ГЛАВА XIII. МАТРИЦЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
В
этой главе изучаются свойства вещественных матриц с неотрицательными
элементами. Эти матрицы находят себе существенное применение в теории
вероятностей при исследовании цепей Маркова («стохастические матрицы», см.
[25]) и в теории малых колебаний упругих систем («осцилляционные матрицы», см.
[7])
§ 1. Общие свойства
Начнем
с определения.
Определение 1.
Прямоугольную матрицу
с вещественными
элементами
(
, 
)
мы
будем называть
неотрицательной (обозначение: 
) или положительной
(обозначение:
), если все элементы
матрицы неотрицательны
(соответственно положительны): 
(соответственно 
).
Определение 2. Квадратная
матрица 
называется разложимой,
если при некотором разбиении всех индексов 
на две дополнительные системы (без
общих индексов) 
; 
(
, 
).
В
противном случае матрицу будем называть неразложимой.
Под перестановкой
рядов в квадратной матрице мы
будем понимать соединение перестановки строк с такой же
перестановкой столбцов матрицы
.
Определение
разложимой и неразложимой матриц может быть сформулировало так:
Определение 2'. Матрица называется разложимой, если
перестановкой рядов она может быть приведена к виду
где 
и 
-
квадратные матрицы. В противном случае матрица называется неразложимой.
Пусть
матрица соответствует
линейному оператору 
в 
-мерном векторном пространстве 
с базисом 
. Перестановке
рядов в матрице
соответствует
перенумерация базисных
векторов,
т. е. переход от базиса
к новому базису 
,
где 
- некоторая
перестановка индексов . При этом матрица переходит
в подобную ей матрицу 
(в каждой строке и в каждом столбце
преобразующей матрицы 
один элемент равен единице, а все
остальные элементы равны нулю).
Под
-мерным координатным
подпространством в
мы будем понимать любое
подпространство в с базисом 
. С каждым базисом пространства
связаны 
-мерных
координатных подпространств. Определение разложимой матрицы может быть еще дано
в следующей форме:
Определение 2".
Матрица называется разложимой в
том и только в том случае, если соответствующий этой матрице оператор имеет
-мерное
инвариантов координатное подпространство с 
.Докажем
следующую
лемму
Лемма
1.
Если -
неразложимая матрица и - порядок матрицы , то
(1)
Доказательство. Для
доказательства леммы достаточно показать, что для любого вектора (столбца) 
имеет место неравенство
Это
же неравенство будет установлено, если мы только покажем, что при условии и 
вектор 
всегда имеет
меньше нулевых координат, нежели вектор 
.
Допустим противное. Тогда векторы
и 
имеют
одни и те же пулевые координаты. Не нарушая общности рассуждений, можно принять,
что столбцы и имеют
вид
, 
, (
, 
),
где
столбцы 
и
имеют
один и тот же размер.
Полагая
соответственно
будем
иметь:
откуда
.
Поскольку
, то
отсюда вытекает
.
Это
равенство противоречит неразложимости матрицы .
Таким
образом, лемма доказана.
Введем
в рассмотрение степени матрицы
:
Тогда
из леммы вытекает
Следствие. Если - неразложимая
матрица, то для любой пары индексов 
существует целое положительное число 
такое, что
(2)
При этом число всегда можно выбрать в
пределах
(3)
где
—
степень минимального многочлена 
матрицы .
Действительно,
обозначим через 
остаток
от деления 
на
. Тогда в
силу (1) 
. Так как степень
меньше , то из полученного
неравенства вытекает, что при любых , по крайней мере
одно из неотрицательных чисел
не
равно нулю. Поскольку 
при 
, то
отсюда следует первое из соотношений (3). Второе соотношение (для 
)
получается аналогично, если неравенство заменить неравенством 
.
Замечание. Это следствие
из леммы показывает, что в неравенстве (1) можно заменить число 
числом 
, где — степень
минимального многочлена матрицы
.
