Интегрирование уравнения в чаетных проиввопных $f=h$ или $H=h$. в тридцать второй лекции (стр. 223) было приведено к репению снетемн совместных уравнений
\[
\left(H_{i}, H_{k}\right)=0 \text {. }
\]

Если фунции $H$ огределены, из этих уравнений, то уравнения
\[
H=h, H_{1}=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}
\]

дают такие зпачения для $p$, для которых выражение
\[
d V=p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}
\]

б́удет полным дифференцилом. Но вместо того чтобы произвести совместное интегрирование системы (1) при помоци принципов, изложенных в тридцать четвертой лекции, можно поставить себе задачу нешосредственно найти выражения, которые принимают $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, вследствие уравнений (2). Іредставим себе, как это издожено в тридцать первой лекции (стр. 213), $p_{1}$ выраженным в функции величин $q$ и $p_{2}, p_{3}, \ldots p_{n}$, далее $p_{2}$ определенным в функции величин $q$ и $p_{3}, p_{4}, \ldots p_{n}$ и т. д. Если найдены $p_{1}, \quad p_{2}, \ldots p_{i}$, то раныпе, чем приступить к разысканию $\boldsymbol{p}_{i+1}$, их можно выразить через $p_{i+1}, p_{i+2}, \ldots p_{n}$ и через $q$. Те $i$ уравнений, когорым тогда должна одновременно удовлетворять функция $p_{i+1}$, найдем из уравнения (7) тридцать первой лекции (стр. 213), если в нем заменим $i$ последовательно числами $1,2, \ldots$, а вместо $i$ подетавим $i+1$. И так как тогда $p_{i}$ вависит только от $p_{+1}, p_{i+2}, \ldots \boldsymbol{p}_{n}$, а $p_{i+1-1}$ – только от $\boldsymbol{p}_{i+2}, p_{i+3}, \cdots p_{n}$, то укаванное уравнение приводит $ь$ следующей системе:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{1}}-\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i+1}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+2}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i+2}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+3}} \cdot \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i+3}}+\cdots+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{n}} \times \\
\times \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{n}}-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{i+1}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_{1}}{\partial \boldsymbol{p}_{i+2}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+2}}-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{i+3}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+3}}-\ldots- \\
-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{n}}=0 \\
\frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i+1}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+2}} \cdot \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i+2}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+3}} \cdot \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i+3}}+\cdots+ \\
+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{i+1}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{i+2}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{p}_{i+1}}{\partial q_{i+2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{i+3}} \\
\times \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+3}} \cdots-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{n}}=0 \\
\frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i+1}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+2}} \cdot \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i+2}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+3}} \cdot \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i+3}}+\cdots+ \\
+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{n}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+1}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+2}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+2}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+3}} \times \\
\times \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+3}}-\cdots-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{n}}=0 . \\
\end{array}
\]

Мы гожем еще шреобразовать эту систему, для чего, вместо того, чгобы расскатривать $p_{i+1}$ как функцио величин $p_{i+2}, p_{i+3}, \cdots p_{n}, q_{1}$, $q_{3}, \ldots q_{n}$, вводим уравнение
\[
t=\text { const, }
\]

евязывающее $p_{i+1}$ п эти величины. Т’гда будем иметь қа $h>i+1$ :
\[
\frac{\partial f}{\partial p_{i+1}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{h}}+\frac{\partial f}{\partial p_{h}}=0
\]

и дая всякого вначения $h$ :
\[
\frac{\partial f}{\partial p_{i+1}} \cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{h}}+\frac{\partial f}{\partial q_{h}}=0 .
\]

