§ 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса—Гурвица. Критерий устойчивости Льенара и Шипара

Пусть дан многочлен с вещественными коэффициентами

.

Тогда условия Рауса—Гурвица, необходимые и достаточные для того, чтобы все корни многочлена имели отрицательные действительные части, записываются в виде неравенств

                                            (81)

где

– определитель Гурвица -го порядка

Если условия (81) выполнены, то многочлен  представляется в виде произведения  на множители вида , и потому все коэффициенты многочлена  положительны:

В отличие от условий (81) условия (82) являются необходимыми, но отнюдь не достаточными для расположения всех корней  в левой полуплоскости .

Однако при выполнении условий (82) неравенства (81) уже но являются независимыми. Так, например, при  условия Рауса-Гурвица приводятся к одному неравенству , при – к двум:  при – к двум: .

Это обстоятельство было исследовано французскими математиками Льенаром и Шипаром и дало возможность им в 1914 г. установить критерий устойчивости, отличный от критерия Рауса-Гурвица.

Теорема 11 (Критерий Льенара и Шипара). Необходимые и достаточные условия для того, чтобы вещественный многочлен  имел все корни с отрицательными вещественными частями, могут быть записаны в любом из следующих четырех видов:

Из теоремы 11 вытекает, что для вещественного многочлена, у которого все коэффициенты (или даже только часть  или ) положительны, детерминантные неравенства Гурвица (81) не являются независимыми, а именно: из положительности определителей Гурвица нечетного порядка следует положительность определителей Гурвица четного порядка и наоборот.

Условия 1) были получены Льенаром и Шипаром в работе [135] при помощи специальных квадратичных форм. Мы дадим более простой вывод условии 1) [а также условий 2), 3), 4)], опирающийся на теорему 10 § 11 и теорию индексов Коган, получив эти условия как частный случай значительно более общей теоремы, к изложению которой мы и переходим.

Введем снова в рассмотрение многочлены и , связанные  тождеством

.

Если  четно, , то

;

если же  нечетно, , то

.

Тогда условия  (соответственно ) можно заменить более общими условиями:  [соответственно] не меняет знака при .

При этих условиях можно вывести формулы для числа корней многочлена в правой полуплоскости, используя только определители Гурвица нечетного порядка или только определители четного порядка.

Теорема 12. Если для вещественного многочлена

выполняется условие:  [или ] не меняет знака при и последний определитель Гурвица , то число  корней многочлена, расположенных в правой полуплоскости, определяется по формулам

где

                              (83’)

Доказательство. Снова введем обозначение

                                             (84)

Рассмотрим в соответствии с таблицей (83) четыре случая:

1) ;  не меняет знака при . Тогда

,

и потому из очевидного равенства

следует:

.

Но тогда из (73'), (74) и (84) находим:

.

Аналогично из формул (73), (75) и (84) следует:

.

2) ; не меняет знака при . В этом случае

и, следовательно, пользуясь обозначениями (83'), найдем:

.             (85)

Заменяя функции, стоящие под знаком индекса, их обратными величинами, мы в силу 5° (см. стр. 505) получим:

.

Но это в силу (73'), (74) и (84) дает:

.

Аналогично из (73’), (75) и (84) находим:

.

3) , не меняет знака при .

В этом случае, как и в предыдущем, имеет место формула (85). Из равенств (73"), (74), (78), (84) и (85) легко получаем:

4) , не меняет знака при

Из равенств ,  заключаем:

.

Обращая функции, стоящие под знаком индекса, получаем:

.

Но тогда формулы (73''), (77) и (84) дают:

.

Теорема 12 доказана полностью.

Из этой теоремы как частный случай получается теорема 11.

Следствие из теоремы 12. Если вещественный многочлен  имеет положительные коэффициенты

и , то число  корней этого многочлена, расположенных в правой полуплоскости , определяется формулой

.

Замечание. Если , но в последней формуле или в формулах (83) некоторые из промежуточных определителей Гурвица равны нулю, то формулы остаются верными, но при вычислении величин  и  следует руководствоваться правилом, изложенным в замечании 1 на стр. 507.

Если же , , то, отбрасывая в формулах (83) определители , мы определим по этим формулам число  «неособых» корней , расположенных в правой полуплоскости , если соответствующий из многочленов  и , получающихся из  и  после деления на их наибольший общий делитель , удовлетворяет условиям теоремы 12.