Дальнейним общим рассуждениям будет предшествовать разбор некоторых примеров по методу Гамиытона. Шервым примером послужит движепие шланети вокруг солнца.

В случае евободной системы $n$ материальных точек уравнение в частных производных, к которому сводятел дифференциальные уравнения движения (см. стр. 147), будет слелующе:
\[
T=\frac{1}{2} \sum \frac{1}{m_{i}}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial y_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial z_{i}}\right)^{2}\right\}=I r-\alpha .
\]

Для движения планеты, имеющей гелиоцентрические координаты $x, y, z$, сумма сводитен к одному члену; далее мы положим масу планеты равной 1 и обозначим силу притяжения солнца на расстоянии, равном единице, через $k^{2}$; тогда силовой функцией будет выражение
\[
U=\frac{k^{2}}{r}, \quad \text { ге } r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\]

н ми имеем:
\[
T=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial z}\right)^{2}\right\}=\frac{k^{2}}{r}-\alpha .
\]

Так как в правую часть этого уравнения входит радиус вектор, то целесообразно вместо прямоугольных кооринат $x, y$, ввести полярные координати по формулам
\[
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi \cos \psi, \quad z=r \sin \varphi \sin \psi .
\]

Тогда половина живой силы будет
\[
T=\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)=\frac{1}{2}\left(r^{\prime 2}+r^{2} \varphi^{\prime 2}+r^{2} \sin ^{2} \varphi \psi^{\prime 2}\right),
\]

тan что
\[
\frac{\partial T}{\partial r^{\prime}}=r^{\prime}, \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}=r^{2} \varphi^{\prime}, \quad \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}=r^{2} \sin ^{2} \varphi \psi^{\prime} .
\]

Эти величины представляют собой прежние величины $p$, следовательно их надо положить равными $\frac{\partial W}{\partial r}, \frac{\partial W}{\partial \rho}, \frac{\partial W}{\partial \psi}$; поэтому имеем
\[
r^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial r}, \quad \varphi^{\prime}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial W}{\partial \varphi}, \quad \psi^{\prime}=\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi} \frac{\partial W}{\partial \varphi} .
\]

откда получим
\[
T=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \psi}\right)^{2}\right\} .
\]

Уравнене в частных проивводных (1) превращается поэтому для полярных хординат в стетующе:
\[
\left.\left.1-\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \psi}\right)^{2}\right\}=\frac{k^{2}}{r} \cdots \alpha .
\]
iто уравнение мы проинтегрируем таким путем, что разбиваем его на песколько уравнениї, каждое из которых содержит тольк олпу пезависинук переменню. Еели мы один только первый член левой части положим равных правой части, то получим
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}=\frac{k^{2}}{r}-\alpha ;
\]

мо дифферещиальне уравнение содержит только одну независимую переменную $r$, и тогда остается уравнение
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{\sin ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \psi}\right)^{2}=0,
\]

воторое больне не содержит ғ. ‘то разбиение можно проделать в несколько бопее общей форме, прибавляя и отнимая в правой части уравнения (2) цлеп $\frac{\beta}{r^{2}}$ и шосле этого разлагая уравнение (2) на два еледүющих уравғения:
\[
\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
\partial W \\
\partial r
\end{array}\right)^{2}=\frac{k^{2}}{r} \alpha \cdot \frac{\beta}{r^{2}} \text { н } \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial \rho}\right)^{2}+\frac{1}{\sin ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \psi}\right)^{2}\right\}=\beta .
\]

Иитеграт первого уравнения будет:
\[
W^{v}=\int \sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha-\frac{2 \beta}{r^{2}}} d r+H^{\prime}(\varphi, \psi) ;
\]