Таким обравом, если уравнения (3) умножить соответственно на $\frac{\partial f}{\partial p_{i+1}}$, то они приму следующую форму:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial f}{\partial q_{1}}+\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i+1}} \cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+1}}+\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i+2}} \cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+2}}+\cdots+\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{n}} \cdot \frac{\partial f}{\partial p_{n}}- \\
-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{i+1}} \cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{i+2}} \cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+2}}-\cdots-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial f}{\partial q_{n}}=0, \\
\frac{\partial f}{\partial q_{2}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i+1}} \cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+1}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i+2}} \cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+2}}+\cdots+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}} \cdot \frac{\partial f}{\partial p_{n}}- \\
-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i+1}} \cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{i+2}} \cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+2}} \cdots-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial f}{\partial q_{n}}=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+1}} \frac{\partial f}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+2}} \cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+2}}-\cdots-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial f}{\partial q_{n}}=0 . \\
\end{array}
\]

Совместное интегрирование этой системы опирается на теореиы, данные в конце тридцать первой лекции и в тридцать четвертой левции. Пусть $p_{\text {\% }}$ есь одна из величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и пусть
\[
\varphi_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}}=0
\]

есть уравнение, шри номощи которого $p_{\mathrm{x}}$ выражается через $p_{i+1}, p_{i+2}, \ldots$. . . $p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial\left(\varphi_{x}-p_{x}\right)}{\partial p_{i+h}}=\frac{\partial \varphi_{x}}{\partial p_{i+h}}=\frac{\partial p_{x}}{\partial p_{i+h}}, \\
\frac{\partial\left(\varphi_{x}-p_{x}\right)}{\partial q_{h}}=\frac{\partial \varphi_{x}}{\partial q_{h}}=\frac{\partial p_{x}}{\partial q_{h}} ;
\end{array}
\]

өсли же $h<i+1$, то мы имеем
\[
\frac{\partial\left(\varphi_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}}\right)}{\partial p_{h}}=0, \quad \frac{\partial\left(\varphi_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}}\right)}{\partial p_{\mathrm{x}}}=-1 .
\]

Поэтому уравнения (4) при помощи обозначения ( $\varphi, \psi$ ) могут быть написаны тақ:
\[
\left(f, \varphi_{1}-p_{1}\right)=0,\left(f, \varphi_{2}-p_{2}\right)=0, \ldots\left(f, \varphi_{1}-p_{1}\right)=0 .
\]

Если мы теперь образуем выражение ( $\varphi_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}}$, $\varphi_{\lambda}-p_{\lambda}$ ), где $\%$ и $\lambda$ обовначают какие-нибудь два из чисел $1,2, \ldots . i$, то получим:
\[
\left(\varphi_{x}-p_{x}, \varphi_{\lambda}-p_{\lambda}\right)=0 .
\]
b самом деле, как $\varphi_{x}-p_{x}$, так и $\varphi_{\lambda}-p_{\lambda}$ принадлежат системе ураннений, служащих для определения $p$, а цотому, на основании теоремы, панной в конце тридцать первой лекции, вышеприведенное выражение должно обращаться в нуль. Далее в тридцать четвертой лекцви было показано, что если $(\varphi, \psi)=0$, то ив одного репения $F$ уравнения
\[
(f, \varphi)=0
\]

можно вывести дальнейшие решения:
\[
F^{\prime}=(F, \psi), F^{\prime \prime}=\left(F^{\prime}, \psi\right) \text { и т. д. }
\]

Если мы применим эту теорему к каким-нибудь двум уравнения
\[
\left(f, \varphi_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}}\right)=0,\left(f, \varphi_{\lambda}-p_{\lambda}\right)=0
\]

системы (5); то ұвидим, что из какой-либо функции $F$, удовлетворяющей уравнению
\[
\left(F, \varphi_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}}\right)=0,
\]

можно получигь ряд новых репений этого же уравнения, а именно тавне:
\[
F^{\prime}=\left(F, \varphi_{2}-p_{\lambda}\right) F^{\prime \prime}=\left(F^{\prime}, \varphi_{\lambda}-p_{2}\right) \text { и т. д. }
\]

Наконец, отсюда следует теорема: Если $F^{*}$ есть совместное решение уравнений
\[
\left(f, \varphi_{1}-p_{1}\right)=0,\left(f, \varphi_{2}-p_{2}\right)=0, \cdots\left(f, \varphi_{h-1}-p_{h-1}\right)=0,
\]

