Между цвумя радиусами-векторами орбиты планеты и хордой, соединяющей их конечные точки, существуют заметательные соотношения, которые получатся, если исхөдить из обыкновенных дифференциальных уравнений эллинтического цвижения, только гутем сложных выкладок. Мы выведем эти соотнопения без труда из уравнения в частных производных; при этом мы цолжны тольо сделать гипотезу, что $W$ может быть выражено через гелиоцентрический радиус вектор $r$ и через удаление о планеты от некоторой другой точки $M$; хотя еправедливоеть этой гишотезы не видна сразу, a priori, 1 но мы убедияся в ней при дальнеӥших вычислениях.
Пусть координаты точки $M$ булдут $a, b, c$, так что
\[
p^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2} .
\]

Чри- сделанной нами гицотезе, что $W$ может быть выражено через $r$ и миеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial W}{\partial x}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial x}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{x}{r}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{x-a}{\rho} \\
\frac{\partial W}{\partial y}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial y}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{y}{r}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{y-b}{\rho} \\
\frac{\partial W}{\partial z}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial z}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial z}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{z}{r}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{z-c}{\rho} .
\end{array}
\]

Эти выражения надо подставить в уравнение в частных производных
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial z}\right)^{2}=\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha,
\]

н тогда его левая часть превратится в
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial \rho}\right)^{2}+\{2 x(x-a)+2 y(y-b)+2 z(z-c)\} \frac{1}{r \rho} \frac{\partial W}{\partial r} \frac{\partial W}{\partial \rho} .
\]

Выражение, стояпее в скобках, равно $r^{2}+\rho^{2}-r_{0}{ }^{2}$, где
\[
r_{0}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2},
\]

гак что уравнение (1) перехоцит в уравнение:
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial \rho}\right)^{2}+\frac{r^{2}+\rho^{2}-r_{0}^{2}}{r \rho} \frac{\partial W}{\partial r} \frac{\partial W}{\partial \rho}=\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha .
\]
1 Для доказательства требуется следствие, вытекающеө из теорем площадей, qто движенне планеты происходит в одной плоскости, и то известное обстоятельство, ято для точки, перемещающейея по плоскости, оба ее расстоянія от двух неподвнжяых точек могут быть рассматриваемы как определяющее ее положение вөличнны.

От проивведения обеих частных производных можно освободитьея, введя вместо $r$ и $\rho$ их сумиу и разность:
\[
\sigma=r+\rho ; \quad \sigma^{\prime}=\boldsymbol{r}-\rho,
\]

так что имеют место равенства
\[
\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{r}}=\frac{\partial W}{\partial \sigma}+\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}, \frac{\partial W}{\partial \rho}=\frac{\partial W}{\partial \sigma}-\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}} ;
\]

тогда получитея
\[
2\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}+2\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}+\frac{r^{2}+\rho^{2}-r_{0}^{2}}{r \rho}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}-\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}\right\}=\frac{2 k^{2}}{r}-2 x_{0}
\]

Носте умножения на $r_{p}$ будем иметь:
\[
\left\{(r+p)^{2}-r_{0}^{2}\right\}\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}-\left\{(r-p)^{2}-r_{0}^{2}\right\}\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}=2 p\left(k^{2}-\gamma r\right),
\]

откуда, если подставнть руесто $r$, их значения
\[
r=\frac{1}{2}\left(\sigma+\sigma^{\prime}\right), \quad \cdot=\frac{1}{2}\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right),
\]

получитея окончательн:
\[
\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}-\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}=k^{2}\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(\sigma^{2}-\sigma^{2}\right) .
\]

Это уравнение в частных производных можло интегрировать уже иримененным в предыдущей лекции способом, при помощи разложепия па два обыкновенных дифференциальых уравнения, из которых одно содержит топко о и $\frac{\partial W}{\partial \sigma}$, а. другое – топко $\sigma^{\prime}$ и $\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}$. Одновременно ирибавляя и вычитая в правой части произвољную постоянную $\beta$, подучаем оба дифференцильных уравнения
\[
\begin{array}{l}
\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}=-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{2}+k^{2} \sigma+\beta \\
\left(\sigma^{\prime 2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}=-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{\prime}+k^{2} \sigma^{\prime}+\beta
\end{array}
\]

