Кроме того недостатка, что при обычном снособе выражения принции наименьшего действия теорема живых сил не вводитея в интеграл, выражаюций этот привцип, плохо еще то, что обычно говорят: интеграл дозжен быть наибольшим или наименышим; межлу тем нацо сказать: его цервая вариация должна обращатьея в нуль. Смешение этих никоим обравом не тождественных требований так вошло в обычай, что его едва можно ноставить в упрек авторам. На этой почве между Лагранжем и Пуассоном произощло замечательное quiproquo, которое относитея к нратчайпей линии. Јагранж говорит совершенно справедливо, что в этом случае интеграл никогда не может сделатьея максимумом, потому что как пи длинна будет кривая, соединяющая две точки на данной поверхности, всегда можно найти еще более длиную, а отсюда он заключает, что интеграл всегда должен быть минимумом. Напротив, Пуассон, который знал, что интеграл в известных елучаях, в частности для заминутой поверхности, за известными границами перестает быть минимумом, заклютил отсюда, что в этих случаях интеграл должен быть максимумом. Оба заключения неправильны; в случае кратчайших эиний интеграл во всяком случае нитогда не будет максимумом, а будет либо минимумом, либо ни тем, ни другим, — ни макоимумом, ни миниуумом.

Искючене времени из интеграла, рассматриваеного при получении принципа наименьшего действия, должно шроизводиться обязателно при помощи принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального уравнения гадащ; тольк таким путем можно прити в принциу паненьнего действия. Даграпж в одном месте говорит, что он в туринеком мемуаре вывел дифференциальные уравнения двиления из принциа наименыего действия в соедияении с гринцишм живых спл. Такой способ выражения носле выше еделанных замечаний недопустим. Лагранж примения только что открытое пм вариационое печино употребил при этом шринцищ живнх сил в расширенном виде, приданном ему Даниилом Бернулли и тапим обравом пришел в общеху символическому уравнению динамики, из которого мы исходили и кохорсе мы здесь еще раз: нашишен; оно быно
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\sum\left(X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right),
\]

рде в правой части падо поставить $\delta U$, когда имеет кест принцип живых снл. Есяи отвлечься от того, что $\delta U$ в шринятом в вариационном иечисления смысле только тогда иожет быть поставлена в правой части уравнении, когда величины $X_{i}, Y_{v}, Z_{i}$ являютея ч2етными производными одной и той же функции $U$, и рассматривать $\delta U$ просто как сиволическое сокращенное обозначение, то равенство
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{1}}{d t^{2}} \hat{\partial} z_{i}\right\}=\delta U
\]

будет служить также и для того случая, когда теорема живых сил не инеет места. Это уравнение, как было уже раныше упомянуто, справедливо также и тогда, когда имеютел условные уравнепия, но тогда вариации не будут болые независины друг от друга. Если имеютея $m$ условных уравнений
\[
f=0, \varphi=0, \ldots,
\]

то между вариациями тоже существуют $m$ условных уравнений:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{\Sigma}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0, \\
\boldsymbol{\Sigma}\left(\frac{\partial \rho}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial \rho}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0
\end{array}\right.
\]

