§ 3. Сложение и умножение линейных операторов

1. Пусть даны два линейных оператора  и , отображающие  в , и соответствующие им матрицы

, , .

Определение 6. Суммой операторов  и  называется оператор , определяемый равенством

  .                                       (12)

На основе этого определения легко проверяется, что сумма  линейных операторов  и  есть так же линейный оператор.

Далее,

.

Отсюда следует, что оператору  отвечает матрица , где  , т. е. оператору  отвечает матрица

.                                                           (13)

К этому же выводу можно прийти из рассмотрения матричного равенства

                                         (14)

(— столбец координат вектора ), соответствующего векторному равенству (12). Поскольку  — произвольный столбец, то из (14) следует (13).

2. Пусть даны три векторных пространства ,  и  соответственно ,  и  измерений и два линейных оператора  и , из которых  отображает  в , а  отображает  в ; в символической записи:

.

Определение 7. Произведением операторов  и  называется оператор , для которого при любом  из

 .                                          (15)

Оператор  отображает  в :

.

Из линейности операторов  и  вытекает линейность оператора . Выберем в пространствах , ,  произвольные базисы и обозначим через , ,  матрицы, соответствующие операторам , ,  при этом выборе базисов. Тогда векторным равенствам

, ,                                      (16)

будут соответствовать матричные равенства

, , ,

где , , — столбцы координат векторов , , . Отсюда находим:

,

и в силу произвольности столбца

.                                                               (17)

Таким образом, произведению  операторов  и  отвечает матрица  , равная произведению матриц  и .

Представляем читателю самому доказать, что оператору

отвечает матрица

.

Таким образом, мы видим, что в главе I действия над матрицами были определены так, что сумме линейных операторов, произведениям  и  отвечают соответственно матрицы ,  и . где и  — матрицы, соответствующие операторам  и , а  — число из .