§ 8. Метод акад. А. Н. Крылова преобразования векового уравнения

1. Если дана матрица , то ее характеристическое (вековое) уравнение записывается в виде

.                (81)

В левой части этого уравнения стоит характеристический многочлен -й степени . Для непосредственного вычисления коэффициентов этого многочлена нужно раскрыть характеристический определитель , а это связано при больших  с большим объемом вычислительной работы, поскольку  входит в диагональные элементы определителя.

Академик А. Н. Крылов в 1937 г. [103] предложил преобразование характеристического определителя, в результате которого  входит только в элементы одного столбца (или строки). Преобразование Крылова существенно упрощает вычисление коэффициентов характеристического уравнения.

В этом параграфе мы дадим алгебраический вывод преобразованного характеристического уравнения, несколько отличающийся от вывода самого Крылова.

Введем в рассмотрение -мерное векторное пространство  с базисом  и линейный оператор  в , определяемый данной матрицей  при этом базисе. Выберем в  произвольный вектор  и составим ряд векторов

.            (82)

Пусть первые  векторов этого ряда  линейно независимы, а -й вектор  есть линейная комбинация этих  векторов:

,                      (83)

или

,                (84)

где

.                       (85)

Все дальнейшие векторы ряда (82) также линейно выражаются через первые  векторов этого ряда. Таким образом, в ряду (82) имеется  линейно независимых векторов, и это максимальное число линейно независимых векторов ряда (82) может быть всегда реализовано на первых  векторах ряда.

Многочлен  является минимальным (аннулирующим) многочленом вектора  относительно оператора  (см. § 1). Метод А. Н. Крылова есть метод эффективного определения минимального многочлена  вектора .

Мы рассмотрим раздельно два случая: регулярный случай, когда , и особый случай, когда .

Многочлен  является делителем минимального многочлена  всего пространства , а  в свою очередь является делителем характеристического многочлена . Поэтому  всегда является делителем .

В регулярном случае  и  имеют одну и ту же степень , и поскольку старшие коэффициенты у них равны, то эти многочлены совпадают. Таким образом, в регулярном случае

,

и потому метод Крылова в регулярном случае есть метод вычисления коэффициентов характеристического многочлена .

В особом случае, как мы увидим ниже, метод Крылова не дает возможности определить  и в этом случае он определяет только многочлен , являющийся делителем .

При изложении преобразования Крылова мы будем обозначать координаты вектора  в заданном базисе  через , а координаты вектора  через  .

2. Регулярный случай: . В этом случае векторы  линейно независимы, и равенства (83), (84), (85) принимают вид

             (86)

или

,                (87)

где

.                       (88)

Условие лилейной независимости векторов  может быть аналитически записано так (см. гл. III, § 1):

.                     (89)

Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов :

.                       (90)

В регулярном случае ранг этой матрицы равен . Первые  строк этой матрицы линейно независимы, а последняя, -я, строка есть линейная комбинация предыдущих .

Зависимость между строками матрицы (90) получим, заменяя векторное равенство (86) эквивалентной системой  скалярных равенств

                 (91)

Из этой системы  линейных уравнений мы можем однозначно определить искомые коэффициенты  и подставить полученные значения в (88). Это исключение  из (88) и (91) можно провести в симметричной форме. Для этого перепишем (88) и (91) так:

Поскольку эта система из  уравнений с  неизвестными  имеет ненулевое решение , то определитель этой системы должен равняться нулю:

.              (92)

Отсюда мы определяем , предварительно транспонируя определитель (92) относительно главной диагонали:

,                    (93)

где постоянный множитель  определяется формулой (89) и отличен от нуля.

Тождество (93) и представляет собой преобразование Крылова. В определителе Крылова, стоящем в правой части этого тождества,  входит только в элементы последнего столбца; остальные же элементы этого определителя от  не зависят.

