§ 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве

Рассмотрим -мерное евклидово пространство . Пусть дан произвольный линейный оператор  в .

Определение 10. Линейный оператор  называется транспонированным оператором для оператора , если для любых векторов  и  из :

.                (106)

Существование и единственность транспонированного оператора устанавливаются совершенно аналогично тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора в унитарном пространстве.

Транспонированный оператор обладает следующими свойствами:

1. ,

2. ,

3.  ( – вещественное число),

4. .

Введем ряд определений.

Определение 11. Линейный оператор  называется нормальным, если

.

Определение 12. Линейный оператор  называется симметрическим, если

.

Определение 13. Симметрический оператор  называется неотрицательным, если для любого вектора  из

.

Определение 14. Симметрический оператор  называется положительно определенным, если для любого вектора  из

.

Определение 15. Линейный оператор  называется кососимметрическим, если

.

Произвольный линейный оператор  всегда представим, и притом однозначно, в виде

,                (107)

где  – симметрический, а  – кососимметрический оператор.

Действительно, из (107) следует

.                (108)

Из (107) и (108) вытекает

.                    (109)

Обратно, формулы (109) всегда определяют симметрический оператор  и кососимметрический , для которых имеет место равенство (107).

 и  носят название симметрической и кососимметрической компонент оператора .

Определение 16. Оператор  называется ортогональным, если он сохраняет метрику пространства, т. е. если для любых векторов  из

.                 (110)

Равенство (110) в силу (106) можно переписать так: . Отсюда следует:

.                   (111)

Обратно, из (111) вытекает (110) (при произвольных векторах ). Из (111) следует: , т. е.

.

Мы будем ортогональный оператор  называть оператором первого рода, если , и второго рода, если .

Симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы суть частные виды нормального оператора.

Рассмотрим произвольный ортонормированный базис в данном евклидовом пространстве. Пусть линейному оператору  в этом базисе соответствует матрица  (здесь все  – вещественные числа). Читатель без труда покажет, что транспонированному оператору  отвечает в этом же базисе транспонированная матрица , где  . Отсюда вытекает, что в ортонормированном базисе нормальному оператору  отвечает нормальная матрица  , симметрическому оператору  отвечает симметрическая матрица  , кососимметрическому оператору  – кососимметрическая матрица   и, наконец, ортогональному оператору  – ортогональная матрица  .

Аналогично тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора, здесь устанавливается следующее предложение:

Если некоторое подпространство  в  инвариантно относительно линейного оператора , то ортогональное дополнение  к  в  инвариантно относительно оператора .

Для исследования линейных операторов в евклидовом пространстве  мы расширим евклидово пространство  до некоторого унитарного пространства . Это расширение проведем следующим образом:

1. Векторы из  будем называть вещественными векторами.

2. Введем в рассмотрение «комплексные» векторы , где  и  – вещественные векторы, т. е. .

3. Естественным образом определяются операции сложения комплексных векторов и умножения на комплексное число. Тогда совокупность всех комплексных векторов образует -мерное векторное пространство  над полем комплексных чисел, содержащее в себе как часть .

4. В  вводится эрмитова метрика так, чтобы в  она совпадала с имеющейся там евклидовой метрикой. Читатель легко проверит, что искомая эрмитова метрика задается следующим образом:

Если  и , то

.

Полагая при этом  и , будем иметь:

.

Если выбрать вещественный базис, т. е. базис в , то  будет представлять собой совокупность всех векторов с комплексными, а  – с вещественными координатами в этом базисе.

Всякий линейный оператор  в  однозначно расширяется до линейного оператора в :

.

Среди всех линейных операторов в  операторы, получившиеся в результате такого расширения из операторов в , характеризуются тем, что переводят  в . Такие операторы будем называть вещественными.

В вещественном базисе вещественные операторы определяются вещественными матрицами, т. е. матрицами с вещественными элементами.

Вещественный оператор  переводит комплексно сопряженные векторы  и   снова в комплексно сопряженные

.

У вещественного оператора вековое уравнение имеет вещественные коэффициенты, поэтому умеете с корнем -й кратности  оно имеет и корень -й кратности . Из  следует: , т. е. сопряженным характеристическим числам соответствуют сопряженные собственные векторы.

Двумерное подпространство  имеет вещественный базис: . Плоскость в  с этим базисом будем называть инвариантной плоскостью оператора , отвечающей паре характеристических чисел . Пусть .

Тогда, как легко видеть,

Рассмотрим вещественный оператор  простой структуры с характеристическими числами:

,

где  – вещественные числа, причем  .

