§ 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы
Докажем следующую теорему.
Теорема 5. Существует
комплексная симметрическая матрица с любыми наперед заданными
элементарными делителями.
Доказательство. Рассмотрим
матрицу 
-го порядка, у которой
элементы первой наддиагонали равны единице, а все остальные элементы равны
нулю. Докажем, что существует симметрическая матрица 
подобная
матрице :
. (35)
Преобразующую
матрицу 
будем
искать, исходя из условия:
.
Это условие
можно переписать так:
, (36)
где
- симметрическая
матрица, связанная с равенством
. (37)
Вспоминая свойства матриц и 
, мы
найдем, что любое решение
матричного уравнения
(36) имеет следующий вид:
(38)
где
- произвольные
комплексные числа.
Поскольку нам достаточно отыскать одну
преобразующую матрицу
, то мы в этой
формуле положим 
,
и определим
матрицу равенством:
(39)
Кроме того, преобразующую матрицу будем искать в
виде симметрической матрицы:
(40)
Тогда уравнение
(37) для перепишется
так
(41)
Теперь неизвестную матрицу будем искать в
виде многочлена от . Поскольку 
, в
качестве такого многочлена можно взять многочлен первой степени: 
. Из уравнения
(41), учитывая равенство , найдем: 
, 
. Этим соотношениям
мы удовлетворим, полагая 
, 
. Тогда
(42)
- неособенная
симметрическая матрица. В то же время из (41): 
, т.е.
(43)
Таким
образом, симметрическая форма
матрицы определится
равенством
, 
(44)
Поскольку
матрица удовлетворяет
уравнению (36) и
, то равенство (44)
может быть переписано еще так:
(45)
Формула
(45) определяет симметрическую форму матрицы
.
В дальнейшем, если - порядок
матрицы ,
, то
соответствующие матрицы , и будем
еще обозначать и так:
, 
и 
. Пусть даны
произвольные элементарные делители:
, 
(46)
Составим
соответствующую жорданову матрицу
.
Для
каждой матрицы 
введем
соответствующую симметрическую форму 
. Из
, (
)
следует:
.
Поэтому,
полагая
(47)
, (48)
будем
иметь
.
— симметрическая форма жордановой
матрицы 
.
Матрица подобна
матрице и
имеет те же элементарные делители (46), что и матрица .
Теорема доказана.
Следствие 1. Произвольная
квадратная комплексная матрица 
подобна симметрической матрице. Привлекая теорему
4, получим:
Следствие 2. Произвольная
комплексная симметрическая матрица 
ортогонально-подобна симметрической
матрице, имеющей нормальную форму
, т. е. существует
такая ортогональная матрица 
, что
(49)
Нормальная форма комплексной
симметрической матрицы имеет квазидиагональный вид
(50)
где клетки 
определяются так [см. (44), (45)]:
(51)
