§ 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители

1. Пусть дана матрица  ранга . Введем следующие обозначения для последовательных главных миноров этой матрицы:

   .

Допустим, что имеют место условия выполнимости алгоритма Гаусса:

   .

Обозначим через  матрицу коэффициентов системы уравнений (18), к которой приводится система уравнений

методом исключения Гаусса. Матрица  имеет верхнюю треугольную форму, причем элементы ее первыхrг строк определяются формулами (13), а элементы последних  строк все равны нулю:

.

Переход от матрицы  к матрице  совершался при помощи некоторого числа  операций следующего типа: к -й строке матрицы прибавлялась -я () строка, предварительно помноженная на некоторое число . Такая операция равносильна умножению преобразуемой матрицы слева на матрицу

.                       (31)

В этой матрице на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы, за исключением элемента , равны нулю.

Таким образом

,

где каждая из матриц  имеет вид (31)  и, следовательно, является нижней треугольной матрицей с диагональными элементами, равными 1.

Пусть

.                                                  (32)

Тогда

.                                                           (33)

Матрицу  будем называть преобразующей матрицей для матрицы  в методе исключения Гаусса. Обе матрицы,  и , однозначно определяются заданием матрицы . Из (32) следует, что  — нижняя треугольная матрица с диагональными элементами, равными 1 (см. стр. 28).

Поскольку  — неособенная матрица, то из (33) находим:

.                                                        (33')

Мы представили матрицу  в виде произведения нижней треугольной матрицы  на верхнюю треугольную матрицу . Вопрос о разложении матрицы  на множители такого типа полностью выясняется следующей теоремой:

Теорема 1. Всякую матрицу  ранга , у которой первые  последовательных глазных миноров отличны от нуля,

            ,                                   (34)

можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы  на верхнюю треугольную матрицу

.                                  (35)

При этом

, , …, .                                      (36)

Первым  диагональным элементам матриц  и  можно дать произвольные значения, удовлетворяющие условиям (36).

Задание первых  диагональных элементов матриц  и  определяет однозначно элементы первых  столбцов матрицы  и первых r строк матрицы . Для этих элементов имеют место формулы

,                      (37)

.

В случае   в последних столбцах матрицы  можно все элементы положить разными нулю, а в последних строках матрицы  всем элементам дать произвольные значения, либо наоборот, последние строк матрицы  заполнить нулями, а последние  столбцов матрицы  взять произвольными.

Доказательство. Возможность представления матрицы, удовлетворяющей условию (34), в виде произведения (35) была доказана выше [см. (33')]

Пусть теперь  и  — произвольные нижняя и верхняя треугольные матрицы, произведение которых равно . Пользуясь формулой для миноров произведения двух матриц, найдем:

       (38)

.

Поскольку  — верхняя треугольная матрица, то первые  столбцов матрицы  содержат только один отличный от нуля минор -го порядка . Поэтому равенство (38) может быть записано так:

         (39)

.

Положим сначала здесь . Тогда получим:

                  (40)

откуда уже вытекают соотношения (36).

Не нарушая неравенства (35), мы можем в нем умножить матрицу  справа на произвольную особенную диагональную матрицу , одновременно умножая матрицу  слева на . Это равносильно умножению столбцов матрицы  соответственно на  и строк матрицы  на . Поэтому диагональным элементам , , можно придать любые значения удовлетворяющие условиям (36).

Далее, из (39) и (40) находим:

            ,

т. е. первые формулы (37). Совершенно аналогично устанавливаются вторые формулы (37) для элементов матрицы .

Обратим внимание на то, что при перемножении матриц  и  элементы  последних  столбцов матрицы  и элементы  последних  строк матрицы  перемножаются между собой. Мы видели, что все элементы последних  строк матрицы  можно выбрать равными нулю. Тогда элементы последних  столбцов матрицы  можно выбрать произвольными. Ясно, что произведение матриц  и  не изменится, если мы последние столбцов матрицы  возьмем нулевыми, а элементы последних строк матрицы  произвольными.

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы вытекает ряд интересных следствий.

Следствие 1. Элементы первых  столбцов матрицы и первых  строк матрицы  связаны с элементами матрицы  рекуррентными соотношениями:

                           (41)

Соотношения (41) непосредственно следуют из матричного равенства (35) ими удобно пользоваться для фактического вычисления элементов матриц  и .

