Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Есяи да системы дифференцианыш уравнений: ооладаюңей очевидным интегралом $H=h$, даны два независяцих от $t$ интеграла $H_{1}=h_{1}$ и $H_{2}=h_{2}$, то, хотя, как мы это видели, вообще нельзя сказать а priori с определенностью, будет ли выраление $\left(H_{1}, H_{2}\right)$, если его приравнять постоянной величите, давать новый интеграл, или же $\left(H_{1}, H_{2}\right)$ сведется к независяцей от $h, h_{1}, h_{2}$ постоянной, или к чисто числовому значению, или, наконец, это последнее сводится п ную. Однако этот вопрос может бит подностью решеп, если $H_{1}=h_{1}$ и $H_{2}=h_{\text {; }}$ являютея интегралами, принадлежащими к системе, получаемой из гамилтонова уравнения в частных производных. Именно мы увидия, что, еси $q=$ const и $=$ const являютея двумя интегралами Гамильтона, то ( $p, \psi$ ) будеч равно дибо 0 , либо $\div 1$. Таким образом два интеграла этой системы никогда не даю нового интеграла. Чтобы донавать эту теорему, мы обрацаемея к вепомогательной теореме, которая погазыпает, во что обращается выражение (?, 山), если в и и , кроне величин $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, вхоцят еще $m$ величин $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{m}$, которне являютея функцияи от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и $\eta_{1}, p_{2}, \ldots y_{n}$. В этом случае можно кан производные, взятые от $\psi$ и по $p$ и $q$, так и выражение $(\varphi, \psi)$ образовач, двум разными способами, смотря по тону, принимать ли во виимание то обстоятеньно, тто переменные $p$ и $q$ входнт в $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{*}$, или не принимать. Производные от и $\psi$, взятые этими двумя способами, мы будеи писать соответственно со скобками или без скобок, а составлепное из ч и внражение с двойными скобками ( $\rho, \psi$ ) или с простыми скобками; тогда буден иметь: Суммы, взятые но $i$, распространются на значения $1,2 \ldots n$, и для каключенных в скобки гронзводных в (2) имеют место равенетв: в которых суммы но $k$ и $k^{\prime}$ надо брать ог 1 до $m$. Если эти выражения нодетавить в (2), то в результате получитея простая сумма, взятая по $i$, двойная сумма по $i$ и $k$ (ияи $k^{\prime}$ ) и тройная сумма по $i, k$ и $k^{\prime}$. Имевно мм иолучим: есди мы в двойных и троӥных суммах переставим порядок суммированин и примем во внимание данное равенством (3) определение выражений вида (s, $)$ ), заключенных в простые скобки, то получим: Так как суммирование по $k$ и $k^{\prime}$ распространяетея на одни и те же значения от 1 до $m$, то в первой сумме первой строчки можно написать $k$ вмесго $k^{\prime}$. Во второй строчке члены, для которых вначения $k$ и $k^{\prime}$ совтадают, обрацаются в нуль благодаря множителю ( $\left.\omega_{k}, \omega_{k^{\prime}}\right)$; остальные члены можно попарно ооединлть в одип члеп, тап как $\left(\omega_{k^{\prime}}, \omega_{k}\right)=-\left(\omega_{k}, \omega_{k^{\prime}}\right)$. Поәтому суми надо распространять только на комбинации по цва различных между собой значений $k$ и $k^{\prime}$, и тогда ( $\omega_{k}$, $\omega_{k^{\prime}}$ ) получитея умноженным на $\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k^{\prime}}}-\frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k^{\prime}}}\right)$, так что в конце концов мы будем иметь равенство Имея в виду дальнейшее применепие, мы придадим формуле (4) некоторый специальный вид, нля чего вместо величин $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ подставия уже ранее ${ }^{1}$ рассматривавшиеся $n$ фунњций $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, которые не содержат произвольных постоянных и зависят только от переменных $q_{1}, q_{2}$, . . $q_{n}$, $p_{1}, \ldots p_{n}$ и которые, будучи приравнены друг от друга певависимым произвольным постоянным $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$, тап определяют переменные $p_{1}$, $\mu_{2}, \ldots p_{n}$ в функция от переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, что выражение становится полным дифференциалом, а его интеграл будет полным решением $V$ уравнения в частных производных $H=h$. Тогда, как мы знаем, будет иметь место тождественное равенство и, следовательно, в общей форнуле (4) двойная сумма, взятая по $k, k^{\prime}$, обратнтея в нуль, после чего мы получим где суммы берутся от $k=0$ до $k=n-1$. Iроизводные $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}}, \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ обратятея в вул, для всякого значения $i$, и получитея и общєе выражение (5) ды $(i, \psi)$ ) теперь принимает следующий простой вид: Это равенств явияется специальной формой вепомогательной теоремы (4), и мы будем им пользоваться при рассмотревии гамильтоновой формы интетралов. Чтобы при этих предположениях написаты полностью в гамильтоновой форме интегралы системы дифференциальных уравнениї (1), воснольуемся, іри сохранении прежних обозначений, уравнениями которые так определяют переменные $\boldsymbol{p}_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, что бутет шоным решением уравнения в частных производны $H=h$. Тогда, как мы знаем, 1 интегральные уравнения системы (1) в гамильтоновой форме нашищутея так: где $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$ обозначают новые произвольные постоянные. Но эт пнтегральные уравнения не все решены относительно произвольных постоянных. Чтобы их получить в этой форхе, т. е., согласно нашей терминологии. как интеграль, мы заменяем первую половину интегральных уравнений (7) равнозначными им интегралами: а во второй их половине, которая уке решена относительно проиввольных чостоянных $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$, вместо $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ подставляем их значения $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$. ‘огда интегральные уравнения, стоящие во второй строке системы (7), в том случае, когда $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ обозначают функции переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p, \ldots p_{n}$, в котые госле этой подстановки превратятея величины $\frac{\partial V}{\partial h}, \frac{\partial V}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial h_{n-1}}$, получатея в форме интегралов: Величины $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ содержат переменные $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ только неявно при госредстве величин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, тақ как функция $V$ и ее шроизводные $\frac{\partial V}{\partial h}, \frac{\partial V}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial h_{n-1}}$ зависят то.