и т. д.
При помоци этих $m$ уравнений можно исключить из уравнения (1) $m$ из $3 n$ вариаций $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}, \ldots$, и если после этого оставшиеся вариации ноложить независимыми пруг от друга, то символичеекое уравнение (1). распадется на дифференциальные уравнения движения. Но это исключение было бы очень затруднительно и имеет, кроме того, некоторые нешриятиые стороны; действительно, во-первых, пришлось бы некоторые координаты предичесть другим, и поэтому получились бы несимметричные формул, а, во-вторых, для различного числа условных уравнений получалась бы различная форма результатов исключения, вследетвие чего общность исследования бьла бы сильно затрднена. Все эти трудности поборол Јагранж введением множителей (метод, который уже Эйлер часто употреблял в задачах \»de maximis et minimis\»). Так как в уравнениях (1) п (4) вариации $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$.. входят линейно, то пеклочение $m$ из них можно произвести следующим образом. Унножаем уравнения (4) солтететвенно на множители $\lambda$, $\mu .$. и складываем их с (1), полученное уравнение назовем $(L)$. Определяем тешерь множители $\lambda$, $\mu$… так, тобы в уравнении ( $I$ ) $m$ из выражениї, умноженных на вариации $\delta x_{i}$, $\partial y_{i}, \delta z_{i} \ldots$, тождественно обращались в нуль, тогда, приравпяв нулю выражения, умноженные на остальные $3 n-m$ варнаций, получшм дифференциальые уравнения задачи. Таким образом видим, тто в уравнении ( $L$ ) вее $3 n$ выражений, умноженных на $\delta x_{i}$, бу $y_{i}$, $\delta z_{i} \ldots$, надо подолить равныни нулю н тогда раселатриваль эти уравнения тап, что $m$ из них определяют множители $\lambda, \mu .$. , а остальные, в которые надо подставить найденные таким образом множители, дают дифференциальные уравнения задачи. Цругими с.овами, из $3 n$ уравнений, на которые распадается уравнение $(L)$, если все вариации расқатривать как независимые, надо искючить $m$ мнолителей $\lambda, \mu \ldots$ и тогда получатея $3 n-m$ дифференциальнх уравнений задачи. Но вместо того, чтобы производить это искючение, лучше оставить неиввестные множители в $3 n$ уравнениях и исследовать даль эти последние, они будут тогда иметь вид:
\[
\left\{\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=X_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\ldots \\
m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=Y_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\ldots \\
m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\ldots
\end{array}\right.
\]

тде для всех $\boldsymbol{n}$ значений $i$ везде входят одни и те же множители $\lambda, \mu \ldots$ Это и еәть та формула, которую Лагранж дал уравнениям движения системы, связанной любыми уёловиями.

Величины, прибавленные в силам $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$, выражают действие системы, т. е. изменение, которое приложенные силы претерпевают благодаря связям материальных точек. $К$ әтому же результату приходят в статике, когда доказывают, что в том случае, когда в $n$ точках системы приложены силы
\[
\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\ldots, \lambda \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\ldots, \lambda \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\ldots,
\]

наралельные кординатным осям, то эти силы уничтожаютея связями сиетемы, откда вытекает, что уничтожаемые связями системы силы не определены, но .содержат неопределенные величины $\lambda, \mu . .$. Iоэтому введение множителей $\lambda, \mu .$. не есть прото искусственный ирием вычисления,-. на самом деле эти велитины имеют в статике вионе ошределепное значение. От только что приведенной теоремы сталики можно теперь перейти к уравнениям (5) двизения, притом основывая переход от статики к механике на следующем рассундении.

Благодаря связи системы, материалные точки не могут следовать сообщенным им имнугсам. Чтобы получить истинное движение, надо присоединить такие силы, ксмекс которых уничтожалея бы свявью системы и носле щрисоединения которых систему можно было бы рассматривать так, как будто точки следуют прнлоденным к ним силам без сопротивления: другими словами, после присоединения сил, уничтожающихся овязью системы, можно расслатривать сиәтему как свободную. Әто можно установить как принцин, и из него сами собою нолучатся уравнения (5).

Именно этот шринцип, давший нам благодаря присутетвию связей системы изненение сил, вызывающих ускорение, служит также и для того, чтобы найти изменение мтновенных сил благодаря связям системы. Формулы, которые тут надо применить, соверпенно те же самие. Если на точку $m_{i}$,ействуют мгновенные инульс $a_{i}, b_{i}, c_{i}$, то, принияая во внимание связь системы, получим следующие измененные имудысы:
\[
\left\{\begin{array}{c}
a_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\ldots, \\
b_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\ldots, \\
c_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\ldots,
\end{array}\right.
\]

где величины $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ снова остаюте одними и теми же для всех точек системы.

Если ұы хотия определит величины $\lambda$,,$\ldots$ п $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$, то падо $\mu, \ldots$ надо продифереццивовать да раса и затем подетавить вторые проиводие корлинат из уравиений (5); ды определения же величин $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ деле уравненил для оиределения $\lambda_{1}$, $\mu_{1}, \ldots$, иредшолагая, что мгновенные пиулье $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ дейотучт в начале двияения и что система в этот момент находитея в подном ноке. ІІри таких обелотельства мы можем ускорение, так как тти силы могут дать тольо безконечно-малые скорости, поэтому мы должны для определения $\lambda_{1}$, $\mu_{1} \ldots$ составить дифференциальные уравнения
\[
\begin{array}{l}
\sum\left\{\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \frac{d z_{i}}{d t}\right\}=0 \\
\sum\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \frac{d z_{i}}{d t}\right\}=0 \\
\text { и. .., }
\end{array}
\]