а отеюда получаетея дия $W$ значепие:

Знаки обоих корней или, что то же, инелралов, проивводны и пезависими друг от друга. Таким обравом за $W$ монно браль как сумну, так и разпост. обоих интегралов; шри обоих этих предноложения получател правинные жения может с.ужить тольк больная ини менная простота получаемых формул. Решим взять равность и положим дая согращения
\[
F(s)=-\frac{-\frac{1}{2} \alpha s^{2}+7 i^{2} s+\beta}{s^{2}-r_{0}^{2}} .
\]

тогда, как решепие уравнения (2), мы получим выражение
\[
W=\int d \sigma \sqrt{F(\sigma)}-\int d \sigma^{\prime} \sqrt{F\left(\sigma^{\prime}\right)},
\]

которому мы можем также придать форму
\[
W=\int_{\sigma^{\prime}}^{\sigma} d s V F(s) .
\]

Отсюда следует например формула дая введения времени в қитическое двнжение планеть:
\[
\begin{aligned}
t-\alpha^{\prime} & =-\frac{\partial W}{\partial \sigma}=\frac{1}{4} \int \frac{\sigma^{2} d \sigma}{\sqrt{\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{2}+k^{2} \sigma+\beta\right)}} \\
& -\frac{1}{4} \int \frac{\sigma^{2} d \sigma^{\prime}}{\sqrt{\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} \sigma^{2}+l^{2} \sigma^{\prime}+\beta\right)}}
\end{aligned}
\]

правая чашь которой вообе состоит из элиптических интегранов. Но так как время в координатах, как известно, выражаетел через пуги круга, то отеюда для элиптических интегралов понучаютея следетия, ведущие к основной теореме сложения.

Выражение (4) есть полное решение уравнения в частных производшх (2), так как к нему можно, кроже содержацейея в нем произвольлой постоянной $\beta$, присоединить адцитивно еще. вторую постоянную $C$. Но выражение (4) есть таке полное решение уравнения в частпы производных (1) так как по отношению в эточу уравнению постояними велитипами являютея пе только $\beta$ и $C$, но тақже и $a, b, c$, веледетвне того, что они пе встречаютея в (1), но в то же время входыт в выражение (4). Выражепие (4). црименить подобные полне ренения уравнения в тастных производных содержаңие изнипие постолные, к ннтегрированию свяванной с :тим уравнением системы обыновенны дифферещцальны уравнений. то, хотя мы еще можем приравнять, шроизводные, взятые по всем постояннм, повыи ироизвольным постоянным, но эти новые постояниье пе будут больне независимы друг от друга. С ,ругої стороны можно свободно распорнжаться То же превращение ироивойдет тогда также и с выведенныи отсюда пини ностояпны, сотернащинея в $F(s)$. т. е. $-\frac{1}{2} \alpha s^{2}+k s+\beta$, делаетея полиы кадратом, второї – в том, что и функции $F(s)$.

Мы выберем второй способ и притом по слепующей причине. Если, не придавая постоянным частных значепий, вывести из (4*) интегральные уравнения и между ними уравнение $a^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial a}$, которое, так как а содернитея в $\sigma, \sigma^{\prime}$ и $r_{0}$. принимает форму
\[
a^{\prime}=\sqrt{F}(\sigma) \frac{\partial \sigma}{\partial a}-\sqrt{F\left(\sigma^{\prime}\right)} \frac{\partial \sigma^{\prime}}{\partial a}+a \int d \sigma \frac{\sqrt{F(\sigma)}}{\sigma^{2}-r_{0}^{2}}-a \int d \sigma^{\prime} \frac{\sqrt{\prime} F^{\prime}\left(\sigma^{\prime}\right)}{\sigma^{2}-r_{0}^{2}},
\]

то входящие сюда ыиптические интегралы нельяя браль от $x=a, y=b, z=c$, так как тогда было бы $\rho=0, \sigma=\sigma^{\prime}=\gamma_{0}$ и интегралы обратились бы в бесвонечность, веледствие входяцей в них $\left(-\frac{3}{2}\right)$-ой стенени выракений $\sigma^{2}-4_{0}^{2}$, $\sigma^{\prime 2}-r_{0}^{2}$. Это обращение в бесконечность интекрала в выражении (5) пө будет иредотващено вышеушомянутым первым способом приведения интеграла к специаньну виду, но мы его избежим при втором снособе. А так как именно неободия положит $\rho=0$ в тех формулах, которые должны быть ныведены, то мы выбираем второї снособ.