Тогда соответствующие этим характеристическим числам собственные векторы  можно выбирать так, чтобы

;.                     (112)

.

Векторы

              (113)

образуют базис в евклидовом пространстве . При этом

                  (114)

В базисе (113) оператору  соответствует вещественная квазидиагональная матрица

.                  (115)

Таким образом, для каждого оператора  простой структуры в евклидовом пространстве существует такой базис, в котором оператору  соответствует матрица вида (115). Отсюда следует, что всякая вещественная матрица простой структуры вещественно-подобна канонической матрице вида (115):

.                   (116)

Транспонированный оператор  для  в  после расширения становится сопряженным оператором  для  в . Следовательно, нормальный, симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы в  после расширения становятся соответственно нормальным, эрмитовым, умноженным на  эрмитовым, унитарным вещественным операторами в .

Нетрудно показать, что для нормального оператора  в евклидовом пространстве можно выбрать канонический базис – ортонормированный базис (113), для которого имеют место равенства (114). Поэтому вещественная нормальная матрица всегда вещественно- и ортогонально-подобна матрице вида (115):

              (117)

У симметрического оператора  в евклидовом пространстве все характеристические числа вещественны, так как после расширения этот оператор становится эрмитовым. Для симметрического оператора  в формулах (114) следует положить . Тогда получим:

.                      (118)

Симметрический оператор  в евклидовом пространстве всегда имеет ортонормированную систему собственных векторов с вещественными характеристическими числами. Поэтому вещественная симметрическая матрица всегда вещественно- и ортогонально-подобна диагональной матрице

.                    (119)

У кососимметрического оператора  в евклидовом пространстве все характеристические числа чисто мнимы (после расширения этот оператор равен произведению  на эрмитов оператор). Для кососимметрического оператора в формулах (114) следует положить:

,

после чего эти формулы принимают вид

                      (120)

Поскольку  является нормальным оператором, базис (113) можно считать ортонормированным. Таким образом, всякая вещественная кососимметрическая матрица вещественно- и ортогонально-подобна канонической кососимметрической матрице:

.                   (124)

У ортогонального оператора  в евклидовом пространстве все характеристические числа по модулю равны единице (после расширения такой оператор становится унитарным). Поэтому в случае ортогонального оператора в формулах (114) следует положить:

.

При этом базис (113) можно считать ортонормированным. Формулы (114) можно представить в виде

                 (122)

Из сказанного следует, что всякая вещественная ортогональная матрица вещественно- и ортогонально-подобна канонической ортогональной:

                  (123)

.

Пример. Рассмотрим произвольное конечное вращение вокруг точки  в трехмерном евклидовом пространстве. Оно переводит направленный отрезок  в направленный отрезок  и потому может быть рассматриваемо как оператор  в трехмерном векторном пространстве (образованном всевозможными отрезками ). Этот оператор линейный и притом ортогональный. Определитель этого оператора равен единице, так как оператор  не изменяет ориентации в пространстве.

Итак,  – ортогональный оператор первого рода. Для него формулы (122) будут выглядеть так:

Из равенства  следует, что . Это означает, что все точки прямой, проходящей через точку  в направлении вектора , неподвижны. Таким образом, мы видим, что имеет место утверждение:

Произвольное конечное вращение твердого тело вокруг неподвижной точки может быть осуществлено конечным поворотом на угол  вокруг некоторой неподвижной оси, проходящей черев эту точку.

Рассмотрим теперь произвольное конечное движение в трехмерном евклидовом пространстве, переводящее точку  в точку

                 (*)

Движение складывается из поворота  вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат, и параллельного сдвига на вектор . Обозначим через  собственные векторы , соответствующие характеристическим числам  (при этом ):

.

Докажем существование такой точки , перемещение которой  параллельно вектору  (т. е. параллельно оси конечного поворота ). Для этого положим

и найдем, что

.

Поэтому, определив координаты  и  искомой точки  из равенств

,

получим для перемещения точки  требуемую формулу

.

Складывая почленно это равенство с вытекающим из (*) равенством

,

получим

.                   (**)

Эта формула показывает, что при рассматриваемом конечном движении радиус-вектор точки, проведенный из , поворачивается вокруг некоторой оси на фиксированный угол; затем к нему прибавляется параллельный оси вектор . Другими словами, движение представляет собой винтовой сдвиг вокруг оси, проходящей через точку  параллельно вектору . Нами доказана теорема Эйлер – Даламбера:

Произвольное конечное движение в трехмерном евклидовом пространстве представляет собой винтовое перемещение вокруг некоторой неподвижной оси.