Мы будем тешерь исстедовать, какую шольз можно извлечь ды уравнения в частных шроизводных из принцша сохрапения центра тяжести.

Коль скоро можно выбрать переменные так, что одна из них сама не входит в уравнение в чафтных производшых $T\leftrightharpoons U-\alpha$, а входит только проивводная, взятая по этой переменной от функции $W$, то мы можем тем же способом преобразования, которым была выведена функция $W$ из $V$, исключить эту переменную из дифференциаюного уравнения и таким обравом уменьшить число входящих в него переменных.

Рассиотрим случай свободной системы $n$ материальнх точек, где $T=$ $=\frac{1}{2}\sum m_i(x_i^{\prime 2}+y_i^{\prime 2}+z_i^{\prime 2})$; тыд мы имеем (см. двадцать первую лекцик: стр. 147) уравнение в частных производных:
$$\frac{1}{2}\sum \frac{1}{m_i}({\left[\frac{\partial W}{\partial x_i}\right]}^2+{\left[\frac{\partial W}{\partial y_i}\right]}^2+{\left[\frac{\partial W}{\partial z_i}\right]}^2)=U-\alpha .$$

Если имеет место принцип сохранения центра тяжести, то $U$ зависит толь от разностей координат, так что, если поюжить
$${\xi }_1=x_1-x_n,{\xi }_2=r_2-r_n,\dots {\xi }_{n-1}=r_{n-1}-r_n.$$

то $U$, рассматриваемая как функция координат $x$, выразитея тольк через кобками, когда $W$ рассматриваетея как фунцция от $x_1,x_2,\dots x_n$, и без них, когда она рассматриваетея как функция от ${\xi }_1,{\xi }_{,2},\dots {\xi }_{n-1},\dots$ тогда нотучим
$$\begin{array}{c}\left[\frac{\partial W}{\partial x_1}\right]=\frac{\partial W}{\partial {\xi }_1},\left[\frac{\partial W}{\partial x_2}\right]=\frac{\partial W}{\partial {\xi }_2},\dots \left[\frac{\partial W}{\partial x_{n-1}}\right]=\frac{\partial W_{n-1}}{\partial {\xi }_{n-1}}.\\ \left[\frac{\partial W}{\partial x_n}\right]=-(\frac{\partial W}{\partial {\xi }_1}+\frac{\partial W}{\partial {\xi }_2}+\dots +\frac{\partial W}{\partial {\xi }_{n-1}})+\frac{\partial W^r}{\partial x_n}.\end{array}$$

и ири помощи этих формут қія суми $\sum \frac{1}{m_i}{\left[\frac{\partial W}{\partial x_i}\right]}^2$, входящей в уравнение (1), поаччитея новое выражение:
$$\sum \frac{1}{m_i}{\left[\frac{\partial W}{\partial x_i}\right]}^2=\sum \frac{1}{m_s}{\left(\frac{\partial W}{\partial {\xi }_s}\right)}^2+\frac{1}{m_n}{(\frac{\partial W}{\partial x_n}-\sum \frac{\partial W}{\partial s_s})}^2,$$

еяцееся к значку s-от 1 до ж-1. Іоле введения этого выранения в уравнепе в тастных пропвводыих (1), первоначальне переменные $x_1$, неременная $r_n$ больше не будет входить, а будет входит тонью взятая но посредетвом уравненин
$$\frac{\partial H^{\prime }}{\partial x_n}=x^{\prime }.$$

а вуето 11 — новую цеременную
$$H_1={\Vert }^{-}+({\alpha }_0-x_n)\frac{\partial H^{\prime }}{\partial x_n},$$

которая рассматриваетея как функия от ${\xi }_1$, ${\xi }_2,\dots {\xi }_{n-1}$ и ${\alpha }^{\prime }$, причея ${\alpha }_0$ обозначает произвольную постоянную. Щри помощи уравпений
$$\frac{\partial W_1}{\partial {\xi }_1}=\frac{\partial W^{-}}{\partial {\xi }_1},\frac{\partial W_1}{\partial {\xi }_2}=\frac{\partial W^{\ast }}{\partial {\xi }_2}\cdot \cdots \frac{\partial W_1}{\partial {\xi }_{n-1}}=\frac{\partial W}{\partial {\xi }_{n-1}}$$