Ғсли мы, таким образом, нредположим, что числитель $F(s)$ обралается в нуи при $s=r_{0}$, то полччим между $\beta$ и $r_{0}$ соотнопение:
\[
\beta=\frac{1}{2} \alpha r_{0}^{2}-k^{2} r_{0} .
\]

Благодари этому будет
\[
\begin{array}{l}
F(s)=-\frac{1}{2} \alpha\left(s^{2}-r_{0}^{2}\right)+k\left(s-r_{0}\right)=\frac{k^{2}}{s+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha . \\
W=\int_{\sigma^{i}}^{j} d s \sqrt{\frac{k^{2}}{s+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha .} \\
\end{array}
\]
†то есть то значение $W$, дифференцирование которою дает вамечательные формулы для эллиштического движения, откытые Эйлером и Ламбертом и испольвованные Ольберсом и Г’ауссом при определении элементов орбиты. Система первых интегралыи уравнений дается формулами:
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial W^{r}}{\partial x} ; \quad \frac{d y}{d t}=\frac{\partial W}{\partial y} ; \quad \frac{d z}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial z} .
\]

Мы уже выпе выраяини $\frac{\partial W}{\partial x}, \frac{\partial W}{\partial y}, \frac{\partial W}{\partial s}$ черев $\frac{\partial W}{\partial r}$ и $\frac{\partial W}{\partial p}$, а последние величины – через $\frac{\partial W}{\partial \sigma}$ и $\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}$. Іодетавля эти соононения одно s другое и заменяя $\frac{\partial W}{\partial \sigma}, \frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}$ нх значениями $\sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha}$, $-\sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2}}$, получаеными из формулы (7), мы будем иметь уравнения сщравединость которых можно ироверить, возводя их в квадрат и складывая и таким путем выводя теорему живой силы, как это и должно быть. Система интегральны уравнений, свявывающх координаты, дается форучлани
\[
a^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial a}, \quad b^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial b}, \quad c^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial c} .
\]

хе $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ обозначают новне произвольные постоянные.
Ив уравнения (7) получаетея:

подетавня внесто $\frac{\partial \tau}{\partial a}, \frac{\partial \sigma^{\prime}}{\partial a}$ их значения $-\frac{x-a}{\rho},+\frac{x-a}{\rho}$ и припияая во иинание; что
\[
-\frac{1}{2} k^{2} \int \frac{d s}{\left(s+r_{0}\right)^{2} \sqrt{s+r_{0}} \frac{1}{2} \alpha}=\sqrt{\frac{k^{2}}{s+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha,}
\]

находим:
\[
\frac{\partial \|}{\partial x}=\left(\frac{a}{r_{0}}-x-a\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2} x-\left(\frac{\alpha}{r_{0}}+\frac{x-\alpha}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha .}
\]

При помощи этого значения и соответствующих значений для $\frac{\partial W}{\partial b}, \frac{\partial W}{\partial c}$ получаем искомые интегральные уравнения в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\left.\”^{\prime}=\left(\frac{a}{r_{0}}-\frac{x-a}{?}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}} \cdot \frac{1}{2}}-\left(\frac{a}{r_{0}}+\frac{x-a}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha\right) \\
b^{\prime}=\left(\frac{b}{r_{0}}-\frac{y-b}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha}-\left(\frac{b}{r_{0}}+\frac{y-b}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2}}, \gamma(9) \\
e^{\prime}=\left(\frac{c}{r_{0}}-\frac{z-c}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha}-\left(\frac{c}{r_{0}}+\frac{z-c}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}-r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha . \\
\end{array}
\]

Постояние $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ определяем, полагая $p=0$, что являетел допустимым значением ды $\rho$, так как, в силу специального внбора постоянных в уравпении (6), точка ( $a, b, c$ ) есть точка орбиты шланеты. 1

