§ 16. Псевдообратный оператор

Пусть дан произвольный линейный оператор , отображающий -мерное унитарное пространство  в -мерное унитарное пространство  (см. гл. III, § 2). Обозначим через  ранг оператора , т. е. число измерений подпространства . Рассмотрим два ортогональных расщепления пространств  и :

                    (153)

.                     (154)

Здесь подпространство  состоит из всех векторов , удовлетворяющих уравнению . Поэтому число измерений подпространства  равно  (см. стр. 78). Следовательно, число измерений ортогонального дополнения  равно .

С другой стороны,  и . Поскольку подпространства  и  имеют одно и то же число измерений , то линейный оператор  устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами подпространств  и . Поэтому однозначно определяется обратный оператор , отображающий  в .

Псевдообратным оператором  для оператора  назовем линейный оператор, отображающий  в  и определяемый равенствами

                 (155)

Псевдообратный оператор  однозначно определяется заданием линейного оператора , отображающего пространство  в  и заданием метрики в пространствах  и . При изменении метрики в пространствах  и  изменяется и псевдообратный оператор .

Роль псевдообратного оператора выясняется из следующей геометрической интерпретации.

Уравнение

                      (156)

при заданном  либо не имеет решений в  (если  не принадлежит подпространству ), либо имеет решения (если ). В последнем случае все решения уравнения (156) получаются из одного решения  прибавлением произвольного вектора .

Докажем, что вектор

                  (157)

представляет собой наилучшее приближенное решение уравнения (156), т. е.

                    (158)

и из всех векторов , для которых этот минимум реализуется, вектор  имеет наименьшую длину .

Действительно, пусть   и . Тогда  представляет собой ортогональную проекцию вектора  на подпространство , состоящее из всех векторов вида , где . Поэтому имеет место равенство (158). С другой стороны, пусть  – какой-либо другой вектор , для которого реализуется минимум (158). Тогда

                     (159)

и, следовательно,

,                     (160)

т. е. . Поэтому, поскольку , то по теореме Пифагора из равенства  находим:

.                     (161)

Таким образом, существует только одно наилучше приближенное решение уравнения (156) и это решение определяется формулой (157).

Выберем в пространствах  и  ортонормированные базисы. В этих базисах квадрат длины векторов  и  определяется формулами

                        (162)

и векторные равенства

переходят в матричные

.                 (163)

Поскольку  при любом  представляет собой наилучшее приближенное решение в смысле метрики (162) системы линейных уравнений, то  – псевдообратная матрица для прямоугольной матрицы  (см. гл. I, § 4). Таким образом, если в пространствах  и  выбраны ортонормированные базисы, то операторам  и  в этих базисах соответствуют взаимно псевдообратные матрицы  и .