Теория матриц

Научная библиотека

Научная библиотека

Теория матриц

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1968. - 576 с.

Оглавление

Предисловие автора к первому изданию
Предисловие автора ко второму изданию
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава I. Матрицы и действия над ними
§ 1. Матрицы. Основные обозначения
§ 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц
§ 3. Квадратные матрицы
§ 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы
§ 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица
Глава II. Алгоритм Гаусса и некоторые его применения
§ 1. Метод исключения Гаусса
§ 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса
§ 3. Детерминантное тождество Сильвестра
§ 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители
§ 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса
Глава III. Лииейиые операторы в n-мерном векторном пространстве
§ 1. Векторное пространство
§ 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в m-мерное
§ 3. Сложение и умножение линейных операторов
§ 4. Преобразование координат
§ 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра
§ 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя
§ 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора
§ 8. Линейные операторы простой структуры
Глава IV. Характеристический и минимальный многочлены матрицы
§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов
§ 2. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу
§ 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица
§ 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы
§ 5. Минимальный многочлен матрицы
Глава V. Функции от матрицы
§ 1. Определение функции от матрицы
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра
§ 3. Другие формы определения f(A). Компоненты матрицы A
§ 4. Представление функций от матриц рядами
§ 5. Некоторые свойства функций от матриц
§ 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 7. Устойчивость движения в случае линейной системы
Глава VI. Эквивалентные преобразования многочленных матриц. Аналитическая теория элементарных делителей
§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы
§ 2. Канонический вид матрицы
§ 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной матрицы
§ 4. Эквивалентность линейных двучленов
§ 5. Критерий подобия матриц
§ 6. Нормальные формы матрицы
§ 7. Элементарные делители матрицы f(A)
§ 8. Общий метод построения преобразующей матрицы
§ 9. Второй метод построения преобразующей матрицы
Глава VII. Структура линейного оператора в n-мерном пространстве (геометрическая теория элементарных делителей)
§ 1. Минимальный многочлен вектора, пространства (относительно заданного линейного оператора)
§ 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами
§ 3. Сравнения. Надпространство
§ 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные подпространства
§ 5. Нормальная форма матрицы
§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители
§ 7. Нормальная жорданова форма матрицы
§ 8. Метод акад. А. Н. Крылова преобразования векового уравнения
Глава VIII. Матричные уравнения
§ 1. Уравнение AX=XB
§ 2. Частный случай: A=B. Перестановочные матрицы
§ 3. Уравнение AX-XB=C
§ 4. Скалярное уравнение f(X)=0
§ 5. Матричное многочленное уравнение
§ 6. Извлечение корня m-й степени из неособенной матрицы
§ 7. Извлечение корня m-й степени из особенной матрицы
§ 8. Логарифм матрицы
Глава IX. Линейные операторы в унитарном пространстве
§ 1. Общие соображения
§ 2. Метризация пространства
§ 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов
§ 4. Ортогональное проектирование
§ 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства
§ 6. Ортогонализация ряда векторов
§ 7. Ортонормированный базис
§ 8. Сопряженный оператор
§ 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве
§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов
§ 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы
§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Формулы Кэли
§ 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве
§ 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом пространстве
§ 15. Коммутирующие нормальные операторы
§ 16. Псевдообратный оператор
Глава X. Квадратичные и эрмитовы формы
§ 1. Преобразование переменных в квадратичной форме
§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции
§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Формула Якоби
§ 4. Положительные квадратичные формы
§ 5. Приведение квадратичной формы к главным осям
§ 6. Пучок квадратичных форм
§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм
§ 8. Малые колебания системы с n степенями свободы
§ 9. Эрмитовы формы
§ 10. Ганкелевы формы
ЧАСТЬ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава XI. Комплексные симметричные, кососимметрические и ортогональные матрицы
§ 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных матриц
§ 2. Полярное разложение комплексной матрицы
§ 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы
§ 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы
§ 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы
ГЛАВА XII. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ
§ 1. Введение
§ 2. Регулярный пучок матриц
§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении
§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц
§ 5. Минимальные индексы пучка
§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм
§ 7. Приложения к дифференциальным уравнениям
ГЛАВА XIII. МАТРИЦЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
§ 1. Общие свойства
§ 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц
§ 3. Разложимые матрицы
§ 4. Нормальная форма разложимой матрицы
§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы
§ 6. Стохастические матрицы
§ 7. Предельные вероятности для однородной цепи Маркова с конечным числом состояний
§ 8. Вполне неотрицательные матрицы
§ 9. Осцилляционные матрицы
Глава XIV. Различные критерии регулярности и локализации собственных значений
§ 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения
§ 2. Норма матрицы
§ 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы
§ 4. Критерий регулярности Фидлера
§ 5. Круги Гершгорина и другие области локализации
Глава XV. Приложения теории матриц к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений
§ 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Общие понятия
§ 2. Преобразование Ляпунова
§ 3. Приводимые системы
§ 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина
§ 5. Матрицант
§ 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление Вольтерра
§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства
§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области
§ 9. Изолированная особая точка
§ 10. Регулярная особая точка
§ 11. Приводимые аналитические системы
§ 12. Аналитические функции от многих матриц и их применение к исследованию дифференциальных систем. Работы И. A. Лaппo-Данилевского
ГЛАВА XVI. ПРОБЛЕМА РАУСА-ГУРВИЦА И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 1. Введение
§ 2. Индексы Коши
§ 3. Алгоритм Рауса
§ 4. Особые случаи. Примеры
§ 5. Теорема Ляпунова
§ 6. Теорема Рауса-Гурвица
§ 7. Формула Орландо
§ 8. Особые случаи в теореме Рауса — Гурвица
§ 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных вещественных корней многочлена
§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга
§ 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через коэффициенты числителя и знаменателя
§ 12. Второе доказательство теоремы Рауса—Гурвица
§ 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса—Гурвица. Критерий устойчивости Льенара и Шипара
§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стильтьеса. Представление многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей
§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова
§ 16. Связь с проблемой моментов
§ 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова
§ 18. Теоремы Маркова и Чебышева
§ 19. Обобщенная задача Рауса-Гурвица
ДОБАВЛЕНИЕ. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ И СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Мажорирующие последовательности
§ 2. Неравенства Неймана-Хорна
§ 3. Неравенства Вейля
§ 4. Максимально-минимальные свойства сумм и произведений собственных чисел эрмитовых операторов
§ 5. Неравенства для собственных и сингулярных чисел сумм и произведений операторов
§ 6. Другая постановка задачи о спектре суммы и произведения эрмитовых операторов
ЛИТЕРАТУРА