Таким образом, если мы заставии подвижную точку ( $x, y, z)$ совпасть е пешодвижной $(a, b, c)$, то дроби $\frac{x-a}{\rho}, \frac{y-b}{\rho}, \frac{z-c}{\rho}$ примут форму
1 Чтобы доказать это утверждение, необходимо вернуться к выражению (4*) для $W$, еще не приведенному к специальному виду. Оно являетея полным репением уравнения в частных производных (2), а к этому последнему сводится задача движения планеты при присоединении уравнения плоскости орбиты планеты, если решение ицется в переменных $\sigma, \sigma^{\prime}$, причем $a, b, c$ рассматриваются не как произвольные, а как данные постоянные. Отсюда следует, что если из (4) вывести новое уравнение $\beta^{\prime}=\frac{\partial W^{*}}{\partial \beta}$, где $\beta^{\prime}$ обозначает произвольную постолнную, то это уравнение, вместе с уравнением плоскости орбиты планеты, определяет орбиту. Тһфференцированиө по $\beta$, если для сокращения положить
\[
f(s)=\left(s^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} \alpha s^{2}+k^{2} s+\beta\right),
\]

дает
\[
2 \beta^{\prime}=2 \frac{\partial W}{\partial \beta}=\int_{\sigma^{\prime}}^{j} \frac{d s}{\sqrt{f(s)}} .
\]

Это есть трансцөндевтная форма интеграла дифференциального уравнення
\[
0=\frac{\lceil d \sigma}{\sqrt{f(\sigma)}}-\frac{d \sigma^{\prime}}{\sqrt{f\left(\sigma^{\prime}\right)}},
\]

интегральное уравненне которого в алгбраическом видо, вследствие эйлероной георемы сложения әллнтических интегралов, получается в следующей форме, данной Лагранжем (Miscellanea Taurinensia, IV, p. 110):
\[
\frac{\sqrt{f(\sigma)}+\sqrt{\sigma\left(\sigma^{\prime}\right)}}{\sigma-\sigma^{\prime}}=\sqrt{\left(a^{2}+k^{2}\left(\sigma+\sigma^{\prime}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(\sigma+\sigma^{\prime}\right)^{2},\right.}
\]

ге $b^{2}$ обозначает постоянную интегрирования.
Для получения условия того, чтобы точка ( $a, b, c$ ) лежала на орбите планеты, т. е. чтобы можно было положить $\rho=0$, откуда тогда еледует $x=\iota_{\text {; }}$ $y=b, z=c, r=r_{0}, \sigma=\sigma^{\prime}=r_{0}$, мы песледуем снатала случай, когта $\rho$ есть беснонечно малая велитина.

Пусть $\theta$ есть, угол, которыи образует радиус-вектор $r_{0}$, направленный от солнца і точке $(a, b, c)$, с касательной к орбите планеты в точке ( $a, b, c)$, направленной от этой точки к бееконечно близкой точке ( $x, y$, $z$ ); тогда имесм дтя бес конечно жалых зпачений
\[
r-r_{0}=\rho \cos \theta,
\]

о’куда
\[
\left.\begin{array}{rl}
z-r_{0} & =r-r_{0}+\rho=(1+\cos \theta) p_{2} \\
z^{\prime}-r_{0} & =r-r_{0}-\rho=-(1-\cos \theta) \ldots .
\end{array}\right\}
\]

отсюда вытекает, что для бесконечно малых значөний $\rho$ обе величини $\sqrt{f(\sigma)}$ п в левой части уравнения (I) пропорцонален $\sqrt{ }$, а знаменатель $\sigma-\sigma^{\prime}$ пропорционален ;; вея дробь будет, такнм образом, бесконечной, в то время как правая ‘асть имеет конечное значение. Таким образом значение $?=0$;опустимо тольк. когда в функцию
\[
f(s)=\left(s^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} x s^{2}+k^{2} s+\beta\right)
\]

множнтель $s-r_{0}$, пропорцнональный $р$ для $s=\sigma$ и $s=\sigma^{\prime}$ и да бесконечно малых значений , входит еңе второй раз, т. е. когда между и $r_{0}$ имеет место вышеустановленное соотнонение:
\[
g=\frac{1}{2} \alpha r_{0}^{2}-k^{2} r_{0} .
\]

