§ 5. Матрицант
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
, (37)
где 
- непрерывная
матричная функция в некотором интервале 
изменения
аргумента 
.
Воспользуемся методом последовательных приближений
для определения нормированного решения системы (37), т. е. решения, обращающегося
в единичную матрицу при 
[
-
фиксированное число из интервала ]. Последовательные приближения 
будем
находить из рекуррентных соотношений
,
выбирая в качестве приближения 
единичную
матрицу 
.
Полагая 
,
мы сможем представить
в виде
.
Таким образом
т. e.
есть
сумма первых 
членов
матричного ряда
(38)
Для того чтобы доказать, что этот ряд абсолютно и
равномерно сходится в любой замкнутой части интервала и определяет искомое
решение уравнения (37), мы построим мажорантный ряд.
Определим неотрицательные функции
и
в интервале равенствами
,
Легко проверяется, что функции , а следовательно, и непрерывны в
интервале .
Каждый из 
скалярных рядов, на которые
распадается матричный ряд (38), мажорируется рядом
(39)
Действительно,
,
и т.д.
Ряд (39) сходится в интервале , причем сходится
равномерно в любой замкнутой части этого интервала. Отсюда вытекает, что и матричный
ряд (38) сходится в и притом абсолютно и равномерно в
любом замкнутом интервале, входящем в .
Почленным дифференцированием проверяем, что сумма
ряда (38) представляет собой решение уравнения (37); это решение обращается в
при
.
Почленное дифференцирование ряда (38) допустимо, поскольку ряд, получающийся
после дифференцирования, отличается множителем 
от ряда (38) и, следовательно, как и
ряд (38), является равномерно сходящимся в любой замкнутой части интервала .
Таким образом, нами доказана теорема о существовании
нормированного решения уравнения (37). Это решение будем обозначать через 
или просто 
. Любое другое
решение, как было показано § 1, имеет вид
,
где 
- произвольная постоянная матрица.
Из этой формулы следует, что любое решение, и в частности нормированное,
однозначно определяется своим значением при .
Ненормированное решение уравнения (37) часто называют матрицантом.
Мы показали, что матрицант представим в виде ряда
(40)
который сходится абсолютно и равномерно в любом
замкнутом интервале, в котором функция 
непрерывна.
Отмстим
некоторые формулы для матрицанта.
1°
Действительно, поскольку и 
- два
решения уравнения (37), то
( - постоянная
матрица).
Полагая здесь 
. Получим 
.
2° 
, где 
.
Для вывода этой формулы положим:
, 
и
(41)
Дифференцируя почленно (41), найдем:
.
Отсюда
и, следовательно, поскольку из (41) следует, что
,
.
Подставляя в (41) вместо 
, 
, 
соответствующие матрицанты,
получаем формулу 2°.
3° 
Эта формула следует из тождества Якоби (4) (стр.
420), если в него вместо 
подставить
.
4° Если 
,
то
.
Введем следующие обозначения. Если 
, то через 
будем обозначать матрицу
.
Кроме того, если 
и 
- две вещественные матрицы и
,
то мы будем писать:
.
Тогда из представления (40) следует:
5°
Если
, то
.
В дальнейшем матрицу 
-го порядка, у которой все элементы
равны единице, будем обозначать через 
:
.
Рассмотрим функцию ,
определенную на стр. 429. Тогда
.
Отсюда в силу 5°
(42)
Ho 
есть
нормированное решение уравнения
.
Следовательно, в силу 40
где
Поэтому из (42) следует:
6° 
,
где
, 
.
Покажем теперь, как при помощи матрицанта выражается
общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с правыми частями:
(43)
, 
- непрерывные
функции в интервале изменения аргумента
.
Вводя столбцевые матрицы («векторы»
и
) и
квадратную матрицу запишем эту
систему так:
(43')
Будем искать решение этого уравнения в виде
, (44)
где
—
неизвестный столбец, зависящий от
.
Подставим это выражение для 
в
(43'), получим:
,
откуда
.
Интегрируя, находим:
где
-
произвольный постоянный вектор. Подставим это выражение в (44), получим:
(45)
Давая значение найдем:
.
Поэтому формула (45) принимает вид
,
(45')
где
- так называемая матрица Коши.
