§ 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица

1. Рассмотрим матрицу . Характеристической, матрицей для матрицы  называется матрица . Определитель характеристической матрицы

представляет собой скалярный многочлен относительно  и называется характеристическим многочленом матрицы  (см. гл. III, § 7).

Матрицу  где  — алгебраическое дополнение элемента  в определителе , мы будем называть присоединенной матрицей для матрицы .

Так, например, для матрицы

будем иметь:

,

,

.

Из приведенных определений следуют тождества относительно :

,       (20)

.      (20')

Правые части этих равенств мы можем рассматривать как многочлены с матричными коэффициентами (каждый из этих коэффициентов равен произведению скаляра на единичную матрицу ). Многочленную матрицу  можно также представить в виде многочлена, расположенного по степеням . Равенства (20) и (20') показывают, что  делится слева и справа на  без остатка. Согласно обобщенной теореме Безу это возможно лишь тогда, когда остаток  равен нулю. Нами доказана

Теорема 2 (Гамильтона-Кэли). Всякая квадратная матрица  удовлетворяет своему характеристическому уравнению, т. е.

.                                          (21)

Пример.

,

,

.

2. Обозначим через  все характеристические числа матрицы , т. е. все корни характеристического многочлена  (каждое из чисел  повторяется в этом ряду столько раз, какова его кратность как корня многочлена ). Тогда

.        (22)

Пусть дан произвольный скалярный многочлен . Найдем характеристические числа матрицы . Для этого разложим  на линейные множители

.                              (23)

Подставим в обе части этого тождества вместо  матрицу :

.           (24)

Переходя к определителям в обеих частях равенства (24) и используя равенства (22) и (23), получим:

Заменив в равенстве

                                            (25)

многочлен  на , где  — некоторый параметр, найдем:

    (26)

Из этого равенства вытекает следующая

Теорема 3. Если  — все характеристические числа (с учетом кратностей) матрицы ,   — некоторый скалярный многочлен, то  — все характеристические числа матрицы .

В частности, если матрица  имеет характеристические числа , то матрица  имеет характеристические числа   .

3. Укажем эффективную формулу, выражающую присоединенную матрицу  через характеристический многочлен .

Пусть

.                                                       (27)

Разность  делится без остатка на . Поэтому

  (28)

есть многочлен относительно  и .

Тождество

                    (29)

не нарушится, если в него вместо  и  подставить перестановочные между собой матрицы  и . Тогда, поскольку согласно теореме Гамильтона — Кэли ,

.                      (30)

Сопоставляя между собой равенства (20') и (30), из однозначности частного получаем искомую формулу

.                                                    (31)

Отсюда в силу (28)

,              (32)

где

,  ,  …

и вообще

     .    (33)

Матрицы  можно вычислять последовательно, исходя из рекуррентных соотношений

    .                  (34)

При этом

.                               (35)

Соотношения (34) и (35) непосредственно получаются из тождества (20), если в обеих частях этого тождества приравнять между собой коэффициенты при одинаковых степенях .

Если  — неособенная матрица, то

и из (35) следует:

.                                   (36)

Пусть  — характеристическое число матрицы , т. е. . Подставив в (20) вместо  значение  найдем:

.                         (37)

Допустим, что матрица , и обозначим через  любой ненулевой столбец этой матрицы. Тогда из (37)  или

.                                          (38)

Следовательно, любой ненулевой столбец матрицы  определяет собственный вектор, соответствующий характеристическому числу .

Таким образом, если коэффициенты характеристического многочлена известны, то присоединенная матрица может быть найдена по формуле (31). Если данная матрица  неособенная то по формуле (36) находится обратная матрица . Если  — характеристическое число матрицы , то ненулевые столбцы матрицы  являются собственными векторами матрицы  для .

Пример. 

,

,

,

.

Но

,   ,

,   , .

Далее

Первый столбец матрицы  дает собственный вектор для характеристического числа .

Первый столбец матрицы  дает собственный     вектор  соответствующий характеристическому числу .