§ 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы
Пусть дана матрица 
. Рассмотрим всевозможные миноры 
-го (
) порядка матрицы 
:
.
(31)
Число этих миноров равно 
, где 
— число сочетаний из 
по . Для того чтобы
расположить миноры (31) в квадратную таблицу, занумеруем в определенном
(например, лексикографическом) порядке все сочетания по из индексов 
.
Если сочетания индексов 
и 
при этой нумерации будут
иметь номера 
и
, то минор
(31) будем обозначать и так:
.
Давая и независимо друг от друга все значения
от 1 до 
, мы
охватим все миноры -го порядка матрицы.
Квадратная матрица -го порядка
называется -й ассоциированной матрицей для матрицы
может принимать
значения .
При этом 
,
а матрица 
состоит
из одного элемента, равного 
.
Замечание. Порядок нумерации сочетаний индексов
фиксируется раз и навсегда и не связан с выбором матрицы .
Пример. Пусть
.
Перенумеруем все сочетания из четырех индексов 1, 2,
3, 4 по два, расположив их в следующем порядке:
(1 2) (1 3) (1 4) (2
3) (2 4) (3 4).
Тогда
.
Отметим некоторые свойства ассоциированных матриц:
1 Из 
следует 
(
).
Действительно, выражая миноры -го порядка () матрицы-произведения 
через миноры того же порядка матриц-сомножителей по формуле (18),
будем иметь:
. (32)
Очевидно, в
обозначениях этого параграфа равенство (32) может быть записано так:
(здесь , , 
– номера сочетаний
индексов ;
; 
). Отсюда:
.
2 Из
следует
(
).
Это предложение
непосредственно вытекает из предыдущего, если там положить 
и обратить
внимание на то, что 
— единичная матрица порядка
.
Из предложения
2° вытекает важная формула, выражающая миноры обратной матрицы через миноры
данной матрицы:
Если , то при любых 
, (33)
где вместе с
, а вместе
с 
составляют
полную систему индексов .
Действительно,
из 
следует:
или в более
подробной записи:
(34)
Равенства (34)
могут быть записаны еще так:
. (34')
С другой стороны,
применяя к определителю известные разложения
Лапласа, получаем:
(35)
где вместе
с , а вместе
с образуют
полную систему индексов . Сопоставление (35) с (34') и (34) показывает, что равенство (34)
удовлетворяются, если вместо 
взять не 
, а
Так как из
системы (34) элементы обратной матрицы для 
определяются
однозначно, то имеет место равенство (33).