выражение (2) цреобразуетея тешерь так:
$$\sum \frac{1}{m_i}{\left[\frac{\partial W^{\prime }}{\partial x_i}\right]}^2=\sum \frac{1}{m_s}{\left(\begin{array}{c}\partial H_1^r\\ \partial {\xi }_s\end{array}\right)}^2+\frac{1}{m_s}{({\alpha }^{\prime }-\sum \frac{\partial W_1^{\prime }}{\partial {\xi }_k})}^{\prime \prime };$$

если теперь правую часть (3) подставим в (1) и примем во внимание, что при дифференцировании по $y_i$ или $z_i$ производные от $W$ и от $W_1$ равны эежду собой, то уравнение (1) превратится в уравнение в частных производных д,тя $W_1$ и в это уравнение будет входить только сама переменная $x^{\prime }$, но не производная $\frac{\partial W_2}{\partial {\alpha }^{\prime }}$. Чтобы от переменных ${\alpha }^{\prime }$ и $W_1$ снова вернуться $k{x}_n$ Н ${\mathrm{H}}^r$. воспользуемея уравнениями:
$$\frac{\partial W_1}{\partial {\mathit{\alpha }}^{\prime }}={\alpha }_0-{\alpha }_n,W^r=W_1-{\alpha }^{\prime }\frac{\partial W_1}{\partial {\alpha }^{\prime }}.$$

Выражение (3) эожно еще больпе упростить, заставив исчезнуть те хлены, которые линейны относительно частных производных зависимой переменной, что достигаетея при помощи нового преобразования, аналогичного приведению уравнения конического сечения к его центру. Иненно, положищ
$$W_1=W_2+\sum g_s{}_s.$$

где $g_1,g_2,\dots g_{n-1}$ обозпачают постоянные, еще нуждающиеся в определении, тав что будет
$$\frac{\partial H_1}{\partial {\xi }_s}=\frac{\partial H_2}{\partial {\xi }_s}+g_s$$

тогда выражение (3) перейдет в еледующее:
$$\sum \frac{1}{m_i}{\left[\frac{\partial W}{\partial x_i}\right]}^2=\sum \frac{1}{m_s}{\{\frac{\partial W_2}{\partial {\xi }_s}+g_s\}}^2+\frac{1}{m_n}{\{{\alpha }^{\prime }-\sum g_s-\sum \frac{\partial W_2}{\partial {\xi }_s}\}}^2.$$

Пусть $s^{\prime }$ есть один из зп ов $s$; разыскиваем в правой части уравнения (4) член; умноженный на первую степень $\frac{\partial W_2}{\partial {\varsigma }_{s^{\prime }}}$, и полагаем его равным нулю;

тогда нолучим:
$$\frac{g_{s^{\prime }}}{m_s^{\prime }}-\frac{{\alpha }^{\prime }-\sum g_s}{m_n}=0.$$

Это уравнение должно иметь место для $n-1$ значения $s^{\prime }$. Умнжая его на $m_{s^{\prime }}$ и сумируя от $s^{\prime }=1$ до $s^{\prime }=n-1$, получим сначала значение $\sum g_s$, именно
$$(1+\frac{\sum m_s}{m_n})\sum g_s=\frac{{\alpha }^{\prime }\sum m_s}{m_n},$$

откуда, вводя, как это было сделано в третьей жекции, обозначение
$$M=m_1+m_2+\dots +m_n=\sum m_s+m_n,$$

получим:
$$\begin{array}{l}\sum g_s={\alpha }^{\prime }(1-\frac{m_n}{M}),\\ {\alpha }^{\prime }-\sum g_s=\frac{{\alpha }^{\prime }}{M}{m}_n.\end{array}$$

Внося это выражение в (5), для $g_{s^{\prime }}$ найдем простое значение:
$$g_{s^{\prime }}=\frac{{\alpha }^{\prime }}{M}{m}_{s^{\prime }}$$

так что формула преобразования $W_1$ в $W_2$ напишется с.едующим образом
$$W_1=W_2+\frac{{\alpha }^{\prime }}{M}\sum m_s{\xi }_s\text{. }$$

После подстановки значения $g_s$ в (4) та часть этого выражения, которая не зависит от величин $\frac{\partial W_2}{\partial {\xi }_8}$, будет иметь вид
$$\sum \frac{1}{m_s}{g}_s^2+\frac{1}{m_n}{\{{\alpha }^{\prime }-\sum g_s\}}^2=\frac{{\alpha }^{\prime 2}}{M},$$

