§ 2. Индексы Коши

Начнем с рассмотрения так называемых индексов Коши.

Определение 1. Индексом Коши вещественной рациональной функции  в пределах от  до  (обозначение ; , - вещественные числа, либо ) будем называть разность между числом разрывов  с переходом от  к  и числом разрывов с переходом от  к  при изменении аргумента от  к .

Согласно этому определению, если

где ,  - вещественные числа, a  - рациональная функция, не имеющая вещественных полюсов, то

и вообще

                             (2')

В частности, если  - вещественный многочлен ( при ; ) и среди корней  этого многочлена только первые  вещественны, то

где  - вещественная рациональная функция, не имеющая вещественных полюсов.

Поэтому индекс

равен числу различных вещественных корней многочлена , находящихся внутри интервала .

Произвольная вещественная рациональная функция  всегда представима в виде

где все  и  - вещественные числа  и  не имеет вещественных полюсов. Тогда

                               (3)

и вообще

                    (3')

Если , то индекс  выражается через приращение непрерывной функции :

                          (4)

Один из методов вычисления индекса  основан на классической теореме Штурма.

Рассмотрим ряд вещественных многочленов

,                                       (5)

обладающий двумя свойствами по отношению к интервалу :

1° При любом значении  , обращающем в нуль какую-либо из функций , две смежные функции  и  имеют значения, отличные от нуля и разных знаков, т. е. из  при  следует: .

2° Последняя функция  в ряду (5) не обращается в нуль внутри , т. е.  при .

Такой ряд (4) многочленов называется рядом Штурма в интервале .

Обозначим через  число перемен знака в ряду (5) при фиксированном значении . Тогда при изменении  от  до  величина  может измениться лишь при переходе через нуль какой-либо из функций ряда (5). Но в силу 1° при переходе через нуль функции   величина  не изменяется. При переходе же через нуль функции  теряется или приобретается одна перемена знака в ряду (5) в зависимости от того, переходит при этом отношение  от  к  или наоборот. Поэтому имеет место

Теорема 1 (Штурма). Если  - ряд Штурма в , а  - число перемен знака в этом ряду, то

                                      (6)

Примечание. Помножим все члены ряда Штурма на один и тот же произвольный многочлен . Полученный таким образом ряд многочленов назовем обобщенным рядом Штурма. Так как умножение всех членов ряда (5) на один и тот же многочлен не меняет ни левой, ни правой части равенства (6), то теорема Штурма сохраняет свою силу и для обобщенного ряда Штурма.

Заметим, что если даны два произвольных многочлена  и  , то всегда можно при помощи алгоритма Евклида построить обобщенный ряд Штурма, который начинался бы с функций , .

Действительно, обозначая через  остаток от деления  на , через  - остаток от деления  на  и т. д., будем иметь цепочку тождеств

,    (7)

где последний не равный тождественно нулю остаток  является наибольшим общим делителем  и , а также наибольшим общим делителем всех функций построенного таким образом ряда (5). Если  , то полученный ряд (5) в силу (7) удовлетворяет условиям 1°, 2° и является рядом Штурма. Если же многочлен  имеет корни внутри интервала , то ряд (5) является обобщенным рядом Штурма, поскольку он становится рядом Штурма после деления всех его членов на .

Из сказанного следует, что индекс любой рациональной функции  может быть определен при помощи теоремы Штурма. Для этого достаточно представить  в виде , где , ,  - многочлены и степень  степени . Тогда, если построить обобщенный ряд Штурма для , , то

.

При помощи теоремы Штурма можно определить число различных вещественных корней многочлена  внутри интервала , поскольку это число, как мы видели, равно .