Следствие 2. Если  — неособенная матрица , удовлетворяющая условию (34), то в представлении (35) матрицы  и  определяются однозначно, как только диагональные элементы этих матриц выбраны в соответствии с условиями (36).

Следствие 3. Если  — симметрическая матрица ранга  и

     ,

то

,

где  — нижняя треугольная матрица, в которой

     (42)

2. Пусть в представлении (35) у матрицы  элементы последних  столбцов равны нулю. Тогда можно положить:

,        ,   (43)

где  — нижняя, а  — верхняя треугольная матрица; при этом первые  диагональных элементов у матриц  и  равны 1, а элементы последних  столбцов матрицы  и последних  строк матрицы  выбраны совершенно произвольно. Подставляя в (35) выражения (43) для  и  и используя равенства (36), придем к следующей теореме:

Теорема 2. Всякая матрица  ранга , у которой

     ,

Представим в виде произведения нижней  треугольной матрицы , диагональной  и верхней треугольной :

         (44)

где

,                              (45)

,

а ,  произвольны при ; .

3. Метод исключения Гаусса, будучи применен к матрице  ранга , для которой  , дает нам две матрицы: нижнюю треугольную матрицу  с диагональными элементами 1 и верхнюю треугольную матрицу , у которой первые  диагональных элементов равны , а последние  строк заполнены нулями.  — гауссова форма матрицы ,   — преобразующая матрица.

Для конкретного вычисления элементов матрицы  можно рекомендовать следующий прием.

Мы получим матрицу , если к единичной матрице  применим все те преобразования (задаваемые матрицами ), которые мы в алгоритме Гаусса делали над матрицей  (в этом случае вместо произведения , равного , мы будем иметь произведение , равное ). Поэтому к матрице  приписываем справа единичную матрицу :

.                       (46)

Применяя к этой прямоугольной матрице все преобразования алгоритма Гаусса, получим прямоугольную матрицу, состоящую из двух квадратных матриц  и :

.

Таким образом, применение алгоритма Гаусса к матрице (46) дает одновременно и матрицу  и матрицу .

Если  — неособенная матрица, т. е. , то и . В этом случае из (33) следует . Поскольку матрицы  и  определены при помощи алгоритма Гаусса, то нахождение обратной матрицы  сводится к определению  и умножению  на .

Хотя нахождение обратной матрицы , после того как определена матрица , не представляет затруднений, поскольку  — треугольная матрица, тем не менее можно избежать этой операции. Для этого наряду с матрицами  и  введем аналогичные матрицы  и   для транспонированной матрицы . Тогда , т. е.

.                                    (47)

Сопоставим между собой равенства (33') и (44):

,   .

Эти равенства могут быть рассматриваемы как два различных разложения вида (35); при этом мы произведение  рассматриваем как второй множитель . Поскольку первые  диагональных элементов у первых множителей одинаковы (они равны 1), то первые  столбцов у них совпадают. Тогда, поскольку последние  столбцов матрицы  могут быть выбраны произвольными, то выберем их так, чтобы

.                                           (48)

С другой стороны, сопоставление равенств (47) и (44):

,         

показывает, что можно так подобрать произвольные элементы в , чтобы

.                                                   (49)

Подставляя в (44) вместо  и  их выражения из (48) и (49), получим:

.                                             (50)

Сопоставляя это равенство с равенствами (33') я (47), мы найдем:

 ,    .                         (51)

Введем в рассмотрение диагональную матрицу

.                          (52)

Тогда, поскольку

то из (50) и (51) следует:

.                                                                     (53)

Формула (53) показывает, что разложение матрицы  на треугольные множители может быть получено применением алгоритма Гаусса к матрицам  и .

Пусть теперь  — неособенная матрица . Тогда , . Поэтому из (50) следует:

.                                                                (54)

Эта формула дает возможность эффективного вычисления обратной матрицы путем применения алгоритма Гаусса к прямоугольным матрицам

 .

В частном случае, когда вместо матрицы  возьмем симметрическую матрицу , матрица  совпадает с , а  матрица  — с матрицей , и потому формулы (53) и (54) принимают вид

,                                                                       (55)

.                                                                    (56)