мо выражения
\[
F^{\prime}=\left(F, \varphi_{h}-p_{h}\right), F^{\prime \prime}=\left(F^{\prime}, \varphi_{h}-p_{h}\right), \ldots
\]

талже оудут совместными решениями тех же уравнений.
Іредголожин тешерь, что нами найдено одно общее решение $F$ первых $h-1$ уравнениї (5) и ищется репение, которое удовлетворяет также $h$-му нз этих уравнений. Тогда встает вопрос, существует ли такая функция $\Phi$, которая удовлетворяет последнему уравнению и является функцией только от $F^{\prime}$, от полученных из $F^{\prime}$ ренений $F^{\prime}, F^{\prime \prime}, \ldots F^{(\mu-1)}$ и от величин $q_{h}, q_{h+1}, \ldots q_{i}$, причем эти последние величины, очевидно, удовлетворяют $h-1$ первым уравнениям (5) [или (4)]. Число $\mu$ ограничено тем, что функция $F^{(\mu)}$ должна выражаться через предыдущие функции $F^{\prime}, F^{\prime}, \ldots$ $\ldots F^{(4-1)}$ н через $q_{h}, q_{h+1}, \ldots q_{i}$, так чго
\[
I^{(\mu)}=\mathrm{II}\left(F^{\prime}, F^{\prime}, \ldots F^{(\mu-i)}, q_{h}, q_{h+1}, \ldots q_{i}\right) .
\]

Но $h-1$ цруг от друга независимых линейных уравнений в частных цроивводных с $2 n-i$ цеременными $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{i+1}, p_{n}$ вообще допускают только
\[
2 n-i-(h-1)
\]

общщих решений; поэтому число аргументов функции II не может превншать этого чнсла, т. е.
\[
(b+i-(h-1) \leqq 2 n-i-(h-1)
\]

ИІн
\[
\mu \leqq 2(n-i) .
\]

Если мы теперь будем рассматривать некоторое решение $\Phi$ уравнення
\[
\left(\Phi, \varphi_{h}-p_{h}\right)=0,
\]

как функцию аргументов, входящих в функцию II, то получим
\[
\begin{array}{c}
0=\left(\Phi, \varphi_{h}-p_{h}\right)=\frac{\partial \Phi}{\partial F}\left(F, \varphi_{h}-p_{h}\right)+\frac{\partial \Phi}{\partial F},\left(F^{\prime}, \varphi_{h}-p_{h}\right)+\ldots+ \\
+\frac{\partial \Phi}{\partial F^{(\mu-1)}}\left(F^{(\mu-1)}, \varphi_{h}-p_{h}\right)+\frac{\partial \Phi}{\partial q_{h}}\left(q_{h}, \varphi_{h}-p_{h}\right)+ \\
+\frac{\partial \Phi}{\partial q_{h+1}}\left(q_{h+1}, \varphi_{h}-p_{h}\right)+\ldots+\frac{\partial \Phi}{\partial q_{i}}\left(q_{i}, \varphi_{h}-p_{h}\right) .
\end{array}
\]

Тав как $h$-ое уравнение системы (4) или (5) содержит только производные, взятые по $q_{h}$, но не по $q_{h+1}, q_{h+2}, \ldots q_{i}$, то коэффициенты
\[
\left(q_{h+1}, \varphi_{h}-p_{h}\right),\left(q_{h+2}, \varphi_{h}-p_{h}\right), \cdots\left(q_{i}, \varphi_{h}-p_{h}\right)
\]

обращаются в вуль и, кроме того, мы находим:
\[
\left(q_{h}, \varphi_{h}-p_{h}\right)=1 \text {. }
\]

Если мы теперь примем во внимание закон образования функцнй $F$, то увидим, что уравнение (6) или (7) перейдет в следующее:
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial q_{k}}+F^{\prime} \frac{\partial \Phi}{\partial F}+F^{\prime \prime} \frac{\partial \Phi}{\partial F^{
u}}+\ldots+\Pi \frac{\partial \Phi}{\partial F^{(\mu-1)}}=0 .
\]

Вид этого уравнения свидетельсквет о том, что указанным способом можно опрелелит функцию $\Phi$; в самом деле, коэффициенгы этого уравпения содержат только те переменные, от которых $н о$ предположению завиеит функция $\Phi$.

