $x, y$ и $\risingdotseq=\beta$; тогда
\[
d f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) d x+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) d y+\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) d \varphi,
\]

или, так как $d \stackrel{p}{\rho}=0$,
\[
d f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) d x+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) d y .
\]

Но из вышепотученных уравнений для $A$ и $B$ имеем
\[
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{A}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}} ; \quad\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=-\frac{B}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}},
\]

так что
\[
d f=\frac{A d y-B d x}{\frac{\partial \rho}{\partial z}},
\]

и так как теперь
\[
A=M X ; \quad B=M Y,
\]

то
\[
d f=\frac{M}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}(X d y-Y d x) .
\]

Отсюда получается, кақ второй иптеграл системы (2), выранение:
\[
\int \frac{M}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}(\mathrm{X} d y-Y d x)=f=\alpha .
\]

Здесь надо предполагать $X$ и $Y$, которые даны как функции от $x, y$ и $z$, выраженным через $x, y$ п $\varphi=\beta$. Iри тавом предположении $\frac{M}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}$ бупет интегрирующия мнокителем дифференцнально уравнения $X d y-Y d x=0$, кақ это мы видим из уравнения (8). Итақ мы изеен следующую теорему: Если дана система дифференциальн уравнений
\[
d x: d y: d z=X: Y: Z
\]
и. известны, во-первых, один ее интеграл, $=\beta$, во-вторых, одно зналение множителя $M$ этой системи, удовлетворяющее уравнению в частных производных
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right\} M=0,
\]

по выражение
\[
\frac{M}{\frac{\partial !}{\partial z}}
\]

будет интегрируючия множителем дифференциального уравнения
\[
X d y-Y d x=0,
\]

в предположении, что кан из данного множителя, так $и$ из $X$ и исключена переменная $z$ при посредстве уже найденного интеграла $\varphi=\beta$.

Эту теорему можно было бы счесть бесполезной; действительно, в то время как для нахождения второго интеграла $f$ требуется решить уравнение в частных производных
\[
X \frac{\partial f}{\partial x}+Y \frac{\partial f}{\partial y}+Z \frac{\partial f}{\partial z}=0
\]

для того, чтобы определить $M$ и из него найти второй интеграл $f$, надо репить гораздо более сложное дифференциальное уравнение:
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}+\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right) M=0 .
\]

Таким образом кажется, что более легкая задача приведена в более сложной; однако здесь имеет место одно своеобразное обстоятельство. Дифференциальное уравнение в частных пронзводных, которое определяет $f$, т. е. уравнение
\[
X \frac{\partial f}{\partial x}+Y \frac{\partial f}{\partial y}+Z \frac{\partial f}{\partial z}=0
\]

допускает решение $f=$ const, но это очевидное ренение не дает интеграла данной системы и потому должно быть исключено. Такое исключение репения для множителя $I f$ не является необходимым и если например $M$, положенное равным постоянной величине, дает решение уравнения (4), то это значение $M$ можно употребить как множитель так же хоропо, как и всякое другое значение. Случай, когда можно положнть $M=$ const, пмеет место, когда
\[
\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=0
\]

так каг тогда уравнение (4) приводится к уравнению
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}=0,
\]

так что можно положить $M=$ const равным например единице, и тогда получвтся теорема:
Если в системе дифференциальных уравнений
\[
d x: d y: d z=X: Y: Z
\]
$X, Y, Z$ представляют функции от $x, y, z$, удовлетворяющие условию
\[
\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=0 ;
\]

если, далее, известен один интеграл $\varphi=\beta$ данной системы и из этого уравнения $z$ выражен через $x, y, \beta$ найденное значение подставлено в $X, Y, \frac{\partial \varphi}{\partial z}$, mo
\[
\frac{1}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}(X d y-Y d x)=d f
\]

дудет полным дифференциалом и, таким образом, второй интеграл $f=a$ данной системы найдется простой квадратурой.

