§ 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом пространстве

1. В § 12 было установлено полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Совершенно аналогично получается полярное разложение линейного оператора в евклидовом пространстве.

Теорема 9. Линейный оператор  всегда представим в виде произведений

,                     (124)

,                   (125)

где  и  – неотрицательные симметрические, а  и  – ортогональные операторы; при этом , где  – вещественные многочлены.

В том и только в том случае, когда  – нормальный оператор, множители  и  (множители  и ) между собой перестановочны.

Аналогичное предложение имеет место для матриц.

Отметим геометрическое содержание формул (124) и (125). Будем откладывать векторы -мерного точечного евклидова пространства из начала координат. Тогда каждый вектор будет радиус-вектором некоторой точки пространства. Ортогональное преобразование, осуществляемое оператором  (или ), является вращением в этом пространстве, поскольку оно сохраняет евклидову метрику и оставляет на месте начало координат. Симметрический же оператор  (или ) осуществляет «дилатацию» -мерного пространства (т. е. «растяжение» вдоль  взаимно перпендикулярных направлений с различными в общем случае коэффициентами растяжения  ( – произвольные неотрицательные числа). Согласно формулам (124) и (125) произвольное линейное однородное преобразование -мерного евклидова пространства можно получить, осуществляя последовательно некоторое вращение и некоторую дилатацию (в любом порядке).

2. Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для унитарного оператора, рассмотрим теперь некоторые представления для ортогонального оператора в евклидовом пространстве .

Пусть  – произвольный кососимметрический оператор  и

.                      (126)

Тогда  – ортогональный оператор первого рода. Действительно,

и

.

Покажем, что любой ортогональный оператор первого рода представим в виде (126). Для этого возьмем соответствующую ортогональную матрицу . Поскольку , то согласно формуле (123)

                  (127)

.

Определим кососимметрическую матрицу  равенством

.                    (128)

Поскольку

,

то из (127) и (128) следует:

.                      (129)

Матричное равенство (129) влечет операторное равенство (126).

Для представления ортогонального оператора второго рода введем в рассмотрение специальный оператор , определив его в некотором ортонормированном базисе  равенствами

.                        (130)

 – ортогональный оператор второго рода. Если  – произвольный ортогональный оператор второго рода, то  и  суть операторы первого рода и потому представимы в виде  и , где  и  – кососимметрические операторы. Отсюда получим формулы для ортогонального оператора второго рода

.                 (131)

Базис  в формулах (130) можно выбрать так, чтобы он совпадал с базисом   в формулах (120) и (122). Определенный таким образом оператор  будет перестановочен с ; поэтому две формулы (131) сольются в одну

.                  (132)

Остановимся еще на формулах Кэли, устанавливающих связь между ортогональными и кососимметрическими операторами в евклидовом пространстве. Формула

,                    (133)

как легко проверить, переводит кососимметрический оператор  в ортогональный . Из (133) можно выразить  через :

.                     (134)

Формулы (133) и (134) устанавливают взаимно однозначное соответствие между кососимметрическими операторами и теми ортогональными операторами, которые не имеют характеристического числа . Вместо (133) и (134) можно взять формулы

,                 (135)

.                     (136)

В этом случае роль особой точки будет играть число .

3. Полярное разложение вещественной матрицы в соответствии с теоремой 9 позволяет получить основные формулы (117), (119), (121), (123), не прибегая к включению евклидова пространства в унитарное так, как это было сделано ранее. Второй вывод основных формул опирается на следующую теорему:

Теорема 10. Если две вещественные нормальные матрицы подобны:

,                     (137)

то эти матрицы вещественно- и ортогонально-подобны:

.                    (138)

Доказательство. Поскольку нормальные матрицы  и  имеют одни и те же характеристические числа, то (см. 2. на стр. 246) существует такой многочлен , что

.

Поэтому вытекающее из (137) равенство

может быть записано так:

.              (139)

Переходя в этом равенстве к транспонированным матрицам, получим:

.                       (140)

Сопоставление (137) с (140) дает:

.             (141)

Воспользуемся теперь полярным разложением матрицы :

,                      (142)

где  [ – многочлен] – симметрическая, а  – вещественная ортогональная матрица. Поскольку согласно (141) матрица  перестановочна с  то она же перестановочна с матрицей . Поэтому подставляя в (137) выражение для  из (142), будем иметь:

.

Теорема доказана.

Рассмотрим вещественную каноническую матрицу

.                  (143)

Матрица (143) нормальна и имеет характеристические числа . Так как нормальные матрицы имеют простую структуру, то любая нормальная матрица, имеющая те же характеристические числа, подобна (а в силу теоремы 10 вещественно- и ортогонально-подобна) матрице (143). Таким образом, приходим к формуле (117).

Совершенно так же получаются формулы (119), (121), (123).