Для того чтобы получить решение уравнения (8), требуется найтн только один интеграл системы дифференциальных уравнений или, что равносильно этому, первый интеграл дифференциального уравнения ц-го порядка
\[
\frac{d^{\mu} F^{\gamma}}{d q_{h}^{\mu}}=\Pi,
\]

где в функцию $\pi$ надо поставить вместо величин $F^{\prime}, F^{\prime \prime}$, . . $F^{(\mu-1)}$ величины
\[
\frac{\partial F^{\prime}}{\partial q_{h}}, \frac{d^{2} F^{\prime}}{\partial q_{h}^{2}}, \ldots \frac{d^{\mu-1} F}{d q_{h}^{\mu-1}} .
\]

Этот результат можно представить в виде следующей теоремы: Если известно совместное решение, обиее для первых $h-1$ уравнений системы (4) или (г), то для разыскания решения, удовлетворяющего такж: $u$ h-му уравнению, требустся только знание одного первого интеграла некоторого дифференииального уравнения порядка не выше $2(n-i) \cdot 2$.

Чтобы теперь найти решение, общее для всей системы (5), надо указанную операцию повторить $i$ рав подряд. Сначала разыскиваем решение $F$ ‘ первого уравнения (5) или интеграл системы 2 ( $n-1$ ) дифференциальных уравнений
\[
\frac{d p_{i+1}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i+1}}, \frac{d p_{i+2}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i+2}}, \ldots \frac{d p_{n}}{d q_{1}}=\frac{d p_{1}}{d q_{n}},
\]

\[
\frac{d q_{i+1}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{i+1}}, \frac{d q_{i+2}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{i+2}}, \ldots \frac{d q_{n}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{n}} .
\]

Эатем выводим отсюда другие решения того же уравнения, а именно:
\[
\begin{array}{l}
F^{\prime}=\left(F, \varphi_{2}-p_{2}\right), F^{\prime \prime}=\left(F^{\prime}, \varphi_{2}-p_{2}\right), \ldots F^{(\mu)}=\mathrm{II}\left(F, F^{\prime}, \ldots F^{(\mu-1)},\right. \\
q_{2}, q_{3}, \ldots q_{1} \text { ). } \\
\end{array}
\]

Веявий первый интегразі уравнения
\[
\frac{d^{\mu} F}{d q_{2}^{\mu}}=\Pi\left(F, \frac{d F}{d q_{2}}, \ldots \frac{d^{(\mu-1)} F}{d q_{2}^{(\mu-1)}}, q_{2}, q_{3}, \ldots q_{i}\right),
\]

еодержащий произвольную постоянную, дает решение, удовлетворяющее ๑боми первым уравнениям (5). Пусть Ф будет это репение; образуем функции $\Phi^{\prime}=\left(\Phi, \varphi_{3}-p_{3}\right), \Phi^{\prime \prime}=\left(\Phi^{\prime}, \varphi_{3}-p_{3}\right), \ldots \Phi^{(v)}=\mathrm{II}\left(\Phi, \Phi^{\prime}, \ldots \Phi^{(v-1)}, q_{B}, q_{4}, \ldots q_{i}\right)$.

Каждый первый интеграл дифференциального уравнения
\[
\frac{d^{v} \Phi}{d q_{3}^{v}}=\Pi\left(\Phi, \frac{d \Phi}{d q_{3}}, \frac{d^{2} \Phi}{d q_{3}^{2}}, \ldots \frac{d^{v-1} \Phi}{d q_{3}^{v-1}}, q_{3}, q_{4}, \ldots q_{i}\right),
\]

содержащий произвольную постоянную, дает фунццию, удовлетворяющую трем первым уравнениям (5), и т. д.