подетавля то значение во второе уравнешие, получим для $I^{\prime}\left(\varphi_{+}^{+} \phi\right)$ диффе-ренцйльое уравнение
\[
\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial F}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{\sin ^{2} p}\left(\frac{\partial F}{\partial \psi}\right)^{2}\right\}=\beta .
\]
trо уравнение в частпых проивводпых можно снова разделить ад два уравнения, каждое ив которых содержит тодько одну независимую переменную. њ самом деле, в правой частн енова прио́авим и вычтем $\frac{\gamma}{\sin ^{2} \varphi}$ и разложих уравиение на двя таких:
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial V}{\partial \varphi}\right)^{2}=\beta-\frac{\gamma}{\sin ^{2} ?} \quad \text { н } \quad \frac{1}{2}\left(\frac{\partial l}{\partial \psi}\right)^{2}=\gamma .
\]

Интеграл первого уравнения будет
\[
V(\varphi, \psi)=\int \sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}} d \varphi+f(\psi),
\]

п, вследетвие второго уравнения, фунцция $f($ (b) должя удолдетворят уравденнор
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial r^{\prime}}\right)^{2}=\gamma
\]

T. e.
\[
f(\psi)=\sqrt{2 \gamma} \cdot \psi
\]

таким образом
\[
F(\varphi, \psi)=\int \sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}} d \varphi+V 2 \gamma \cdot \psi
\]

и, окончательно,
\[
W=\int \sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha-\frac{2 \beta}{r^{2}}} d r+\int \sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}} d \varphi+\sqrt{2 \gamma} \cdot \psi .
\]

Это есть полное решение дифференциального уравнения (2), так как оно содержит необходимое число произвольных постоянных. Таким образом получаем интегральные уравнения движения в форме
\[
\frac{\partial W}{\partial \alpha}=\alpha^{\prime}-1, \quad \frac{\partial W}{\partial \beta}=\beta^{\prime}, \quad \frac{\partial W}{\partial \gamma}=\gamma^{\prime},
\]

ре $\alpha^{\prime}$ еоть цостоянная, раныше обозначенная через г. Вышолив дифференцирование, получим:

Следует заметить, что метод, посредством колорого иы проинтегрировали уравнение (2), может быть распространен на любе число переменных. Это основывается па следующем. Если имеются $n$ перемених $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, го цолагаем
\[
\begin{array}{l}
r_{1}=r \cos \varphi_{1}, \\
r_{2}=r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}, \\
x_{3}=r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
x_{n-1}=r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \ldots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1}, \\
x_{n}=r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \ldots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} ;
\end{array}
\]

тогда
\[
\begin{array}{c}
d x_{1}^{2}+d x_{2}^{2}+\ldots+d x_{n}^{2}=d r^{2}+r^{2} d \varphi_{1}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1} d \varphi_{2}{ }^{2}+ \\
+r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1} \sin ^{2} \varphi_{2} d \varphi_{3}^{2}+\ldots+r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1} \sin ^{2} \varphi_{2} \ldots \sin ^{2} \varphi_{n-2} d \varphi_{n-1}{ }_{n-1} .
\end{array}
\]

Поэтому вытеприведенный метод может быть применен без дальнейших рассуждений, если правая част, уравнения в частных гроивводных может быть представлена в форме:
\[
\begin{array}{l}
f(r)+\frac{1}{r^{2}} f_{1}\left(\varphi_{1}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1}} f_{2}\left(\varphi_{2}\right)+\ldots+ \\
+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1} \sin ^{2} \varphi_{2} \ldots \sin ^{2} \varphi_{n \cdots 2}} f_{n-1}\left(\varphi_{n-1}\right) .
\end{array}
\]

Iроизвольные постоянные $\beta, \gamma$, входящие в интегральные уравнепия (4), имеют замечательные своӥства, которые делают очень важным их введение в задачу возмущения. Іоэтому интересно исследовать геометрическое значение этих постоянных. Это значение получится еледующим образом.