и подетавить в них вместо $\frac{d x_{i}}{d t}, \frac{d y_{i}}{d t}, \frac{d z_{i}}{d t}$ величины (6), разделив их предварительно на $m_{i}$. Это дает следующий результат: полагаем
\[
\begin{array}{l}
A=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(-\frac{\partial f}{\partial x_{i}} a_{i}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} b_{i}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} c_{i}\right), \\
B=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial \stackrel{\rightharpoonup}{\partial}}{\partial x_{i}} a_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} b_{i}+\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial z_{i}} c_{i}\right), \\
(f, f)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\frac{\partial f}{\partial \varepsilon_{i}} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}\right) \text {, } \\
(f, \varphi)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}\right) \text {, } \\
\end{array}
\]

тогда для определения $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ имеем уравнения:
\[
\left\{\begin{array}{l}
0=A+(f, t) \lambda_{1}+(f, \varphi) \mu_{1}+(f, \psi)
u_{1}+\ldots, \\
0=B+(\varphi, t) \lambda_{1}+(\varphi, \varphi) \mu_{1}+(\varphi, \psi)
u_{1}+\ldots \\
0=C+(\psi, t) \lambda_{1}+(\varphi, \varphi) \mu_{1}+(\psi, \psi) v_{1}+\ldots
\end{array}\right.
\]

и т. д.
Той же формы будут уравнения для огределения $\lambda, \mu, \ldots$, только тут $A, B, C \ldots$. принимают пругие значения.

Возвращаемся тещерь к дифференциальы уравнениям (5). Если мы их номножим соответственно на $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ и сложим все $3 n$ произведения, то получим снова символическое уравнение, которое мы обознұчили выше через $(L)$, именно:
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)=\delta U+\lambda \delta f+\mu \delta c+\ldots,
\]

это урявнение равнозначно системе (5).
Чтобы рассмотреть вею совокупность задач, которые содержатея в уравнениях (5), мы должны принять во внпмание тот случай, когда в узловия входит явно время; тогда тоже имеют место уравнения (5). Чгобы получить предетавление о том, как время цожет входить в условия, предположим, например, что материальные точки связаны с подвижными центрами, движение которых дано; связь эта такова, что центры действуют на материальные точки не вызывая реакции. Но для этого предположения необходимо датт подвижным центрам мазы, которые по сравнению с массами материальных точек беэконечно велики. В этом случае без дальнейпих раєсуждений берем для материальных точек уравнения (5); подвижные же ценгры сохраняют без изменения данные им движения. В самом деле, пусть $M$ будет масса одного ценгра, принияаеная за беэконечно больпую, $p$-одна из его координат;

тоңда сила, действующал в на правлєнии ксрдинаты $p$, пропоциснальна $\boldsymbol{M}$; если иы назовем ее $M T$, то имеем, принимая во нимание свяи систезы,
\[
M \frac{d^{2} p}{d t^{2}}=M P+\lambda \frac{\partial f}{\partial p}+\mu \frac{\partial p}{\partial p}+\ldots
\]

После деления на бесконечно больмую масеу $M$ получиу
\[
\frac{d^{2} p}{d t^{2}}=P
\]

все же остальные чены выпадт. То же получим дыя прочих коодинат. т. е. цептры следуют данным им движениям, не обрацая вгимапия на связи. Эпачения $\lambda, \mu, \ldots$ и $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ будут, вдесь конечно, другие, чем рание, так ьак при пифференцировании присоединяются еще чаетные производные но $t$. Например, к $A$ (уравнепия (7)) присоединяется член $\frac{\partial f}{\partial t}$, к $D$ также $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ ч ч. д.

Однако, время может входить в условия соверненно иначе, нанример, когда связь двух точек ослабляетея или распиряетея, хотя бы при возрастании темшературы но все условия такого рода можно свести п подвнжын центрам, если тольк взять как основное положение, что две связи, которые приводят к одним и тем же уравнениям, могут замевять одна другую.

Времл, кроме того, может еще очень затрулнить дело, если, нашример, c течепием его менлютея масы. Но до сих по не было необходимости делать это предположение для мировой системы, так как наблюдения деобходияые чтобы решить пмеет аи оно место, еще ведоотаточно точны.