Итак, разыскание решения общего для всей системы (5) или (4) требует знания одного шервого интеграла каждого ив $i$ дифферепциальных уравнений, из которых первое 2 ( $n-i$ )-го порядка, а остальные могут быт также и низшего порядка.

Весь процесс интегрирования требует, таким образом, прежде всего нахождения величины $p_{1}$ из данного уравнения в частных производных. Кав только это сделано, то разыскиваем, во-первых, интеграл системи $2(n-1)$ дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d p_{2}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}, \frac{d p_{3}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{3}}, \ldots \frac{d p_{n}}{d q_{1}}=\frac{\partial \boldsymbol{p}_{1}}{\partial q_{n}} \\
\frac{d q_{2}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{2}}, \frac{d q_{3}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{3}}, \ldots \frac{d q_{n}}{d q_{1}}=-\frac{\partial \boldsymbol{p}_{1}}{\partial p_{n}} .
\end{array}
\]

Ив найденного интегрӓла определяем $p_{2}$ как функцию $q$ и следующих $p$, п, вводя эту функцию в выражение для $p_{1}$, представляем $p_{1}$ как функцию этих же величин.

Загем, во-вторых, ищем интеграл сиетемы $2(n-2)$ дифференциальннх уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d p_{3}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{3}}, \frac{d p_{4}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{4}}, \ldots \frac{d p_{n}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{n}}, \\
\frac{d q_{3}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{3}}, \frac{d q_{4}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{4}}, \ldots \frac{d q_{n}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{n}},
\end{array}
\]

уде производные от $p_{1}$ взяты уже в новом, тодько что угаяанном, смнсле. Іуоть $F=$ const есть интеграл этой системы. Образуем функцин

\[
\begin{array}{c}
I^{\prime \prime}=\frac{\partial F}{\partial q_{2}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{3}} \cdot \frac{\partial F}{\partial p_{3}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{4}} \frac{\partial F}{\partial p_{4}}+\ldots+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}} \frac{\partial F^{\prime}}{\partial p_{n}}- \\
-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{3}} \frac{\partial F}{\partial q_{3}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{4}} \frac{\partial F}{\partial q_{4}}-\ldots-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{n}} \frac{\partial F}{\partial q_{n}}, \\
I^{\prime \prime}=\frac{\partial F^{\prime \prime}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{3}} \frac{\partial F^{\prime}}{\partial p_{3}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{4}} \frac{\partial F^{\prime}}{\partial p_{4}}+\ldots+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}} \cdot \frac{\partial F^{\prime}}{\partial p_{n}}- \\
-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{3}} \frac{\partial F^{\prime}}{\partial q_{3}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{4}} \frac{\partial F^{\prime}}{\partial q_{4}}-\ldots-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{n}} \frac{\partial F^{\prime}}{\partial q_{n}} \text { и г. д., }
\end{array}
\]

до тех пор, пока не получим такую функцию $F^{(\mu)}$ (где $\mu \leqq 2(n-2)$ ), когорая может быть представлена как функция от $q_{2}, F, F^{\prime}, \ldots F^{(4-1)}$. Fсли эта функция будет
\[
F^{(\mu)}=\Pi\left(F, F^{
u}, \ldots F^{(\mu-1)}, q_{2}\right),
\]

то мы должны далее разыскать шервый интеграл днфференциального уравяения $е$-го порядка
\[
\frac{d^{\mu} F}{d q_{2}^{\mu}}=\mathrm{II}\left(F, \frac{d F}{d q_{2}}, \frac{d^{2} F^{\prime}}{d q_{2}^{2}}, \ldots \frac{d^{\mu-1} F}{d q_{2}^{\mu-1}}, q_{2}\right)
\]

тот интеграл имеет вид:
\[
\Phi\left(F, \frac{d F}{d q_{2}}, \frac{d^{2} F}{d q_{2}^{2}}, \ldots \frac{d^{\mu-1} F}{d q_{\mathrm{a}}^{\mu-1}}, q_{2}\right)=\text { const. }
\]

