§ 19. Обобщенная задача Рауса-Гурвица

В этом параграфе мы дадим правило определения числа корней в правой полуплоскости для многочлена  с комплексными коэффициентами. Пусть

,               (151)

где  – вещественные числа. Если  есть степень многочлена , то . Не нарушая общности, можем считать, что  [в противном случае мы бы заменили многочлен   на ].

Мы будем предполагать, что вещественные многочлены

 и                      (152)

взаимно просты, т. е. что результант этих многочленов отличен от нуля:

.                   (153)

Отсюда следует, в частности, что многочлены (152) не имеют общих вещественных корней и что, следовательно, многочлен  не имеет корней на мнимой оси.

Обозначим через  число корней , имеющих положительные вещественные части. Рассматривая область в правой полуплоскости, ограниченную мнимой осью и полуокружностью радиуса , и повторяя дословно рассуждения, приведенные на стр. 472 для вещественного многочлена , получим формулу для приращения  вдоль мнимой оси

.                (154)

Отсюда в силу (151) и условия  получаем:

.             (155)

Пользуясь теоремой 10 § 11 (стр. 504), отсюда получаем:

,                   (156)

где

.                     (157)

Мы пришли к теореме:

Теорема 23. Если дан комплексный многочлен , для которого  , причем многочлены  и  взаимно просты , то число корней многочлена , расположенных в правой полуплоскости, определяется формулами (156), (157).

При этом, если среди определителей (157) имеются равные нулю, то для каждой группы подряд идущих нулей

                     (158)

при подсчете  следует положить:

,                     (159)

или, что то же,

          (160)

Предоставляем самому читателю проверить, что в частном случае, когда  – вещественный многочлен из теоремы 23, можно получить теорему Рауса-Гурвица (см. § 6).

В заключение отметим, что в этой главе были рассмотрены приложения квадратичных форм (в частности, ганкелевых форм) к одной задаче распределения корней многочлена в комплексной плоскости, к задаче Рауса-Гурвица. Между тем квадратичные и эрмитовы формы имеют интересные приложения и к другим задачам распределения корней. Читателя, интересующегося этими вопросами, мы отошлем к цитированному нами уже обзору М. Г. Крейна и М. А. Наймарка «Метод симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений», Харьков, 1936.