§ 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы

Выясним, какие ограничения на элементарные делители накладывает косая симметрия матрицы. При этом мы будем опираться на следующую теорему:

Теорема 6. Кососимметрическая матрица всегда имеет четный ранг.

Доказательство. Пусть кососимметрическая матрица  имеет ранг . Тогда среди строк матрицы  имеется  линейно независимых с номерами  все остальные строки являются линейными комбинациями этих строк. Поскольку столбцы матрицы  получаются из соответствующих строк, если элементы последних помножить на -1, то и любой столбец матрицы есть линейная комбинация столбцов с номерами . Поэтому произвольный минор -го порядка матрицы  может быть представлен в виде

где  - число.

Отсюда вытекает, что

Но кососимметрический определитель нечетного порядка всегда равен нулю. Следовательно,  - четное число. Теорема доказана.

Теорема 7. 1° Если  - характеристическое число кососимметрической матрицы  и ему соответствуют элементарные делители

то  также является характеристическим числом матрицы  и этому числу соответствуют элементарные делители матрицы  в том же числе и тех же степеней

2°. Если число нуль является характеристическим числом кососимметрической матрицы  то в системе элементарных делителей матрицы  все элементарные делители четной степени, соответствующие характеристическому числу нуль, повторяются четное число раз.

Доказательство. 1° Транспонированная матрица  имеет те же элементарные делители, что и матрица . Но , а элементарные делители матрицы  получаются из элементарных делителей матрицы , если в последних все характеристические числа  заменить на . Отсюда следует первая часть нашей теоремы.

2° Пусть характеристическому числу нуль матрицы  отвечает  элементарных делителей вида ,  — вида  и т. д. Вообще мы через  обозначим число элементарных делителей вида  . Мы докажем, что  - четные числа.

Дефект  матрицы  равен числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих характеристическому числу пуль или, что то же, числу элементарных делителей вида . Поэтому

                                             (52)

Поскольку согласно теореме 6 ранг матрицы  - четное число, , то число  имеет ту же четность, что и число . Такое же утверждение можно сделать относительно дефектов  матриц , поскольку нечетные степени кососимметрической матрицы снова являются кососимметрическими матрицами. Поэтому все числа  имеют одну и ту же четность.

С другой стороны, при возведении матрицы  в степень  каждый элементарный делитель  этой матрицы при  расщепляется на  элементарных делителей (первой степени), а при  - на  элементарных делителей. Поэтому число элементарных делителей матриц , являющихся степенями , определится по формулам.

         (53)

Сопоставляя (52) с (53) и помня, что все числа  имеют одну и ту же четность, легко заключаем, что  - четные числа.

Теорема доказана полностью.

Теорема 8. Существует кососимметрическая матрица с любыми наперед заданными элементарными делителями, удовлетворяющими ограничениям 1°, 2° предыдущей теоремы.

Доказательство. Найдем сначала кососимметрическую форму для квазидиагональной матрицы порядка :

                      (54)

имеющей два элементарных делителя  и ; здесь , .

Будем искать такую преобразующую матрицу , чтобы матрица

была кососимметрической, т. е. чтобы имело место равенство

или

                                     (55)

где  — симметрическая матрица, связанная с матрицей  равенством

                                                        (56)

Разобьем матрицу  на четыре квадратных блока, каждый порядка :

Тогда (55) можно переписать так

    (57)

Выполняя указанные действия над блочными матрицами в левой части матричного уравнения (57), мы заменим это уравнение системой четырех матричных уравнений:

     (58)

Уравнение , где  и  - квадратные матрицы без общих характеристических чисел, имеет только нулевое решение . Поэтому первое и четвертое уравнения (58) дают: . Что же касается второго из этих уравнений, то, как мы видели при доказательстве теоремы 5, этому уравнению можно удовлетворить, полагая

,                                    (59)

поскольку (см. (36).

.

Из симметрии матрицы  следует, что

.

Тогда автоматически удовлетворяется и уравнение 3).

Таким образом

                                           (60)

Но тогда, как уже было выяснено на стр. 320, уравнение (56) удовлетворится, если положить:

                                               (61)

При этом

                                     (62)

Следовательно, искомая кососимметрическая матрица найдется по формуле

   (63)

Подставляя вместо  и  соответствующие блочные матрицы из (54) и (60), найдем:

      (64)

т.е.

    (65)

Построим теперь кососимметрическую матрицу -го порядка , имеющую один элементарный делитель , где  - нечетное число. Очевидно, что искомая кососимметрическая матрица будет подобна матрице

                 (66)

В этой матрице все элементы вне первой наддиагонали равны нулю, а вдоль первой наддиагонали сначала идут  единиц, а затем  элементов, равных . Полагая

                                                   (67)

из условия косой симметрии найдем

                                            (68)

где

                                                        (69)

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что матрица

удовлетворяет уравнению (68). Принимая это значение для , мы из (69), как и ранее, находим

,              (70)

    (71)

Произведя соответствующие вычисления, найдем

           (72)

Пусть даны произвольные элементарные делители, удовлетворяющие условиям теоремы 7:

              (73)

Тогда квазидиагональная кососимметрическая матрица

            (74)

или элементарные делители (73). Теорема доказана.

Следствие. IIроизвольная комплексная кососимметрическая матрица  ортогонально-подобна кососимметрической матрице, имеющей нормальную форму , определяемую формулами (74), (65), (72), т. е. существует такая (комплексная) ортогональная матрица , что

                                                         (75)

Замечание. Если  - вещественная кососимметрическая матрица, то она имеет линейные элементарные делители

.

В этом случае, полагая в (74) все  и все , получим нормальную форму вещественной кососимметрической матрицы