§ 3. Детерминантное тождество Сильвестра

В § 1 путем сопоставления матриц  и  мы пришли к равенствам (10) и (11).

Эти равенства позволяют сразу получить важное детерминантное тождество Сильвестра. Действительно, из (10) и (11) находим:

.                             (27)

Введем в рассмотрение окаймляющие минор  определители.

   .

Матрицу, составленную из этих определителей, обозначим через

.

Тогда согласно формулам (13)

.

Поэтому равенство (27) может быть записано так:

.                                   (28)

Это и есть детерминантное тождество Сильвестра. Оно выражает определитель  составленный из окаймляющих определителей, через исходный определитель и окаймляемый минор.

Равенство (28) было нами установлено для матриц , элементы которых удовлетворяют неравенствам

    .                   (29)

Однако из «соображений непрерывности» следует, что эти ограничения можно отбросить и что тождество Сильвестра справедливо для любой матрицы . В самом деле, пусть неравенства (29) не выполняются. Введем матрицу

.

Очевидно, . С другой стороны, миноры

представляют собой  не равных тождественно нулю многочленов относительно .  Поэтому можно выбрать такую последовательность , что

    .

Для матрицы мы можем написать тождество (28). Переходя в обеих частях этого тождества к пределу при , мы получим тождество Сильвестра для предельной матрицы .

Если мы тождество (28) применим к определителю

      ,

то мы получим удобный для применений вид тождества Сильвестра:

.              (30)