§ 8. Особые случаи в теореме Рауса — Гурвица
При
рассмотрении особых случаев, когда некоторые из определителей Гурвица равны
нулю, мы можем предполагать, что 
(и, следовательно, 
).
Действительно,
если 
,
то, как было выяснено в конце предыдущего параграфа, вещественный многочлен 
имеет
такой корень
,
для которого 
также
является корнем .
Если положить 
,
где
то
из равенств 
можно
заключить, что 
.
Следовательно, будет
корнем наибольшего общего делителя 
многочленов 
и
. Полагая
, мы
сведем задачу Рауса-Гурвица для к такой же задаче для многочлена 
, для которого уже
последний определитель Гурвица отличен от нуля.
1.
Рассмотрим сначала тот случай, когда
(41)
Из
следует:
; из 
вытекает: 
Но тогда
автоматически
.
Из
следует:
, а
тогда 
и
т. д.
Приведенные рассуждения
показывают, что в (41) всегда
— нечетное число: 
. При этом 
, 
и
,
. (42)
Проварьируем, т. е. изменим немного,
коэффициенты
так, чтобы при новых проварьированных значениях 
все определители Гурвица 
стали отличными
от нуля и чтобы при этом определители 
сохранили свои прежние знаки. Мы
будем считать 
«малыми»
величинами разного порядка «малости», а именно мы примем, что каждое 
по абсолютной
величине «значительно» меньше 
). Последнее означает, что при
вычислении знака целого алгебраического выражения относительно 
мы можем
пренебрегать членами, в которых некоторые имеют индекс 
по сравнению с членами, где
все имеют
индекс .
После этого мы легко найдем «знакоопределяющие» члены в 
:
и
т. д.; вообще
(43)
Выберем
положительными;
тогда знаки 
определятся
из формулы
. (44)
При любом малом варьировании
коэффициентов многочлена число 
остается неизменным, поскольку
многочлен не
имеет корней на мнимой оси. Поэтому, исходя из (44), мы определяем число корней
в правой полуплоскости по формуле
(45)
Элементарный
подсчет, проведенный па основании формул (42) и (44), показывает, что
.
(46)
Заметим,
что величина, стоящая в левой части равенства (46), не зависит от способа
варьирования коэффициентов и при любых малых варьированиях сохраняет одно и то
же значение. Это следует из формулы (45), поскольку не меняет своего
значения при малом варьировании коэффициентов.
2.
Пусть теперь при 
,
(47)
а
все остальные определители Гурвица отличны от нуля.
Обозначим через 
и 
элементы 
-й 
-й строки в схеме
Рауса 
.Соответствующие
определители Гурвица обозначим
через 
.
По формуле (38) (стр. 488)
(48)
Отсюда на основании п. 1 следует:
— нечетное,
т. е. .
Проварьируем
коэффициенты так,
чтобы все определители Гурвица стали отличными от нуля и чтобы те из них,
которые до варьирования были отличны от нуля, сохранили свои знаки при
варьировании. Тогда, исходя из (48), поскольку к определителям 
применима формула
(46), получим:
(49)
Величина, стоящая в левой части
(49), снова не зависит от способа варьирования.
3.
Допустим теперь, что среди определителей Гурвица имеется 
групп нулевых
определителей. Докажем, что для каждой такой группы (47) величина, стоящая в
левой части формулы (49), по зависит от способа варьирования и определяется
этой формулой. Это утверждение нами доказано в случае 
. Допустим, что это
справедливо при наличии 
групп, и докажем, что оно верно для групп. Пусть (47)
— вторая из v групп; определим определители 
так, как это было
сделано в п. 2; тогда при варьировании
Поскольку
в правой части этого равенства имеется только групп нулевых определителей, то наше
утверждение имеет место для правой и, следовательно, и для левой частей
равенства. Другими словами, формула (49) справедлива для второй, ..., -й групп нулевых
определителей Гурвица. Но тогда из формулы
следует,
что величина 
не зависит от способа
варьирования, и для первой группы нулевых определителей, а потому и для этой
группы имеет место формула (49).
Таким образом, нами доказано
следующее дополнение к теореме Гаусса—Гурвица:
Теорема 4'. Если некоторые из
определителей Гурвица равны нулю, но , то число корней вещественного
многочлена в
правой полуплоскости определяется формулой
в
которой при подсчете величины 
для каждой группы подряд идущих нулевых
определителей (
– всегда нечетное число!)
следует
положить:
,
(50)
где
.