$\frac{\theta}{0}$. Их истинными значениями являютея $\cos \xi, \cos r_{i}, \cos \zeta$, если мы оо́означим через $\xi, \eta$, $\zeta$ угиы, образуемые касательной к орбите планеты в точке $(a, b, c)$ с осями $x, y$, $。$ Так как, кроме того, имеем $\sigma=\sigma^{\prime}=r_{0}$, то из уравшений (9) получатся решения:
\[
\begin{array}{c}
a^{\prime}=-2 \cos 5 \sqrt{\frac{k^{2}}{2 r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha ; \quad b^{\prime}=-2 \cos \eta \sqrt{\frac{k^{2}}{2 r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha} ; \\
c^{\prime}=-2 \cos \zeta \sqrt{\frac{k^{2}}{2 r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha} .
\end{array}
\]

эти же значения с обратными знаками получатся из уравнений (8) для величин $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$, если положить $\rho=0$; следовательно – $a^{\prime},-b^{\prime}$, – $c^{\prime}$ являются составляющими скорости нланеты в точке $(a, b, c){ }^{1}$

Теперь остается только ввести время, что произвоцится при помощи формулы $\alpha^{\prime}-t=\frac{\partial W}{\partial \alpha}$ иги
\[
1-\alpha^{\prime}=\frac{1}{4} \int_{\sigma^{\prime}}^{j} \frac{d s}{\sqrt{s+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha} .
\]
1 Если мы уравнения (9) возведем в квадрат и сложим, то получим между $s^{\prime}, b^{\prime}, e^{\prime}$ соотнотение
\[
a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}=2\left(\frac{k^{2}}{r_{0}}-\alpha\right),
\]

которое представляет собою не что иное, как теорему живой силы для тотки $(a, b, c)$. Эта зависимость между велитинами $a, b$, $e$ подтверждает то, что было замечено выше в тексте относительно поведения решений о пзлипними постоянными, и показывает, что три уравнения (9) должны считаться только за два. Эти два уравнения, к которым они приводятея, можно получить следующи образом. Неклютим из уравнений (9) оба содержащихея в них знака корнл; тогда получим:
\[
\left(b c^{\prime}-b^{\prime} c\right) x+\left(c a^{\prime}-c^{\prime} a\right) y+\left(a b^{\prime}-a^{\prime} b\right) z=0
\]

как уравнение плоскости орбиты планеты, которое удовлетворяется знаяснияи $n=k, y=b, z=c$. Если мы далее узножим уравнения (9) по порядку на $a, b$, с и спотим результаты, то получим
\[
\left.\begin{array}{l}
-\left(a a^{\prime}+b b^{\prime}+c c^{\prime}\right)\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right)= \\
=\left(\sigma+r_{0}\right)\left(\sigma^{\prime}-r_{0}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2}} \cdot\left(\sigma-r_{0}\right)\left(\sigma^{\prime}+r_{0}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha}
\end{array}\right\}
\]

қак уравнение орбиты в птоскости орбиты. Јюгко проверить тождественность этого результата с тем, который содержится в уравнении (I) предыдущего замечания для рассатривамого случая. Сохраняя прежнее определение для угла 0 , мы имеем
\[
a a^{\prime}+b b^{\prime}+c c^{\prime}=-2 r_{0} \cos \theta \sqrt{\frac{k^{2}}{2 r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha},
\]

откуда, принимая во внимание уравнения (II), выводим, что уравпение (IV) для бесконечно малых значений $р$ дает тождественный результат, в предположенин, что значения корней $\sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha, \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha$ оба приближаютея к зна-

Этот интеграл приводит к дугам круга; преобразовывая их в наднежащий вил, получаем формулы, данные ‘ауссом в theoria motus. ${ }^{1}$ Iредиоложение $x=0$ соответствует параболическому, цвижению; оно дает формулы, которые служат для определения элементов орбиты кометы.