Замечание. В регулярном случае все пространство  является циклическим (относительно оператора ). Если в качестве базиса выбрать векторы , то в этом базисе оператору  соответствует матрица , имеющая естественную нормальную форму

.             (94)

Переход от основного базиса  к базису  осуществляется при помощи неособенной преобразующей матрицы

.                      (95)

При этом

.                (96)

3. Особый случай: . В этом случае векторы  линейно зависимы, и потому

.

Равенство (93) было выведено при условии . Но обе части этого равенства представляют собой целые рациональные функции от  и параметров . Поэтому «из соображений непрерывности» следует, что равенство (93) имеет место и при . Но тогда в определителе Крылова (93) после его раскрытия все коэффициенты окажутся равными нулю. Таким образом, в особом случае  формула (93) переходит в тривиальное тождество .

Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов

.                     (97)

Эта матрица имеет ранг  и первые  строк в ней линейно независимы, последняя же -я строка есть линейная комбинация первых  строк с коэффициентами  [см. (83)]. Из  координат  мы сможем выбрать такие  координат , чтобы определитель, составленный из этих координат векторов , был отличен от нуля:

.                  (98)

Далее, из (83) вытекает:

               (99)

Из этой системы уравнений однозначно определяются коэффициенты  многочлена  (минимального многочлена вектора ). Совершенно аналогично регулярному случаю (лишь с заменой  на  и букв  буквами ) мы сможем исключить  из (85) и (99) и получить следующую формулу для :

.                (100)

4. Остановимся на выяснении вопроса, для каких матриц  и при каком выборе исходного вектора  или, что то же, при каком выборе исходных параметров  имеет место регулярный случай.

Мы уже видели, что в регулярном случае

.

Совпадение характеристического многочлена  с минимальным многочленом  означает, что у матрицы  нет двух элементарных делителей с одним и тем же характеристическим числом, т. е. все элементарные делители попарно взаимно просты. В случае, когда  – матрица простой структуры, это требование равносильно условию, что характеристическое уравнение матрицы  не имеет кратных корней.

Совпадение многочлена  с  означает, что в качестве вектора  выбран вектор, порождающий (при помощи оператора ) все пространство . Такой вектор согласно теореме 2 § 2 всегда существует.

Если же условие  не выполняется, то, как бы ни выбрать вектор , мы многочлена  не получим, так как полученный по методу Крылова многочлен  является делителем , который в рассматриваемом случае не совпадает с многочленом , а является лишь его делителем. Варьируя вектор , мы можем в качестве  получить любой делитель .

Полученные выводы мы можем сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 14. Преобразование Крылова дает выражение для характеристического многочлена  матрицы  в виде определителя (93) в том и только в том случае, когда выполняются два условия:

1. Элементарные делители матрицы  попарно взаимно просты.

2. Исходные параметры  являются координатами вектора , порождающего (при помощи оператора , соответствующего матрице ) все -мерное пространство.

В общем же случае преобразование Крылова приводит к некоторому делителю  характеристического многочлена . Этот делитель  является минимальным многочленом для вектора  с координатами  ( – исходные параметры в преобразовании Крылова).

5. Покажем, как найти координаты собственного вектора  для любого характеристического числа , которое является корнем многочлена , получающегося по методу Крылова.

Вектор  будем искать в виде

.                      (101)

Подставляя это выражение для  в векторное равенство

и используя (101), мы получим:

                   (102)

Отсюда, между прочим, следует, что , так как равенство  в силу (102) давало бы линейную зависимость между векторами . В дальнейшем мы полагаем . Тогда из (102) получаем:

               (103)

Первые  из этих равенств определяют нам последовательно величины  (координаты вектора  в «новом» базисе ); последнее же равенство является следствием из предыдущих и из соотношения .

Координаты  вектора  в исходном базисе могут быть найдены по следующим формулам, которые вытекают из (101):

                        (104)

Пример 1.

Рекомендуем читателю следующую схему вычислений.