Надо упомянуть еще втөрой общий случай, который заключает в себе только-что указанный и в котором $M$ также может быть определено. Именно, если в уравнение (4), имеющее место для $M$, после того как это уравнение делением на $M X$ приведено к форме
\[
\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{Y}{X} \frac{\partial M}{\partial y}+\frac{Z}{\mathrm{X}} \frac{\partial M}{\partial z}\right)+\frac{1}{\mathrm{X}}\left(\frac{\partial \mathrm{X}}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)=0,
\]

ввести значения
\[
\frac{Y}{X}=\frac{d y}{d x} ; \quad \frac{Z}{X}=\frac{d z}{d x},
\]

следующие из данной системы (2), то получится
\[
\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial M}{\partial y} \frac{d y}{d x}+\frac{\partial M}{\partial z} \frac{d z}{d x}\right)+\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)=0,
\]

вли
\[
\frac{1}{M} \frac{d M}{d x}+\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)=0,
\]

или наконец
\[
\frac{d \lg M}{d x}+\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)=0 .
\]

Если теперь $\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)$ есть полная производная, взятая по $x$, т. е. вида $\frac{d \xi}{d x}$, то мы имеем:
\[
\frac{d \lg M}{d x}+\frac{d \xi}{d x}=0 ; \quad M=C e^{-\xi} .
\]

Отсюда подучается теорема:
Пусть дана система
\[
d x: d y: d z=X: Y: Z ;
\]

пусть далее выражение
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)
\]

равно $\frac{d \xi}{d x}$, м. е. равно какой-ниӧуд полной производной по $x$; наконец, пусть. $\varphi=\beta$ есть известный интеграл систекы; тогда выражение
\[
\frac{e^{-\xi}}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}(\boldsymbol{X} d y-Y d x)
\]

есть полный дифференциал, в предполоэении, что здесь всё выражено в х и у при посредстве интеграла $\varphi=\beta$. Этот результат можно выразить конечно еще и так, что обе переменние дифференциального выражения, для которого дается интегрирующий множитель, будут не $x$ и $y$, а $x$ и $z$ или $y$ и $z$.

Мы дадим примеры этих теореи. Пусть сначала надо проинтегрировать обыкновенное дпфференциальное уравнение второго порядка, именно
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=f\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right)=u \text {. }
\]

Если ввести новую переменную $z=\frac{d y}{d x}$, то получим два уравнения:
\[
\frac{d y}{d x}=z ; \frac{d z}{d x}=u \text {. }
\]

Таким образом
\[
d x: d y: d z=1: z: u
\]

и потому, согласно прежним обозначениям,
\[
X=1 ; \quad Y=z ; \quad Z=u .
\]

Чтобы можно было применить первую из выведенных теорем, должно быть
\[
\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=0
\]

но в рассматриваемом случае $\frac{\partial X}{\partial x}=0, \frac{\partial Y}{\partial y}=0, \frac{\partial Z}{\partial z}=\frac{\partial u}{\partial z}$, так что имеет место условие
\[
\frac{\partial u}{\partial z}=0
\]
т. е. в $u$ не должно входить $z$ пли, что то же, $\frac{d y}{d x}$. Сделав это допущение, получаем теорему:
IIредположим, что дано дифференциальное уравнение
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=f(x, y)
\]

әде $f$ не содержит $\frac{d y}{d x}$ и известен один его первый интеграл
\[
\varphi\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right)=\alpha,
\]

который, будучи решен относительно $\frac{d y}{d x}$, дает
\[
\frac{d y}{d x}=\psi(x, y, \alpha)
\]

или
\[
d y-\psi(x, y, \alpha) d x=0
\]

могда выражение
\[
\frac{1}{\frac{\partial \varphi}{\partial \frac{d y}{d x}}},
\]

предттавленное как функция от $x, y$ и будет интегрирующим множителем этого дифференциального ураєнения.