Приравняв нулю выражение, стоящее под знаком корня в интегралах, взятых по $r$, получим уравнение второї етепени относительно $r$; корни этого уравнения представляют наибольшее и нашмешые значения, которые может принимать радиус-вектор. Корни уравнения
\[
\alpha r^{2}-k^{2}+\beta=0
\]

будут таким образом $a(1+e)$ и $a(1-e)$, мде $a$ есть большая полуось, а $e$-эьсентриситет орбнты планеты. Это дает уравнения

так что
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{k^{2}}{\alpha}=2 a, \quad \frac{\beta}{\alpha}=a^{2}\left(1-e^{2}\right), \\
\alpha=\frac{k^{2}}{2 a}, \quad \beta=\frac{k^{2}}{2} a\left(1-e^{2}\right)=\frac{k^{2}}{2} \cdot \frac{p}{2},
\end{array}\right\}
\]

ге $p$ ееть параметр.
Если положить выражение, стоящее нод знаком квадратного корня в интегралах, взятых по $\varphi$, равным нулю, то получится нанбодышее или наименыпее значение для $\sin \varphi$, пменно $\sqrt{\frac{\gamma}{\beta}}$. Но $\cos \varphi=\frac{x}{r}$, где $x$ обозначает расстолние планеты от эклиптик (плоскости $y, z$ ), и следовательно $\cos \varphi$ может уменьшаться до иуля; поэтому для cos $\varphi$ не существует минимума, а только максимум, и это имеет место, колда $\varphi=90^{\circ}-J$, где $J$ обозпачает наклоп орбиты планеты к эклиптке. Следовательно этому значению соютветствует минимальное значение $\sin \varphi$, равное $\sqrt{\frac{\gamma}{\beta}}$, т. е. будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{\frac{\gamma}{\beta}}=\sin \left(90^{\circ}-J\right)=\cos J \\
\sqrt{\gamma}=\cos J \sqrt{\beta}=\frac{l}{2} \cos J V \bar{p} .
\end{array}
\]

Чтобы определить геометрическое значение постоянных $\alpha^{\prime}$, $\beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$, надо сначала точнее уетановить границы интегралов, входящих в (4). Именно, за нижнюю границу одного из этих интегралов можно взять либо какое-нибудь данное числовое значение, либо такое значение, которое обращает в нуль квадратный корень, стояций под знаком интеграла. IIри последнем предшоложении, которое мы прнмем в гальнейшем, границы завпелт от произвольных постоянных $\alpha, \beta$, $\gamma$, п так как интегральные урашнения (1) получились из уравнения (3) дифференцированием по этим постолнным, то можно было бы думать, что к уравнениям (4) должны присоединиться новые члены, которые происходят от границ. Но, по известным правилам дифференцирования, присоединяюциеся члены умножаютея на те значения, которые принимают для нижних границ итегралов фупкции, стоящие в уравнении (3) под знаком интегралов, а так как эти значения обрацаютея в нуль, то уравнения (4) остаютея без изменения.

Іри этих предположениях мы принимаем за нижнюю границу иптеграла, взятого по $r$ и входящего в червое уравнение (4), значение $a(1-e)$, которое $r$ принимает в перигелии. Если тогда верхняя граница падает на то же значение $r$, то первое уравнение (4) дает $t-\alpha^{\prime}=0$, т. е.
\[
\alpha^{\prime}=\text { времени грохождения через шеригелий. }
\]

Чтобы найти значение $\beta^{\prime}$, определпм сначала значение взятого по ч и входящего во второе уравнение (4) интеграла
\[
\phi=\int \frac{d \varphi}{\sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}}}=\int \frac{\sin \varphi d \varphi}{\sqrt{2 \beta-2 \gamma-2 \beta \cos ^{2} \varphi}},
\]

приняв за его нижнюю границу $\varphi=90^{\circ}-\mathrm{J}$
ІІи подетановке
\[
\begin{array}{c}
\cos \varphi=\sqrt{\frac{\beta-\gamma}{\beta}} \cos \eta_{i}, \\
\sin \varphi d \varphi=\sqrt{\frac{\beta-\gamma}{\beta}} \sin \eta d \eta
\end{array}
\]

рассматриваемый интеграл переӥдет в
\[
\Phi=\sqrt{\frac{\beta-\gamma}{\beta} \int \frac{\sin \eta d \eta}{\sqrt{2(\beta-\gamma)\left(1-\cos ^{2} \eta\right)}}} .
\]
T. e. $\mathrm{B}$
\[
\Phi=\frac{1}{\sqrt{2 \beta}} \int d \eta .
\]

Рис. 4.