Іосле этого образуем уравнение
\[
\Phi\left(F, F^{\prime}, F^{\prime \prime}, \ldots F^{(\mu-1)}, q_{2}\right)=\text { const. }
\]

Это уравнение служит для определения $p_{3}$. Выразив $p_{3}$ через $p_{4}, p_{5}, \ldots p_{n}$ н $q$ и при посредстве полученного выражения, цредставив также $p_{1}$ в $p_{\text {: }}$ сак функции этих же аргументов, мы разыскиваем, в-третьих, интеграл sнстемы обыкновенных дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d p_{4}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{4}}, \frac{d p_{5}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{5}}, \ldots \frac{d p_{n}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{n}}, \\
\frac{d q_{4}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{4}}, \frac{d q_{5}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{5}}, \ldots \frac{d q_{n}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{n}} .
\end{array}
\]

Пуст тот ивтеграл будет $\Psi=$ const, тогда мы снова образуем функцин
\[
\begin{aligned}
\Psi^{\prime}= & \frac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{4}} \cdot \frac{\partial \Psi}{\partial p_{4}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{5}} \cdot \frac{\partial \Psi}{\partial p_{5}}+\ldots+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}} \cdot \frac{\partial \Psi}{\partial p_{n}}- \\
& -\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{4}} \cdot \frac{\partial \Psi}{\partial q_{4}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{5}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{5}}-\ldots-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial \Psi}{\partial q_{n}}, \\
\Psi^{\prime \prime}= & \frac{\partial \Psi^{\prime}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{4}} \cdot \frac{\partial \Psi^{\prime}}{\partial p_{4}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{5}} \frac{\partial \Psi^{\prime}}{\partial p_{5}}+\ldots+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}} \frac{\partial \Psi^{\prime}}{\partial p_{n}}- \\
– & \frac{\partial p_{2}}{\partial p_{4}} \frac{\partial \Psi^{\prime}}{\partial q_{4}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{5}} \frac{\partial \Psi^{\prime}}{\partial q_{5}}-\ldots-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{n}} \frac{\partial \Psi^{\prime}}{\partial q_{n}} \text { н т. д., }
\end{aligned}
\]

пока не придем к функции
\[
\Psi^{(\gamma)}=\mathrm{U}\left(\Psi, \Psi^{\prime}, \ldots \Psi^{(v-1)}, q_{2}, q_{3}\right),
\]

где $v \leqq 2(n-3)$. Далее разыскиваем шервый ннтеграл дифференцнального уравнення $
u$-го порядка
\[
\frac{d^{
u} \Psi}{d q_{2}^{
u}}=\mathrm{II}\left(\Psi, \frac{d \Psi}{d q_{2}}, \frac{d^{2} \Psi}{d q_{2}^{2}}, \ldots \frac{d^{y-1} \Psi}{d q_{2}^{y-1}}, q_{2}, q_{3}\right),
\]

он имеет вид
\[
\mathrm{X}\left(\Psi, \frac{d \Psi}{d q_{2}}, \frac{d^{2} \Psi}{d q_{2}^{2}}, \ldots \frac{d^{
u-1} \Psi}{d q_{2}^{\gamma-1}}, q_{2}, q_{3}\right)=\text { const. }
\]

Носле этого из фунцции
\[
X\left(\Psi, \Psi^{\prime}, \Psi^{\prime \prime}, \ldots \Psi^{(y-1)}, q_{2}, q_{3}\right)
\]

