§ 3. Сложение и умножение линейных операторов
1. Пусть даны
два линейных оператора и , отображающие в , и соответствующие им
матрицы
, , .
Определение 6. Суммой
операторов и
называется
оператор ,
определяемый равенством
. (12)
На основе этого
определения легко проверяется, что сумма линейных операторов и есть так же
линейный оператор.
Далее,
.
Отсюда следует,
что оператору отвечает
матрица ,
где , т. е. оператору отвечает
матрица
. (13)
К этому же выводу можно прийти из
рассмотрения матричного равенства
(14)
(— столбец координат
вектора ),
соответствующего векторному равенству (12). Поскольку — произвольный
столбец, то из (14) следует (13).
2. Пусть даны
три векторных пространства , и соответственно , и измерений и два линейных
оператора и
, из
которых отображает
в , а отображает в ; в символической
записи:
.
Определение 7.
Произведением операторов и называется оператор , для которого при
любом из
. (15)
Оператор отображает в :
.
Из линейности
операторов и
вытекает
линейность оператора . Выберем в пространствах , , произвольные
базисы и обозначим через , , матрицы, соответствующие операторам , , при этом выборе
базисов. Тогда векторным равенствам
, , (16)
будут соответствовать матричные
равенства
, , ,
где , , — столбцы координат
векторов ,
, . Отсюда находим:
,
и в силу
произвольности столбца
. (17)
Таким образом,
произведению операторов
и отвечает матрица , равная
произведению матриц и .
Представляем читателю самому
доказать, что оператору
отвечает матрица
.
Таким образом,
мы видим, что в главе I действия над матрицами были определены
так, что сумме линейных операторов, произведениям и отвечают соответственно
матрицы ,
и . где и — матрицы,
соответствующие операторам и , а — число из .