ГЛАВА XII. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ
§ 1. Введение
1.Настоящая глава посвящена следующей
задаче:
Даны
четыре матрицы 
,
; 
, 
одинаковых
размеров 
с
элементами из числового поля 
. Требуется найти, при каких условиях
существуют две квадратные неособенные матрицы 
и 
соответственно порядков 
и
такие, что одновременно
, 
(1)
Вводя в рассмотрение пучки матриц 
и 
, два матричных
равенства (1) можно заменить одним равенством
(2)
Определение 1. Два пучка
прямоугольных матриц
и одних
и тех же размеров , связанные равенством (2), в котором и — постоянные (т.
е. не зависящие от 
) квадратные неособенные матрицы
соответственно порядков
и, мы будем называть строго
эквивалентными.
Согласно общему определению
эквивалентности -матриц
(см. гл. VI, стр. 138) пучки и являются
эквивалентными, если имеет место равенство вида (2), в котором и — две квадратные -матрицы с
постоянными и отличными от нуля определителями. При строгой же эквивалентности
требуется дополнительно, чтобы матрицы и не
зависели от .
Критерий эквивалентности пучков и следует из общего
критерия эквивалентности -матриц и состоит в совпадении
инвариантных многочленов или, что то же, элементарных делителей пучков и (см.
гл. VI, стр. 144).
В настоящей главе будет установлен
критерий строгой эквивалентности двух пучков матриц и для каждого пучка будет
определена строго эквивалентная ему каноническая форма
2. Поставленная задача допускает
естественную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим пучок линейных операторов
, отображающих
в 
. При определенном
выборе базисов в этих пространствах пучку операторов отвечает пучок
прямоугольных матриц (размером ); при изменении
базисов в и
пучок заменяется строго эквивалентным
пучком 
, где и —
квадратные неособенные матрицы порядков и (см.
гл. III, §§
2 и 4). Таким образом, критерий строгой эквивалентности дает характеристику
того класса пучков матриц (размером ), которые
описывают один и тот же пучок операторов , отображающих в ,
при различных выборах базисов в этих пространствах.
Для получения канонической формы пучка
нужно найти те базисы в и , в которых пучок операторов описывается
возможно более простой матрицей.
Поскольку пучок операторов задается двумя
операторами
и , то можно еще сказать, что
настоящая глава посвящена одновременному изучению двух операторов и , отображающих в .
3. Все пучки матриц размером подразделяются на
два основных типа: на регулярные и сингулярные
пучки.
Определение 2. Пучок матриц
называется
регулярным, если 1) и —
квадратные матрицы одного и того же порядка и 2)
определитель 
не
равен тождественно нулю. Во всех остальных случаях (
или
,
но 
)
пучок называется сингулярным.
Критерий
строгой эквивалентности, а также каноническая форма для регулярных пучков
матриц были установлены Вейерштрассом в 1867 г. [150] на основе его
теории элементарных делителей, изложенной нами в главах VI и VII. Аналогичные
вопросы для сингулярных пучков получили свое разрешение позже, в 1890 г., в
исследованиях Л. Кронекера [133].
Результаты Кронекера и составляют основное содержание этой главы.