юбравуем следүющие фунвции
\[
\begin{array}{c}
X^{\prime}=\frac{\partial X}{\partial q_{3}}+\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{4}} \cdot \frac{d X}{\partial p_{4}}+\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{5}} \cdot \frac{\partial X}{\partial p_{5}}+\ldots+\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{n}} \cdot \frac{\partial X}{\partial p_{n}}- \\
-\frac{\partial p_{3}}{\partial p_{4}} \cdot \frac{\partial X}{\partial q_{4}}-\frac{\partial p_{3}}{\partial p_{5}} \cdot \frac{\partial X}{\partial q_{5}}-\ldots-\frac{\partial p_{3}}{\partial p_{n}} \cdot \frac{\partial X}{\partial q_{n}}, \\
X^{\prime \prime}=\frac{\partial X^{\prime}}{\partial q_{3}}+\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{4}} \frac{\partial X^{\prime}}{\partial \boldsymbol{p}_{4}}+\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{5}} \frac{\partial X^{\prime}}{\partial p_{5}}+\ldots+\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{n}} \frac{\partial X^{\prime}}{\partial p_{n}} \\
-\frac{\partial p_{9}}{\partial p_{4}} \frac{\partial X^{\prime}}{\partial q_{4}}-\frac{\partial p_{3}}{\partial p_{5}} \frac{\partial X^{\prime}}{\partial q_{5}}-\ldots-\frac{\partial p_{3}}{\partial p_{n}} \frac{\partial X^{\prime}}{\partial q_{n}} \text { п т. п. }
\end{array}
\]

по тех пор, пока не придем к функцни
\[
X^{(p)}=\mathrm{II}\left(X, X^{\prime}, \ldots X^{(q-1)}, q_{3}\right),
\]
(ге $\rho \leqq 2(n-3)$ ). Іосле этого равыскиваем первый интеграл дифференциального уравнения $р$-го порядка:
\[
\frac{d^{p} \mathrm{X}}{d q_{3}^{\rho}}=\Pi\left(X, \frac{d X}{d q_{3}}, \ldots \frac{d^{p-1} X}{d q_{3}^{p-1}}, q_{3}\right)
\]

он имеет вит:
\[
\mathrm{Q}\left(X, \frac{d X}{d q_{3}}, \ldots \frac{d^{p-1} \lambda}{d q_{9}^{p-1}}, q_{3}\right)=\text { const. }
\]

Уравнение
\[
Q\left(X, X^{\prime}, \ldots X^{(0-1)}, q_{3}\right)=\text { const. }
\]

нослужит для того, чтобы выразить $p_{4}$ через $p_{5}, p_{6}$, .. $p_{w}$ и затем цредставить $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ также как функции этих аргументов.

Продолжая этот процесе далее, мы приходим наконец $\kappa$ тому, что $
u_{1}, p_{2}, \ldots p_{n-1}$ выразятся как функцин от $p_{n}$ и от величин $q$. После этого мы должны будем выразить последнюю велнчнну $p_{n}$ через одни только $q$.

Iля этого сначала разыскиваем интеграл $\Xi$ системы цифференциальных уравнений
\[
\frac{d p_{n}}{d q_{1}}=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{n}}, \frac{d q_{n}}{d q_{1}}=-\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{n}} .
\]

Іосле втого образуем функции
\[
\begin{array}{l}
\Xi^{\prime}=\frac{\partial \Xi}{\partial q_{2}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}} \frac{\partial \Xi}{\partial p_{n}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{n}} \frac{\partial \Xi}{\partial q_{n}}, \\
\Xi^{n}=\frac{\partial \Xi^{\prime}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}} \frac{\partial \Xi^{\prime}}{\partial p_{n}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{t}} \frac{\partial \Xi}{\partial q_{n}} ;
\end{array}
\]

ив этих функций, если не первая, то, во всяком случае, вторая выразятея через $\Xi$ или соответственно через $\Xi$ н $\Xi^{\prime}$ и через величины $q_{2}, q_{3}, \ldots q_{n-1}$. Затем, в случае, когда
\[
\Xi^{\prime}=\mathrm{II}\left(\boldsymbol{\Xi}, q_{2}, q_{3}, \ldots q_{n-1.1}\right),
\]

мы интегрируем уравненне
\[
\frac{d \Xi}{d q_{2}}=I\left(\Xi, q_{2}, q_{3}, \ldots q_{n-1}\right),
\]

в случае же, когда
\[
\Xi^{\prime \prime}=\Pi\left(\Xi, \Xi^{\prime}, q_{2}, q_{3}, \ldots q_{n \cdots 1}\right),
\]

