§ 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление Вольтерра

Рассмотрим матрицант . Разобьем основной интервал  на  частей, введя промежуточные точки , и положим  . Тогда на основании свойства 1° матрицанта (см. предыдущий параграф)

                                            (46)

Выберем в интервале  промежуточную точку  . Тогда, считая  малыми величинами первого порядка, при вычислении  с точностью до малых второго порядка можно принять . Тогда

;  (47)

здесь символом  мы обозначаем сумму членов, начиная со второго порядка малости.

Из (46) и (47) находим:

                 (48)

и

.    (49)

Переходя к пределу при неограниченном увеличении числа интервалов разбиения и стремлении к нулю длин этих интервалов (при предельном переходе малые члены  исчезают), получаем точные предельные формулы

       (48')

и

.     (49')

Выражение, стоящее под знаком предела в правой части последнего равенства, представляет собой интегральное произведение. Предел его мы назовем мультипликативным интегралом и обозначим символом

.        (50)

Формула (49') дает представление матрицанта в виде мультипликативного интеграла

                                   (51)

а равенства (48) и (49) могут быть использованы для приближенного вычисления матрицанта.

Мультипликативный интеграл ввел впервые Вольтерра в 1887 г. На базе этого понятия Вольтерра построил своеобразное инфинитезимальное исчисление для матричных функций (см. [49]).

Вся специфика мультипликативного интеграла связана с неперестановочностью между собой различных значений подинтегральной матричной функции . В том же весьма частном случае, когда все эти значения перестановочны между собой

, ,

мультипликативный интеграл, как это видно из (48') и (51), сводится к матрице

Введем теперь мультипликативную производную

                                                    (52)

Операции  и  взаимно обратны:

Если

,

то

и наоборот. Последняя формула может быть еще записана так:

.                        (53)

Предлагаем читателю проверить справедливость следующих дифференциальных и интегральных формул:

Дифференциальные формулы:

I.

                                                                                                                 ( - постоянная матрица)

II.

III.

Интегральные формулы:

IV.

V.

VI.       ( - постоянная матрица)

VII.

Выведем еще важную формулу, дающую оценку модуля разности между двумя мультипликативными интегралами:

VIII. ,

если

,    ,    

( - неотрицательные числа,  - порядок матриц  и ).

Обозначим через  разность . Тогда

,   .

Рассматривая мультипликативный интеграл как матрицант и пользуясь разложением (40) матрицанта в ряд, найдем:

Из этого разложения видно, что

Пусть теперь матрицы  и  зависят от некоторого параметра :

,  ,

и пусть

,

причем стремление к пределу равномерно относительно  в рассматриваемом интервале . Допустим, что, кроме того, при  матрица  по модулю ограничена матрицей , где  - положительная постоянная. Тогда, полагая

,

будем иметь:

.

Поэтому из формулы VIII следует

В частности, если  не зависит от  мы получаем:

где