§ 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление Вольтерра
Рассмотрим матрицант . Разобьем основной интервал на частей, введя
промежуточные точки , и
положим . Тогда на основании свойства 1° матрицанта
(см. предыдущий параграф)
(46)
Выберем в интервале промежуточную точку . Тогда, считая малыми величинами
первого порядка, при вычислении с точностью до малых второго порядка
можно принять .
Тогда
; (47)
здесь символом мы обозначаем сумму членов, начиная
со второго порядка малости.
Из (46) и (47) находим:
(48)
и
. (49)
Переходя к пределу при неограниченном увеличении
числа интервалов разбиения и стремлении к нулю длин этих интервалов (при
предельном переходе малые члены исчезают), получаем точные
предельные формулы
(48')
и
. (49')
Выражение, стоящее под знаком предела в правой части
последнего равенства, представляет собой
интегральное произведение. Предел его мы назовем мультипликативным интегралом и обозначим
символом
. (50)
Формула (49') дает представление матрицанта в виде
мультипликативного интеграла
(51)
а равенства (48) и (49) могут быть использованы для
приближенного вычисления матрицанта.
Мультипликативный интеграл ввел впервые Вольтерра в
1887 г. На базе этого понятия Вольтерра построил своеобразное инфинитезимальное
исчисление для матричных функций (см. [49]).
Вся специфика мультипликативного интеграла связана с
неперестановочностью между собой различных значений подинтегральной матричной
функции .
В том же весьма частном случае, когда все эти значения перестановочны между
собой
, ,
мультипликативный интеграл, как это видно из (48') и
(51), сводится к матрице
Введем теперь
мультипликативную производную
(52)
Операции
и взаимно
обратны:
Если
,
то
и наоборот. Последняя формула может быть еще
записана так:
. (53)
Предлагаем читателю проверить справедливость
следующих дифференциальных и интегральных формул:
Дифференциальные формулы:
I.
( - постоянная
матрица)
II.
III.
Интегральные формулы:
IV.
V.
VI. ( - постоянная
матрица)
VII.
Выведем еще важную формулу, дающую оценку модуля
разности между двумя мультипликативными интегралами:
VIII. ,
если
, ,
( - неотрицательные числа, - порядок матриц и ).
Обозначим через
разность . Тогда
, .
Рассматривая мультипликативный интеграл как
матрицант и пользуясь разложением (40) матрицанта в ряд, найдем:
Из этого разложения видно, что
Пусть теперь матрицы
и зависят от
некоторого параметра :
, ,
и пусть
,
причем стремление к пределу равномерно относительно в рассматриваемом
интервале .
Допустим, что, кроме того, при матрица по модулю ограничена
матрицей , где - положительная
постоянная. Тогда, полагая
,
будем иметь:
.
Поэтому из формулы VIII следует
В частности, если
не
зависит от мы
получаем:
где