§ 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через коэффициенты числителя и знаменателя
1.
Пусть дана произвольная рациональная функция. Напишем ее разложение в ряд по
нисходящим степеням 
:
(55)
Последовательность
коэффициентов при отрицательных степенях
определяет
бесконечную ганкелеву матрицу 
Таким
образом, устанавливается соответствии
.
Очевидно,
что двум рациональным функциям, разность между которыми есть целая функция,
отвечает одна и та же матрица
. Однако не всякая матрица соответствует
рациональной функции. В предыдущем параграфе было установлено, что матрица тогда и только
тогда соответствует рациональной функции, когда эта бесконечная матрица имеет
конечный ранг. Этот ранг равен числу полюсов (с учетом кратностей) функции 
, т. е. равен
степени знаменателя 
в несократимой дроби 
. С помощью
разложения (55) устанавливается взаимно однозначное соответствие между
правильными рациональными функциями и ганкелевыми
матрицами конечного
ранга.
Отметим
некоторые свойства соответствия:
1°
Если 
,
то любых числах 
.
В
дальнейшем нам придется встретиться со случаем, когда коэффициенты числителя и
знаменателя будут
целыми рациональными функциями параметра 
; тогда и 
будет
рациональной функцией от и . Из разложения
(54) следует, что в этом случае и числа т. е. элементы матрицы , будут
рационально зависеть от . Дифференцируя по почленно
разложение (55), получим:
2°
Если 
то
.
2.
Напишем разложение на простейшие дроби:
(56)
где
— многочлен, и
покажем, как по числам и 
построить матрицу , соответствующую
рациональной функции 
Для
этого рассмотрим сначала простейшую рациональную дробь
.
Ей
отвечает матрица
Соответствующая
этой матрице форма 
имеет вид
Если
то в
силу 1° соответствующая матрица определится по формуле
а
соответствующие квадратичные формы имеют вид
Для
того чтобы перейти к общему случаю (56), мы предварительно 
раз продифференцируем
почленно соотношение
.
Получим
согласно 1° и 2°:
.
Поэтому,
пользуясь снова правилом 1°, в общем случае, когда для имеет место разложение
(56), находим:
(57)
Выполняя
дифференцирование, получим:
(57’)
Соответствующая
ганкелева форма 
будет равна
(57’’)
3.
Теперь мы имеем возможность сформулировать и доказать основную теорему:
Теорема
9. Если
и
— ранг
матрицы ,
то индекс Коши 
равен
сигнатуре формы 
при
любом
:
.
Доказательство.
Пусть имеет место разложение (56). Тогда согласно (57)
,
где
каждое слагаемое имеет вид
(58)
и
.
Согласно
теореме 8 ранг матрицы 
и, следовательно, ранг формы 
равен 
, а ранг равен 
. Но если ранг
суммы нескольких вещественных квадратичных форм равен сумме рангов слагаемых
форм, то такое же соотношение имеет место и для сигнатур:
(59)
Рассмотрим
раздельно два случая:
1)
вещественно.
При любой вариации параметров 
и
(60)
ранг
соответствующей матрицы 
будет оставаться
неизменным 
;
следовательно, будет оставаться неизменной и сигнатура формы 
(см.
стр. 280). Поэтому 
не изменится, если мы в (59) и (60)
положим: 
и
, т. е.
вместо возьмем
матрицу
.
Соответствующая
квадратичная форма равна
Но
сигнатура верхней формы всегда равна нулю, а сигнатура нижней формы равна 
. Таким образом,
если вещественно,
то
(61)
2)
–
комплексное число. Пусть
,
где
–
вещественные линейные формы переменных 
. Тогда
(62)
Так
как ранг этой квадратичной формы равен 
, то линейно независимы, и потому
согласно (62) при невещественном
(63)
Из
(59), (61) и (63) вытекает:
.
Но
на стр. 470 было выяснено, что сумма, стоящая в правой части этого равенства,
равна . Таким
образом, теорема доказана.
Из
доказанной теоремы вытекает:
Следствие
1. Если 
и
– ранг
матрицы ,
то все квадратичные формы 
имеют одну и ту же сигнатуру.
В главе X, § 10 (стр. 305, 306)
было установлено правило вычисления сигнатуры ганкелевой квадратичной формы,
причем исследования Фробениуса дали возможность сформулировать правило с
охватом всех особых случаев. Согласно доказанной теореме этим правилом можно
пользоваться для вычисления индекса Коши. Таким образом, получаем
Следствие 2. Индекс произвольной
рациональной функции , которой соответствует матрица ранга , определяется
по формуле
,
(64)
где
(65)
если
среди определителей 
имеется группа подряд идущих
определителей, равных нулю
,
то
при вычислении 
можно
принять:
,
что
дает:
(66)
Для
того чтобы выразить индекс рациональной функции через коэффициенты числителя и
знаменателя, нам понадобятся некоторые вспомогательные соотношения.
Прежде
всего всегда можно представить в виде
,
где 
– многочлены, причем
Очевидно,
.
Пусть
Тогда,
освобождаясь здесь от знаменателя и после этого приравнивая друг другу
коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства,
получаем:
(67)
Пользуясь
соотношениями (67), находим выражение для следующего определителя 
-го порядка, в
котором кладем 
,
при
:
(68)
Введем
сокращенное обозначение
(69)
Тогда
формула (68) запишется так:
(68’)
В
силу этой формулы следствие 2 на стр. 502 приводит нас к следующей теореме:
Теорема
10. Если 
,
то
(70)
где
определяется
формулой (69); если при этом имеются подряд идущие нулевые определители
,
то
в формуле (70) при подсчете 
следует положить:
или,
что то же,
Замечание.
Если 
,
т. е. дробь, стоящая под знаком индекса в формуле (70), сократима, то формулу
(70) следует заменить формулой
(70’)
где
–
число полюсов (с учетом кратностей) рациональной дроби, стоящей под знаком
индекса (т. е. –
степень знаменателя после сокращения дроби). Здесь 
.
Действительно,
если ,
то интересующий нас индекс равен
так
как число является
рангом соответствующей матрицы . Но равенство (68') имеет формальный
характер и оно справедливо и для сократимой дроби. Поэтому
и
мы приходим к формуле (70')
Формула
(70') дает возможность выразить индекс любой рациональной дроби, у которой
степень числителя не превышает степени знаменателя, через коэффициенты
числителя и знаменателя.