Для нижей границы $ч=90^{\circ}-J$ получим, согласно уравнению (6), $\sin \varphi=\cos J=\sqrt{\frac{\gamma}{\beta}}$ п следовательно $\cos \varphi=\sqrt{\frac{\beta-\gamma}{\beta}} ;$ поэтому $\cos \eta=$ $=1, \sin \eta=0$. На основании этого интеграл, взятый по $\eta$ надо брать ол нижней границы $\eta=0$, и тогда получтея
\[
\omega=\frac{1}{\sqrt{2 j} \eta}
\]

так что второе уравнение (4) шереїет в следующее:
\[
\beta^{\prime}=-\int \frac{d r}{r^{2} \sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-2 \gamma-\frac{2}{r^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2 \beta}} \eta_{1}}
\]

Из єоононения, имеющего место между $\varphi$ и $\eta$, можно ощределить геометрилеское зшачение $r_{i}$, потому что $\varphi$ есть гинотенуза прямоугольно сферичекого треугольниа, катетами которого являотея $\eta$ п $90^{\circ}-J$.

Іусть теперь $E E$ есть эклитика, $P$ — ее полюе, $B B$—плоскост, оро́ты планеты, $O$ — восходящиї усел; через $T$, перпендикуляно к $B P$, следователь $l^{\prime} Q=90^{\circ}$ — J. Еели далее радиус вектор, проведенный
\[
\eta_{1}=p q_{l}=90^{\circ}-0 p \text {. }
\]
расстолпие терез $\zeta$. Тогда пмеем:

Чтобы определить $\beta^{\prime}$, нужно теперь только взять момент времени, в который планета проходит через перигелий; тогда интеграл, взятый по $r$, будет равен нулю, и мы получим:
\[
\beta^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 \beta}}\left(90^{\circ}-\right.\text { удаление перигилия от восходящего узла). }
\]

Наконец, $\gamma^{\prime}$ получится из третьего уравнения (4). Для $\varphi=90^{\circ}-J$, т. е. когда радиус вектор планеты встречает шар в $Q$, пнтеграл, взятый по , равен пулю, и мы получим:
\[
\gamma^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 \gamma}} \psi^{\prime}
\]

гие $\psi^{\prime}$ есть значение уга $\psi$ соответетвущее точке $Q$. Так как теперь $\operatorname{tg} \psi=\frac{z}{y}$, то $\psi^{\prime}$ обозначает угол, который ось $y$ образует е плоскостью $P Q R$, т. е., если ось $y$ проходит через точку равноденствия $V$, то $\psi^{\prime}=$ $=V R=V O+O R$ равно долготе восходящего узла $+90^{\circ}$. Таким образом имеем:
\[
\gamma^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 \gamma}}\left(90^{\circ}+\text { долгота восходящего узла }\right) .
\]

Таким образом определены все постоянные, входящие в уравнение (4). При интегрировании уравнения в частных производных (2) мы могли бы также воспользоватье тем обстоятельством, что в (2) входит не сама $\psi$, а только $\frac{\partial W}{\partial \psi}$. Іреобравовапие
\[
W=W_{1}+\varepsilon \psi, \frac{\partial W}{\partial \psi}=\varepsilon,
\]

цримененное на основании этого, привело бы нас к уравнению в частных іроизводных
\[
\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial \varphi}\right)^{2}\right\}=\frac{k^{2}}{r}-\alpha-\frac{e^{2}}{2 r^{2} \sin ^{2} \varphi} .
\]

содержащему только две независимые переменные. Но его интегрирование потребовало бы выкладок, по существу не отличающихея от выше примененних.