Под данной матрицей  выписываем строку из координат вектора . Этими числами задаемся произвольно (при одном лишь ограничении: по крайней мере одно из этих чисел отлично от нуля). Под строкой  пишем строку , т. е. координаты вектора . Числа , получаются путем последовательного умножения строки  на строки данной матрицы . Так, например, ,  и т. д. Под строкой  пишем строку  и т. д. Каждая из приписываемых строк, начиная со второй, определяется путем последовательного умножения предыдущей строки па строки данной матрицы.

Над строками данной матрицы выписываем контрольную суммарную строку

.

В данном случае мы имеем регулярный случай, поскольку

.

Определитель Крылова имеет вид

.

Раскрывая этот определитель и сокращая на , найдем:

.

Обозначим через  собственный вектор матрицы , соответствующий характеристическому числу . Числа  найдем по формулам (103):

, , , .

Контрольное равенство , конечно, удовлетворяется.

Полученные числа  располагаем в вертикальном столбце параллельно столбцу векторов . Помножая столбец  на столбец , мы получим первую координату  вектора  в исходном базисе ; аналогично получаем . Находим координаты (после сокращения на 4) вектора . Аналогично определяем координаты  собственного вектора  для характеристического числа .

Далее, согласно (94) и (95)

,

где

, .

Пример 2. Рассмотрим ту же матрицу , но в качестве исходных параметров возьмем числа .

.

Но в данном случае

и . Мы имеем дело с особым случаем.

Беря первые три координаты векторов , определитель Крылова записываем в виде

.

Раскрывая этот определитель и сокращая на , получим:

.

Отсюда находим три характеристических числа: , , . Четвертое характеристическое число получим из условия, что сумма всех характеристических чисел равна следу матрицы. Но . Поэтому .

Приведенные примеры показывают, что при применении метода Крылова, выписывая последовательно строки матрицы

,                  (105)

нужно следить за рангом получаемой матрицы с тем, чтобы остановиться на первой [-й сверху] строке, которая является линейной комбинацией предыдущих. Определение ранга связано с вычислением известных определителей. Кроме того, получив определитель Крылова в виде (93) или (100), для раскрытия его по элементам последнего столбца следует вычислить известное число определителей -го порядка [в регулярном случае -го порядка].

Вместо раскрытия определителя Крылова можно определить коэффициенты  непосредственно из системы уравнений (91) [или (99)], применяя к этой системе какой-либо эффективный метод решения, например метод исключения. Этот метод можно применить непосредственно к матрице

,                      (106)

пользуясь им параллельно с получением соответствующих строк по методу Крылова. Тогда мы своевременно обнаружим зависимую от предыдущих строку матрицы (105) без вычисления каких-либо определителей.

Поясним это подробнее. В первой строке матрицы (106) выбираем какой-либо элемент  и с его помощью обращаем в нуль стоящий под ним элемент , вычитая из второй строки первую, помноженную на . Затем во второй строке выбираем какой-либо элемент  и с помощью элементов  и  обращаем в нуль элементы  и  и т. д. В результате такого преобразования в последнем столбце матрицы (106) степени  заменятся многочленами -й степени  .

Так как при нашем преобразовании при любом  ранг матрицы, образованной первыми  строками и первыми  столбцами матрицы (106), не меняется, то -я строка этой матрицы после преобразования будем иметь вид

.

Проведенное нами преобразование не изменяет величины определителя Крылова

.

Поэтому

,                    (107)

т. е.  и будем искомым многочленом .

Рекомендуем следующее упрощение. Получив -ю преобразованную строку в матрице (106)

,                 (108)

следующую -ю строку следует получать, умножая ряд  (а не первоначальный ряд ) на строки данной матрицы.

Тогда мы найдем -ю строку в виде

и после вычитания предыдущих строк получим:

.

Рекомендуемое нами небольшое видоизменение метода Крылова (соединение его с методом исключения) позволяет сразу получить интересующий нас многочлен  [регулярном случае ] без вычисления каких-либо определителей и решения вспомогательной системы уравнений.

Пример.