и мы шолучим:
$$\sum \frac{1}{m_i}{\left[\frac{\partial W}{\partial x_i}\right]}^2=\sum \frac{1}{m_i}{\left(\frac{\partial W_2}{\partial {\xi }_s}\right)}^2+\frac{1}{m_n}{(\sum \frac{\partial W_2}{\partial {\xi }_s})}^2+\frac{{\mathit{\alpha }}^{\prime 2}}{M}.$$

Если это выражение подставить в уравнение (1) п принять во внимание, что $W_1$ отличается от $W_2$ на величины, не зависящие от $y_i$ и $z_i$, так что при дифференцирөвании по $y_i$ или $z_i$ равны между собою не только производные от $W$ и $W_1$, но также и производные от $W_1$ и $W_2$, то уравнение (1) перейдет в уравнение в частных производных для зависимой переменной $W_2$. Это дифференциальное уравнение не содержит больше $3n$ независимых переменных $x_i,y_i,z_i$, но только $3n-1$; действительно, $n$ переменных $x$ заменены через $n-1$ переменных $\xi$, а вновь введенная величина ${\alpha }^{\prime }$ должна расматриваться как постоянная в виду того, что производная от $W_2$ по этой величине отсутствует. Iроинтегрировав уравнение в частных производных для $W_2$ и определив $W_1$ из $W_2$ при помощи уравнения (6), вводим, как уже замечено выше, $x_n$ при помощи уравнения $\frac{\partial W_1}{\partial {\alpha }^{\prime }}={\alpha }_0-x_n$; после замены $W_3$ ва $W_2$ это уравнение переходит в следующе:
$${\alpha }_0-x_n=\frac{\partial W_2}{\partial {\alpha }^{\prime }}+\frac{1}{M}\sum m_s{s}_s.$$

Это последнее уравнение есть в то же время интеграл дифференциальных уравнений движения, которые могут быть приведены к уравнению в частных производных (1), и притом тот интеграл, который надо присоединить после нахождения интегралов, содержащих $3n-1$ переменных ${\xi }_s$ : $y_i$ п $z_i$, совсем попобно тому, как уравневие $\tau -t=\frac{\partial W}{\partial \mu }=\frac{\partial W_2}{\partial \alpha }$, при посредотве которого вводитея затем $t$, образует в то же вречя постедний интеграл.
Если оба преобразовавия
$$\begin{array}{c}W=W_1-{\alpha }^{\prime }\frac{\partial W_1}{\partial {\alpha }^{\prime }}=W_1-{\alpha }^{\prime }({\alpha }_0-x_n),\\ W_1=W_2+\frac{{\alpha }^{\prime }}{M}\sum m_s{\xi }_s\end{array}$$

соединить в одно, то получитея формула
$$W_2=W-\frac{{\alpha }^{\prime }}{M}\sum _{i=1}^{i=n}{m}_i{x}_i+{\alpha }^{\prime }{\alpha }_0,$$

в которой, кроме того, можно опустить член ${\alpha }^{\prime }{\alpha }_0$ благодаря связанной с $W$ произвольной постоянной, так как само $W$ не входит в уравнение (1).

Так же как этим преобразованием $n$ переменных $x_i$ уравнения в частных производных (1) были приведены к $n-1$ переменным ${\xi }_s=x_s-x_n$, мы можем двумя новыми преобразованиями того же вида привести $2n$ переменных $y_i$ и $z_i$ к $2(n-1)$ переменным ${\eta }_s=y_s-y_n$ п ${\xi }_s=z_s-z_n$ и, соединив все преобразования в одно, шолучить следующую теорему:
$B$ случае свооодной системи $n$ материальны точек, для которой дифференциальные уравнения движения могут оыть приведены $к$ ураєнению в частных производных
$$\frac{1}{2}\sum _{m_i}\{{\left[\frac{\partial W}{\partial x_i}\right]}^2+{\left[\frac{\partial W}{\partial y_i}\right]}^2+{\left[\frac{\partial W}{\partial z_i}\right]}^2\}=U-\alpha ,$$
nonaraeм:
$$\begin{array}{l}{\xi }_1=r_1-x_n,\cdot {\xi }_2=x_2-x_n,\dots {\xi }_{n-1}=x_{n-1}-x_n,\\ r_{i_1}=y_1-y_n,{\eta }_2=y_2-y_n,\dots {\eta }_{n-1}=y_{n-1}-y_n,\\ r_1=z_1-z_n,{\zeta }_2=z_2-z_n,\dots {\zeta }_{n-1}=z_{n-1}-z_n\end{array}$$

