§ 4. Преобразование координат

Рассмотрим в -мерном векторном пространстве два базиса:  («старый» базис) и  («новый» базис).

Взаимное расположение векторов базиса определится, если задать координаты векторов одного базиса относительно другого.

Мы положим:

                             (18)

или в сокращенной записи:

  .                              (18')

Установим связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах.

Пусть  и  — координаты вектора  соответственно в «старом» и «новом» базисах:

.                                          (19)

Подставим в (19) вместо векторов  их выражения из (18). Получим:

.

Сопоставляя это равенство с (19) и учитывая, что координаты вектора однозначно определяются заданием вектора и базиса, находим:

  ,                               (20)

или в подробной записи:

                            (21)

Формулы (21) определяют преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому. Они выражают «старые» координаты через «новые». Матрица

                                                              (22)

называется матрицей преобразования координат или преобразующей матрицей. В ней -й столбец состоит из «старых» координат -го «нового» базисного вектора. В этом можно убедиться из формулы (18) или непосредственно из формул (21), положив в последних ,  при .

Заметим, что матрица  неособенная, т. е.

.                                                                 (23)

Действительно, положив в (21) , получим систему  линейных однородных уравнений с  неизвестными  и с определителем . Эта система может иметь только нулевое решение , , …,  так как в противном случае из (19) следовала бы линейная зависимость между векторами . Поэтому .

Введем в рассмотрении столбцевые матрицы  и .

Тогда формулы преобразования координат (21) могут быть записаны в виде следующего матричного равенства:

.                                                                 (24)

Помножая снова обе части этого равенства на , найдем выражение для обратного преобразования

.                                                             (25)