§ 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса

Часто приходится пользоваться матрицами, разбитыми на прямоугольные части — «клетки» или «блоки». Рассмотрению таких «блочных» матриц мы посвящаем настоящий параграф.

1. Пусть дана прямоугольная матрица

                      .                           (57)

При помощи горизонтальных и вертикальных линий рассечем матрицу  на прямоугольные блоки:

.                                                      (58)

Про матрицу (58) будем говорить, что она разбита на  блоков  размером   или что она представлена в виде блочной матрицы. Вместо (58) будем сокращенно писать:

   .                                        (59)

В случае  будем пользоваться и такой записью:

.                                                                                   (60)

Действия над блочными матрицами производятся по тем же формальным правилам, как и в случае, когда вместо блоков имеем числовые элементы. Пусть, например, даны две прямоугольные матрицы одинаковых размеров и с одинаковым разбиением на блоки:

,   .                           (61)

Легко усмотреть, что

      .                           (62)

Подробнее остановимся на умножении блочных матриц. Известно (см. гл. I, стр. 17), что при умножении двух прямоугольных матриц  и  длина строк в первом сомножителе  должна совпадать с высотой столбцов во втором сомножителе . Для возможности блочного умножения этих матриц мы дополнительно потребуем, чтобы при разбиении на блоки все горизонтальные размеры в первом сомножителе совпадали с соответствующими вертикальными размерами во втором:

,     .       (63)

Тогда легко проверить, что

,  где     .       (64)

Отдельно отметим тот частный случай, когда одним из сомножителей является квазидиагональная матрица. Пусть  — квазидиагональная матрица, т. е.  и  при . В этом случае формула (64) нам дает:

  .                                    (65)

При умножении блочной матрицы слева на квазидиагональную матрицу строки блочной матрицы умножаются слева на соответствующие диагональные клетки квазидиагональной матрицы.

Пусть теперь  — квазидиагональная матрица, т. е.  и  при . Тогда из (64) получаем:

  .                                (66)

При умножении блочной матрицы справа на квазидиагональную все столбцы блочной матрицы умножаются справа на соответствующие диагональные клетки квазидиагональной матрицы.

Заметим, что умножение квадратных блочных матриц одного и того же порядка всегда выполнимо, когда сомножители разбиты на одинаковые квадратные схемы блоков и в каждом из сомножителей на диагональных местах стоят квадратные матрицы.

Блочная матрица (58) называется верхней (нижней) квазитреугольной, если  и все  при  (соответственно все  при ). Частным случаем квазитреугольной матрицы является квазидиагональная матрица.

Из формулы (64) легко усмотреть, что произведение двух верхних (нижних) квазитреугольных матриц является снова верхней (нижней) квазитреугольной матрицей; при этом диагональные блоки произведения получаются путем перемножения соответствующих диагональных блоков сомножителей.

Действительно, полагая в (64)  и

,   при ,

найдем:

     .

Аналогично разбирается случай нижних квазитреугольных матриц.

Отметим правило вычисления определителя квазитреугольной матрицы. Это правило можно получить, исходя из разложения Лапласа.

Если  — квазитреугольная (в частности, квазидиагональная) матрица с квадратными диагональными блоками, то определитель этой матрицы равен произведению определителей диагональных блоков:

                                                          (67)

2. Пусть дана блочная матрица

                                   (68)

Прибавим к -й блочной строке -ю строку, предварительно помноженную слева на прямоугольную матрицу  размером  . Получим блочную матрицу

.                   (69)

Введем вспомогательную квадратную матрицу , представленную в виде следующей квадратной схемы блоков:

.      (70)

В диагональных клетках матрицы  стоят единичные матрицы, порядки которых равны соответственно; все недиагональные блоки матрицы  равны нулю, за исключением блока , стоящего на пересечении -й блочной строки с -м блочным столбцом.

Нетрудно видеть, что

.                                  (71)

Отсюда, поскольку  — неособенная матрица, для рангов матриц  и  имеем

.                                  (72)

В частном случае, когда  – квадратная матрица, из (71) имеем:

.                                      (73)

Но определитель квазитреугольной матрицы  равен 1:

                         (74)

Следовательно,

.                     (75)

К таким же выводам можно прийти, если к какому-либо столбцу матрицы (67) прибавлять другой столбец, предварительно помноженный справа на прямоугольную матрицу  надлежащих размеров.

Полученные результаты могут быть сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Если в блочной матрице  к -й блочной строке (столбцу) прибавить -ю блочную строку (столбец), предварительно помноженную слева (справа) на прямоугольную матрицу  соответствующих размеров, то при этом преобразовании не изменятся ранг матрицы , а также в случае, когда  — квадратная матрица, и определитель матрицы .

3. Рассмотрим теперь тот частный случай, когда в матрице  диагональный блок  — квадратная и притом неособенная матрица ().

К -й строке матрицы  прибавим первую строку, помноженную слева на  . Тогда получим матрицу

,             (76)

где

    .                     (77)

Если  — квадратная неособенная матрица, то этот процесс можно продолжить. Мы приходим, таким образом, к обобщенному алгоритму Гаусса.

Пусть  — квадратная матрица. Тогда

.                    (78)

Формула (78) сводит вычисление определителя  состоящего из блоков, к вычислению определителя меньшего порядка, состоящего из  блоков.

Рассмотрим определитель , разбитый на четыре блока:

,                                                    (79)

где  и  — квадратные матрицы.