и вводим в.место $W$ новую зависимую переменную
$$\mathrm{Q}=W-\frac{{\alpha }^{\prime }}{M}\sum m_i{x}_i-\frac{{\beta }^{\prime }}{M}\sum m_i{y}_i-\frac{{\gamma }^{\prime }}{M}\sum m_i{z}_i;$$

тогда уравнение в частных производиы (1) превращаетея в следующев:
$$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\sum \frac{1}{m_s}\{{\left(\frac{\partial Q}{\partial {\xi }_s}\right)}^2+{\left(\frac{\partial Q}{\partial {\eta }_s}\right)}^2+{\left(\frac{\partial Q}{\partial {\zeta }_s}\right)}^2\}+\frac{1}{2m_n}\{{(\mathbf{\sum }\frac{\partial Q}{\partial {\xi }_s})}^2+{(\sum \frac{\partial Q}{\partial {\eta }_s})}^2+\\ +{(\mathbf{\sum }\frac{\partial \mathbf{Q}}{\partial {\zeta }_s})}^2\}=U-\beta ,\end{array}$$
$2\partial e$
$$\beta =\alpha +\frac{{\alpha }^{\prime 2}+{\beta }^{\prime 2}+{\gamma }^{\prime 2}}{2M}\text{. }$$

Носле интегрирования этого уравнения в частных гроизводных для $\mathrm{\Omega }$ ввотатся переменные $x_n,y_n,z_n$ поредством уравнений
$$\begin{array}{l}{x}_0-x_n=\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial a^{\prime }}+\frac{1}{M}\sum m_{sis}^{\ast },{\beta }_0-y_n=\frac{\partial \mathit{Q}}{\partial {\beta }^{\prime }}+\frac{1}{M}\sum m_s{\eta }_i,\\ {\gamma }_0-z_{is}=\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial {\gamma }^{\prime }}÷\frac{1}{M}\sum m_{s;s},\end{array}$$

и наконец определяетя переменная $t$ цз уравнения
$$=-t=\frac{\partial Q}{\partial x}\text{. }$$
ную $\hat{\beta }$, мы имеем
$$\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial {\mathit{z}}^{\prime }}=\frac{{\alpha }^{\prime }}{M}\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \beta },\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial {\beta }^{\prime }}=\frac{{\beta }^{\prime }}{M}\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \beta },\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial {\gamma }^{\prime }}=\frac{{\gamma }^{\prime }}{M}\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \beta },\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \alpha }=\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \beta },$$

и полтм предыдущие четыре ураввения шереходят в следующие:
$$\begin{array}{c}\frac{\partial Q}{\partial \beta }=z-t,\\ {\alpha }_0-z_n=\frac{{\alpha }^{\prime }}{M}(z-t)+\frac{1}{M}\sum m_s,\\ {\beta }_0-y_n=\frac{{\beta }^{\prime }}{M}(z-t)+\frac{1}{M}\sum m_s{r}_{is},\\ {\gamma }_0-z_n=\frac{{\gamma }^{\prime }}{M}(\tau -t)+\frac{1}{M}\sum m_{b_s}.\end{array}$$

Последние три формулы, если мы их приведем к виду
$$\begin{array}{l}{\alpha }_0+\frac{{\alpha }^{\prime }}{M}(t-\tau )=x_n+\frac{1}{M}\sum m_s{\xi }_s=\frac{1}{M}\sum m_i{x}_i,\\ {\beta }_0+\frac{{\beta }^{\prime }}{M}(t-\tau )=y_n+\frac{1}{M}\sum m_s{\eta }_s=\frac{1}{M}\sum m_i{y}_i,\\ {\gamma }_0+\frac{{\gamma }^{\prime }}{M}(t-\tau )=z_n+\frac{1}{M}\sum m_s{\gamma }_s=\frac{1}{M}\sum m_i{z}_i,\end{array}$$

согласуютея е данными в третьей лекции [стр. 17 формула (3)] формулами для прямолинейного движения центра тяжести, так как величины в правой части являютея не чем иным, гак координатами центра тяжести.