В то время как уравнения от (7) до (11) имеют место для двхх выходящих из фокуса радиусов векторов $r, r_{0}$ и соединяющей их хорды при движении планеты по коническому сечению, более общие формулы для того движения потучатоя, если не делать специалью предшоложения (6), т. е. если точка $(a, b, c)$ пе лежит ға орбите нланеты. Тогда дыя $W$ имеет иесто уравнение (4); в это уравнение, так же как и в вытеденные из него иптегральные уравнения, входит разность двух элиитических интегралов, которые имеют одинаковую форму и различаютея тодько своими аргументами $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$. IIо теореме сложения элиитических интегралов эта ралность может быть преобразована в один интеграл, с новнм аргументом $\sigma^{\prime \prime}$, сложенный с алгебраической и груговой изи логарифмической функцией от $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$. Далее, так как интегральне уравнения, как мы знаем, не содержат элитически интегралов, то новый аргумент $\sigma^{\prime \prime}$, зависяций алебраитески от а и $\sigma^{\prime}$, должен стать равшы постоявной величине. Уравнение $\sigma^{\prime \prime}=$ const. являетсл, таким образом, одним из интегральных уравпений ${ }^{2}$ и притом уравнением орбиты, в то время как остальная алгебрапческая и логарифмичесьая часть образует оставшуюся часть интегральных уравнений.

Общие формулы, следующие из (4), имеют еще то замечателное свойство, что они сохраняются также в том случае, когда на точку $(a, b, c)$ действует вторал притлгательная сила, если не обращать внимания на пекоторую модификацию, о которой мы упомянем. Тогда $a, b, c$ ие будут больме произвольными, но будут данными постоянными мы имеем кроме $\alpha$ еңе тольно одну постоянную $\beta$ и не можем ею свободно распоряжаться. Модификация, которой теперь годхежит уравнение в частых проивводных (2), с правою частью
\[
k^{2}\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(\sigma^{2}-\sigma^{\prime 2}\right)=2 \sigma^{\prime}\left(\frac{k^{2}}{r}-\alpha\right),
\]

состоит в том, что к силовой функции $l=\frac{k^{2}}{r}$ присоедипяетея еще члеп $\frac{k^{\prime} 2}{-}$. происходяпий от притяжения к точке ( $a, b, c)$; так тто иравая част иреврацается в
\[
2 r\left(\frac{k^{2}}{r}+k^{\prime 2}-\alpha\right)=k^{2}\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right)+k^{\prime 2}\left(\sigma+\sigma^{\prime}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(\sigma^{2}-\sigma^{\prime 2}\right) .
\]

На основании этого, уравнение в частных проивводных (2) преобразуетея в следуюше:
\[
\begin{array}{c}
\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}-\left(\sigma^{\prime 2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}= \\
=\left(k^{2}+k^{\prime 2}\right) \sigma-\frac{1}{2} x \sigma^{2}-\left\{\left(k^{2}-k^{\prime 2}\right) \sigma^{\prime}-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{\prime 2}\right\} .
\end{array}
\]

Так как это уравнение можно разложить на два обыкновеншы дифференцнальных уравнения
\[
\begin{array}{l}
\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}=\beta+\left(k^{2}+k^{2}\right) \sigma-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{2} \\
\left(\sigma^{2} 2-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}=\beta+\left(k^{2}-k^{\prime 2}\right) \sigma^{\prime}-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{\prime 2},
\end{array}
\]
3 Cp. Crelles Journal, Bd. 17, стр. 122.
2 С. относительно этого заметанне на етр. 172.

то мя $W$ нолучаетея решение
\[
\begin{aligned}
W & =\int d \sigma \sqrt{\frac{\beta+\left(k^{2}+k^{\prime 2}\right) \sigma-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{2}}{\sigma^{2}-r_{0}^{2}}} \\
& +\int d \sigma^{\prime} \sqrt{\frac{\beta+\left(k^{2}-k^{\prime 2}\right) \sigma^{\prime}-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{\prime 2}}{\sigma^{\prime 2}-r_{0}^{2}}},
\end{aligned}
\]

в котором оба әдлиптических интеграла отличаются уже не только аргументом, но также и формой. Для задачи притяжения в двум неподвижным центрам в пространстве заключающееся здесь число постоянных ведостаточно. Наоборот, для задачи на плоскости (а к вей можно свести вадачу в пространетве) выне получениое значение $W$ ямляетея иолым решением $\frac{\partial W}{\partial \beta}=\beta^{\prime}$ дает пуль точки, $\frac{\partial W}{\partial \alpha}=\alpha^{\prime}-t$ дает врезя.