ннтегрируем уравнение
\[
\frac{d^{2} \Xi}{d q_{2}^{2}}=\mathrm{II}\left(\Xi, \frac{d \Xi}{d q_{2}}, q_{2}, q_{3}, \ldots q_{n, 1}\right) .
\]

В цервом из ттих случаев приходим в функцин
\[
Y=Y\left(\Xi, q_{2}, q_{3}, \ldots q_{n-1}\right),
\]

во втором случе, заменяя цроивводную от $\Xi$ снова через $\Xi^{\prime}$, приходим к функции
\[
Y=Y\left(\Xi, \Xi^{\prime}, q_{2}, q_{3}, \ldots q_{n}^{\prime}, 1\right) .
\]

Далее, из функции $Y$ образуем функции
\[
\begin{array}{c}
Y^{\prime}=\frac{\partial Y}{\partial q_{3}}+\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{n}} \frac{\partial Y}{\partial p_{n}}-\frac{\partial p_{3}}{\partial p_{n}} \frac{\partial Y}{\partial q_{n}}, \\
\zeta^{\prime \prime}=\frac{\partial Y^{\prime}}{\partial q_{3}}+\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{n}} \frac{\partial Y^{\prime \prime}}{\partial p_{n}}-\frac{\partial p_{3}}{\partial p_{n}} \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial q_{n}}
\end{array}
\]

и т. д. Іродояжая этот процесс, приходим наконец к функции $\%$ и которой выводим фупкции
\[
\begin{aligned}
Z^{\prime} & =\frac{\partial Z}{\partial q_{n-1}}+\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{n}} \partial Z_{n}-\frac{\partial p_{n-1}}{\partial p_{n}} \frac{\partial Z}{\partial q_{n}} \\
Z^{\prime \prime} & =\frac{\partial Z^{\prime}}{\partial q_{n-1}}+\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{n}} \frac{\partial Z^{\prime}}{\partial p_{n}}-\frac{\partial p_{n-1}}{\partial p_{n}} \frac{\partial Z^{\prime}}{\partial q_{n}} .
\end{aligned}
\]

Юли уже $Z^{\prime}$ являетея функцией II от $Z$ и $q_{n-1}$, то мы инегрируем уравнение
\[
\frac{d Z}{d q_{n-1}}=11\left(\lambda, q_{n-1}\right),
\]

и найденный интеграл дает последнее уравненне, посредством которого $p_{n}$ выражается через $q$. Но, если только
\[
Z^{\prime \prime}=\mathrm{II}\left(Z, Z^{\prime}, q_{n-1}\right),
\]

то мы должны найти гервый ннтеграл дифференциального уравнения второго шорядка
\[
\frac{d^{2} Z}{d q_{n-1}^{2}}=\mathrm{II}\left(Z, \frac{d Z}{d q_{n-1}}, q_{n-1}\right) \text {. }
\]

Еели ттот интеграл ииеет вид
\[
\boldsymbol{\theta}\left(Z, \frac{d Z}{d q_{n-1}}, q_{n-1}\right)=\text { const, }
\]

то для ошределения $p_{n}$ служит уравнение
\[
\theta\left(Z, Z^{\prime}, q_{n-1}\right)=\text { const. }
\]

Таким образом, ири помощи этих операций разыскание полного репения ганного уравнения в частных производных доведено до того момента, когда остается только вышолнить квадратуру и получить
\[
V=\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{\eta_{n}}\right) .
\]

Если каждую из рассмотренных систем свести к однону обыкновенному дифференциальому уравнению выспего порядка, то придется разыскивать по одному интегралу:
ๆля одного дифференциального уравнения 2 ( $n-1$ )-го шорядка,
, двух дифференциальних уравнений $2(n-2)$-го порядка,
$\” i$ дифференциальных уравнений $2(n-i)$-го порядка,
$\” n-1$ дифференциальных уравнений 2-го горядка.

Но только в самом неблагоприятном случае все дифференциальные уравнения действительно достигают указанного здесь порядка. Вообще же, в каждом данном классе только оцно уравнение достигает этого порядка, щорядки же других уравнений более или менее снижены.