Пример на вторую теореиу дает вариационное исчисление. Iростейшая его задача есть та, в которой интеграл
\[
\int \psi\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right) d x
\]

должен быть максимумом или минимумом. Эта задача приводит к дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d \frac{\partial \psi}{\partial y^{\prime}}}{d x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad y^{\prime}=\frac{d y}{d x} .
\]

Первое из них, представленное в развернутом виде, дает
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y^{\prime}}+\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{\partial^{2}}{\partial y} ;
\]

таким образом
\[
\frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{\frac{\partial \psi}{\partial y}-\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x \partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}}=u
\]

или, если для краткости положить
\[
v=\frac{\partial^{\psi}}{\partial y}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}=\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{d y^{\prime}}{d x},
\]

To
\[
\frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{v}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}}=u \text {. }
\]

Но кроме того
\[
\frac{d y}{d x}=y^{\prime}
\]

поэтому
\[
d x: d y: d y^{\prime}=1: y^{\prime}: u .
\]

Здесь $y^{\prime}$ стоит на месте переменной, выпе обозначенной через $z$, и таким образом
\[
X=1 ; \quad Y=y^{\prime} ; \quad Z=u .
\]

Чтобы можно было ирименить вторую теорему, выражение
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)
\]

должно быть полной производной по $x$. В рассматриваемом случае оно равно
\[
\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}} \text {, }
\]

и следовательно, спрашивается, может ли $\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}$ быть предетавлена как полная производная по $x$. Имеем
\[
u=\frac{v}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}},
\]

так что
\[
\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}=\frac{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{3} \psi}{\partial y^{\prime 3}} v}{\left(\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}\right)^{2}}
\]

должен быть максимумом или мижимумом. Эта задача гриводит к дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d \frac{\partial \psi}{\partial y^{\prime}}}{d x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad y^{\prime}=\frac{d y}{d x} .
\]

Первое из них, представленное в развернутом виде, дает
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y^{\prime}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{\partial_{\Psi}}{\partial y} ;
\]

таким обрразом
\[
\frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{\frac{\partial \psi}{\partial y}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}}=u
\]

или, если для краткости положить
\[
v=\frac{\partial^{\psi}}{\partial y}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}=\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{d y^{\prime}}{d x},
\]

To
\[
\frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{v}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}}=u \text {. }
\]

Но кроме того
\[
\frac{d y}{d x}=y^{\prime},
\]

поэтому
\[
d x: d y: d y^{\prime}=1: y^{\prime}: u .
\]

Здесь $y^{\prime}$ стоит на месте переменной, выше обозначенной через $z$, и таким образом
\[
\mathrm{X}=1 ; \quad Y=y^{\prime} ; \quad Z=u .
\]

Чтобы можно было применить вторую теорему, выражение
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)
\]

должно быть полной проивводной шо $c$. В рассматриваемом случае оно равно
\[
\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}} \text {, }
\]

и следовательно, спрашивается, может ли $\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}$ быть представлена как полная пропзводная по $x$. Имеем
\[
u=\frac{v}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}},
\]

так что
\[
\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}=\frac{\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{3} \Psi}{\partial y^{\prime 3}} v}{\left(\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y^{\prime 2}}\right)^{2}}
\]

ппо выражение
\[
\frac{1}{\frac{\partial \varphi}{\partial \frac{d y}{d x}}} \cdot \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y^{\prime 2}},
\]

представленное как функиия от $x, y$ и а, есть интегрируюгий множитель этого дифференииального уравнения.

К этой категории задач максимума или минимума принадлежит например определение вратчайшей линии на данной поверхности. Эта задача приводит г дифференциальном уравнению второго порядка; если иввестен один интеграл этого уравнения, то можно огределить множитель того дифференциального уравнения первого порядка, которое остается еще проинтегрировать.

Всё, что было сказано до сих пор о простейпем случае вариационного исчисления, можно распространить на самый общий случай, в котором под знаком интеграла стопт функци, содержащая произвольно большое число переменных $y, z, u \ldots$, зависящих от одной переменной $x$, и сверх того еще производные до какого угодно высокого порядка от этих переменных. Когда такая задача сведена к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными, то последнее интегрирование также может быть выполнено. Но, чтобы получить этот результат, необходимо привести некоторые теоремы относительно выражений, которые встречаютея шри решении линейных уравнений и которые навваны Лашласом результантами, Гауссом – определителями и Коши – альтернативными фунцциями.