нко от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$, и понтому величины $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ зависят только от величин $q_{1}$, $q_{2}, \ldots q_{n}, H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$. Следовательно $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ идеют как раз ту форму, в которой, по нашему предположению, предетавлены величины : и $\psi$ в равенстве (6). То же самое имеет несто, как это само собой разуиеетея, дім величин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, если мы их рассматриваек ьак функции от них самих, но топью тогда в них также не входят явно переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. $К$ выражениям $\left(\left(H_{\alpha}^{\prime}, H_{\beta}^{\prime}\right)\right)$ или $\left(\left(H_{\alpha}^{\prime}, H_{\beta}\right)\right)$, двойшые скобки которых мы теперь отбросим для упрощения обозначений, теперь может быть применена формула (6), данная для ( $(\varphi, \psi)$ ). Если в формуле (6) положим сначала $\varphi=H_{\alpha}^{\prime}, \psi=H_{\beta}{ }^{\prime}$, где а и ? обовначают числа из ряда $0,1, \ldots n-1$, то получится: Но шо определению величин $H_{2}^{\prime}$ имеем: в цредшоложении, что в чроизводной $\frac{\partial V}{\partial h_{\alpha}}$ внесто величин $h_{\kappa}$ цоставлены величины $H_{k}$. Так как из равенства, служащего для опрегеления $V$, для шроизводной от $V$ по $h_{\text {ж }}$ получитея зшачение то, взяв отсюда частную производную по $q_{i}$, будем имет: Следовательно после замены величин $h_{i}$ соответствующими величивами $H_{k}$ получим: Iри посредстве этого равеиства суммн, взятые по $i$, входяцие в формулу (8), принимают следующие простые значения: и равенство (8) переходит в такое: и такьак $\frac{\partial H_{k}}{\partial H_{\alpha}}$ обращаетея в 0 для всех отличных от ж значений $k$, а дая $k=\alpha$ обращатет в единицу, то Іравая часть этого равенства есть нудь; действительно, пусть $V^{\prime}$ обозначает функцию, в которую превращается $V$, если величины $h_{k}$ заменяютея соответствующим величинами $H_{k}$; тогда имеют место равенства так что получин а отсюда следует равенство Теперь, чтобы преобразовать выражения вида ( $H_{\alpha}{ }^{\prime}, H_{\beta}$ ), мы подставих в формул (6) вместо $?$ и $\psi$ значения $\»=H_{\alpha}^{\prime}$, $\psi=H_{p}$; тогда получитея Первая входяцая сюда, взятая по $i$, сумма при посредетве равенотва (9) принимает значение: Вторая же сумма, взятая по $i$, исчезает; в самом деле, так как мы рассматриваем величины $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$ как независимые переменные, то $H_{\beta}$ не содержит $q_{i}$ и все производные $\frac{\partial H_{\beta}}{\partial q_{i}}$ равны нулю. Таким образом равенство (10) превращается в следүющее: и так как $\frac{\partial H_{\beta}}{\partial H_{\alpha}}$ равняется 0 или 1 , смотря по тому, отднчаетея $\beta$ от $\alpha$ или равно $\alpha$, то дая двух различных между собой значений $\alpha$ и $\beta$ имеем если же $\alpha=\beta$, то Наконец, благодаря условным уравнениям, определяющим величины $H$, получаем Таким образои мы имеем ддя величин $H_{\alpha}$ и $H_{\dot{\alpha}}^{\prime}$ следующие тождества: из которых два первых имеют место дін всех значениї $\alpha$ и $\beta$, а последнее только для различных между собой значений $\alpha$ и $\beta$, в то время как для $\alpha=\beta$ имеет место равенство Эти результаты можно обобщить в следующую теорему: в поторой $\boldsymbol{H}$ обозначает данную функиию от переменны $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и которая при $H=T-U$ переходит в систему дифференциальнъх уравнений динамики для случая, когда имеет место прижщип. живой силь. Рассмотрим уравнение в частных производных в romopo.s и $x$ коморому может быть приведена система (1). ПІусть будуп те уравнения, поторые вместе с уравнснием $H=h$ mак определают $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ кан функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, что выраэенне становится нолным дифференциалом, а его ннтетрл оудет полным решениел уравнсния в частных производных $H=h$. Обозначим далее через $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H^{\prime}{ }_{n-1}$ ме функиии переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, в которые преврашаются производные $\frac{\partial V}{\partial h}, \frac{\partial V}{\partial h_{1}} \ldots \frac{\partial V}{\partial h_{n-1}}$, носле того кан постоянные $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ заменятся функииями $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, и составим для системь дифференииальных уравнений (1) систему ес интегралов в форме Гамильтона, т. е. в форме равенств могда 2n функиий $H, H_{1}, \ldots H_{n \rightarrow 1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ ооразующих левы\» части этих ннтегралов, обладают тем свойством, что если в вираженнн Iосредством этой теоремы можно устаповить очень простые формулы хя вариации юостних, что составит предмет следующей декции.
|
1 |
Оглавление
|