Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 5. Критерий подобия матриц
Пусть
дана матрица
с
числовыми элементами из поля
. Ее характеристическая матрица
является
-матрицей ранга
и потому имеет
инвариантных многочленов
(см. § 3)
.
Следующая
теорема показывает, что эти инвариантные многочлены определяют исходную матрицу
с
точностью до преобразования подобия.
Теорема
7. Для того чтобы две матрицы
и
были подобны
, необходимо и достаточно,
чтобы они имели одни и те же инвариантные многочлены, или, что то же, одни и те
же элементарные делители в поле
.
Доказательство.
Условие необходимо. Действительно, если матрицы
и
подобны, то существует такая неособенная
матрица
,
что
.
Отсюда
.
Это
равенство показывает, что характеристические матрицы
и
эквиваленты и потому имеют
одни и те же инвариантные многочлены.
Условие
достаточно. Пусть характеристические матрицы
и
имеют одни и те же инвариантные
многочлены. Тогда эти
-матрицы эквивалентны (см. следствие 1
из теоремы 3), и, следовательно, существуют две многочленные матрицы
и
такие, что
. (31)
Применяя
к матричным двучленам
и
теорему 6, мы можем в тождестве (31)
заменить
-матрицы
и
постоянными
матрицами
и
:
, (32)
причем
в качестве
и
можно
взять (см. примечание на стр. 124) соответственно левый и правый остатки от
деления
и
на
, т. е. на основании
обобщенной теоремы Безу можно положить:
,
. (33)
Приравнивая
в обеих частях равенства (32) коэффициенты при нулевой и при первой степенях
, получим:
,
,
т.
е.
,
где
.
Теорема
доказана.
Замечание.
Попутно нами установлено следующее предложение, которое мы сформулируем как
Добавление
к теореме 7. Если
и
– две подобные матрицы
, (34)
то
в качестве преобразующей матрицы
можно взять матрицу
, (35)
где
и
– многочленные
матрицы в тождестве
,
связывающем
эквивалентные характеристические матрицы
и
; в формуле (35)
обозначает правое значение
матричного многочлена
, а
– левое значение матричного
многочлена
при
замене аргумента
матрицей
.