§ 1. Мажорирующие последовательности

В этом параграфе мы остановимся на ряде вспомогательных вопросов, связанных с конечными числовыми последовательностями. Рассмотрим две убывающие последовательности чисел, по  элементов в каждой:

,                  (1)

.                  (2)

Принято говорить, что последовательность (2) мажорируется последовательностью (1), если

                       (3)

и

.              (3')

При выполнении условий (3) и (3') пишут

.                       (4)

Квадратную матрицу  мы будем в дальнейшем называть двояко стохастической, если матрицы  и  являются стохастическими, другими словами, если ,

,                    (5)

и

.                   (5')

Справедливо следующее утверждение (см. [35], стр. 63).

Лемма 1. Последовательность  мажорируется последовательностью  тогда и только тогда, когда существует двояко стохастическая матрица  такая, что

.                    (6)

Достаточность условия (6) доказывается легко. В самом деле,

.                  (7)

Мы положили

.                (8)

Легко видеть, что  и

.                    (9)

Имеем на основании равенства (7)

.   (10)

Уменьшая слагаемые в правой части, получаем

.                 (10')

Следовательно, неравенства (3) имеют место. Так как, далее, при  согласно (8)  , то в силу (7) справедливо и равенство (3').

Таким образом, достаточность условия (6) установлена. Доказательство необходимости этого условия требует известных усилий. Мы проведем его по индукции. В случае  последовательности содержат по одному элементу,  и матрица , очевидно, существует. Предположим, что утверждение справедливо для случая последовательностей из  элементов и рассмотрим две последовательности  и , которые связаны соотношением  и состоят из  элементов.

Из условия  и равенства (3) следует, что . Поэтому найдется такое  , при котором

.                      (11)

Следовательно, при некотором , , мы имеем

.                       (12)

Наряду с  и  рассмотрим две последовательности по  элементов в каждой:

                       (13)

и

.                (13')

Обозначим эти последовательности через  и  соответственно.

Учитывая (11), легко заключить, что элементы последовательности  расположены в порядке убывания. Без труда проверяется также соотношение . Поэтому в силу индуктивного предположения существует такая двояко стохастическая матрица , что , или в развернутой записи:

.

Подставив сюда  из равенства (12), получим при :

.

Добавляя сюда равенство , легко убеждаемся в том, что последовательности  и  связаны двояко стохастической матрицей

.

Лемма доказана полностью.

Нам понадобится  ниже также следующее предложение (см. 233):

Лемма 2. Пусть  – непрерывная выпуклая монотонно возрастающая функция. Пусть

,                  (14)

                   (15)

и

.              (16)

Тогда

.                        (17)

Доказательство. Предположим сначала, что при  в соотношении (16) имеет место равенство. Тогда последовательность  мажорируется последовательностью  и согласно лемме 1

,                   (18)

где  - элементы двояко стохастической матрицы. В силу выпуклости  из равенства (18) следует, что

.            (19)

Суммируя неравенства (19), получаем

.              (20)

Таким образом, в указанном случае неравенство (17) выполняется.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть в соотношении (16) при  имеет место знак . Положим

.

Наряду с последовательностями (14) и (15) рассмотрим две последовательности:

                    (21)

и

,                   (22)

где   и  – произвольные два числа, удовлетворяющие неравенствам (21) и (22) и соотношению

.                     (23)

Легко видеть, что при таком выборе  и  последовательность (21) мажорируется последовательностью (22), и по доказанному имеем

.             (24)

Так как, далее,  – монотонно возрастающая функция и , то  и из (24) снова следует неравенство (17).

Лемма доказана полностью.

Замечание. Из наших рассуждений следует, что в том случае, когда последовательность (14) мажорируется последовательностью (15) [т. е. при  в (16) достигается равенство], то неравенство (17) справедливо для любой непрерывной выпуклой функции  (возрастание является излишним требованием).