§ 5. Критерий подобия матриц

Пусть дана матрица  с числовыми элементами из поля . Ее характеристическая матрица  является -матрицей ранга  и потому имеет  инвариантных многочленов (см. § 3)

.

Следующая теорема показывает, что эти инвариантные многочлены определяют исходную матрицу  с точностью до преобразования подобия.

Теорема 7. Для того чтобы две матрицы  и  были подобны , необходимо и достаточно, чтобы они имели одни и те же инвариантные многочлены, или, что то же, одни и те же элементарные делители в поле .

Доказательство. Условие необходимо. Действительно, если матрицы  и  подобны, то существует такая неособенная матрица , что

.

Отсюда

.

Это равенство показывает, что характеристические матрицы  и  эквиваленты и потому имеют одни и те же инвариантные многочлены.

Условие достаточно. Пусть характеристические матрицы  и  имеют одни и те же инвариантные многочлены. Тогда эти -матрицы эквивалентны (см. следствие 1 из теоремы 3), и, следовательно, существуют две многочленные матрицы  и  такие, что

.                    (31)

Применяя к матричным двучленам  и  теорему 6, мы можем в тождестве (31) заменить -матрицы  и  постоянными матрицами  и :

,                    (32)

причем в качестве  и  можно взять (см. примечание на стр. 124) соответственно левый и правый остатки от деления  и  на , т. е. на основании обобщенной теоремы Безу можно положить:

, .                      (33)

Приравнивая в обеих частях равенства (32) коэффициенты при нулевой и при первой степенях , получим:

, ,

т. е.

,

где

.

Теорема доказана.

Замечание. Попутно нами установлено следующее предложение, которое мы сформулируем как

Добавление к теореме 7. Если  и  – две подобные матрицы

,               (34)

то в качестве преобразующей матрицы  можно взять матрицу

,                      (35)

где  и  – многочленные матрицы в тождестве

,

связывающем эквивалентные характеристические матрицы  и ; в формуле (35)  обозначает правое значение матричного многочлена , а  – левое значение матричного многочлена  при замене аргумента  матрицей .