Пусть . Тогда вычтем из второй строки первую, предварительно помноженную слева на . Получим:

.                      (I)

Точно так же, если , то мы вычтем в  из первой строки вторую, предварительно помноженную слева на . Получим:

.                    (II)

В частном случае, когда все четыре матрицы , , ,  — квадратные (одного и того же порядка ), из (I) и (II) следуют формулы Шура, сводящие вычисление определителя -го порядка к вычислению определителя -го порядка:

    (),                    (Iа)

    ().                   (IIа)

Если матрицы  и  перестановочны между собой, то из (Iа) следует:

   (при условии ).              (Iб)

Точно так же, если  и  перестановочны между собой, то

   (при условии ).            (IIб)

Формула (Iб) была получена в предположении , а формула (IIб) при условии . Однако, исходя из соображений непрерывности, эти ограничения можно отбросить.

Из формул  (Iа) — (IIб) можно получить еще шесть формул, поменяв местами в правых частях  и  и одновременно  и .

Пример.

.

По формуле (Iб)

.

4. Установим формулу Фробениуса для обращения блочной матрицы. Пусть неособенная квадратная матрица  () разбита на блоки

,                                (80)

и пусть  — также неособенная квадратная матрица (). Требуется определить .

Применим к матрице  обобщенный алгоритм Гаусса. Из второй блочной строки вычтем первую, предварительно помноженную слева на . Эта операция равносильна умножению матрицы  слева на матрицу , где . Поэтому

.                       (81)

Введем обозначение

и заметим, что из равенства (81) следует:

.              (82)

Поэтому, поскольку , то и . Переходя к обратным матрицам в равенстве (81), получим

.                (83)

Обратную матрицу для матрицы  будем искать в виде . Тогда из равенства

находим, что . Таким образом,

.                 (84)

Но тогда из равенства (83) находим

.                     (85)

Выполняя умножение блочных матриц в правой части равенства (85), приходим к формуле Фробениуса

,                       (86)

где

.                                            (87)

Формула Фробениуса (86) сводит обращение матрицы порядка  к обращению двух матриц порядка  и  и к операциям сложения и умножения матриц с размерами , ,  и .

Если предположить, что  (вместо ) и поменять ролями матрицы  и , то можно получить другой вид формулы Фробениуса:

,             (88)

где

.                    (89)

Пример. Требуется найти элементы обратной матрицы для матрицы

.

Полагаем

, , , .

Находим последовательно

, ,

,

, ,

,

,

,

.

Поэтому по формуле (86) находим:

.

5.  Из теоремы 3 вытекает так же

Теорема 4. Если прямоугольная матрица  представлена в блочном виде

,                                     (90)

где — квадратная неособенная матрица порядка  (), то ранг матрицы  равен  только в том случае, когда

.                                       (91)

Доказательство. Вычтем из второй блочной строки матрицы  первую, предварительно помноженную слева на . Тогда получим матрицу

.                       (92)

Матрицы  и  согласно теореме 3 имеют один и тот же ранг. Ранг же матрицы  совпадает с рангом матрицы  (т. е. с ) тогда и только тогда, когда имеет место , т. е. (91). Теорема доказана.

Из теоремы 4 вытекает алгоритм построения обратной матрицы  и вообще произведения , где ,  — прямоугольные матрицы размером , .

Приведем при помощи алгоритма Гаусса матрицу

    ()             (93)

к виду

.                              (94)

Докажем, что

.                           (95)

В самом деле, то же преобразование, которое было применено к матрице (93), приведет матрицу

                    (96)

к виду

.                 (97)

Согласно теореме 4 матрица (96) имеет ранг  ( — порядок матрицы ). Но тогда и матрица (97) должна иметь ранг . Отсюда , т. е. имеет место (95).

В частности, если , где  — столбцевая матрица, и , то

.

Следовательно, применяя алгоритм Гаусса к матрице

,

мы получаем решение системы уравнений

.

Далее, если в (93) положить , то после алгоритма Гаусса к матрице

получим:

,

где

.

Проиллюстрируем этот способ нахождения  на следующем примере.

Пример. Пусть

.

Требуется вычислить .

Применяем несколько видоизмененный метод исключения к матрице

.

Ко всем строкам прибавляем вторую строку с некоторым множителем и добиваемся того, чтобы все элементы первого столбца, кроме второго элемента, равнялись нулю. После этого ко всем строкам, кроме второй,  прибавляем третью строку с некоторым множителем и достигаем того, чтобы во втором столбце все элементы, кроме второго и третьего, были равны нулю. После этого к последним трем строкам прибавляем первую строку с некоторым множителем и получаем матрицу вида

.

Поэтому

.

6. Разбиение матрицы на блоки может быть использовано также для нахождения псевдообратной матрицы (см. гл. I, § 5). Пусть снова прямоугольная матрица  представлена в виде

,                         (98)

где  — неособенная квадратная матрица () и . Тогда согласно теореме 4 справедливо равенство , и поэтому

.                (99)

Так как эта формула является резульатом двух последовательных скелетных разложений (см. гл. I, § 5):

,  ,

то

.                          (100)

Применяя формулы (43) и (44) на стр. 34, окончательно найдем:

.                       (101)

Формула (101) дает явное выражение для псевдообратной матрицы  через блоки , , .

Пример.

.

Здесь  и

, , , ,

,

,

.

Тогда по формуле (101)

.